А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 24
Текст из файла (страница 24)
(27,0) Разлагая функцию ф,($) состояния а по полной системе функций (27,8), находим ф. (5) - ~ Ффрй) ф-(р) в тл РАзличные НРедстАВления ВектОРА сОстОяния 1Ю Итак, вектор состояния системы 1а) может быть изображен несколькими волновыми функциями, зависящими от разных переменных, что можно записать в виде схемы ($ ~ а), $-представление; (Е„'1а), Е-представление; (р! а), р-представление; ~ а) -в В общем случае переход от волновой функции (т~а), определяющей состояние в т-представлении, к какому-либо другому представлению, например д-представлению, осуществляется с помощью соотношения (4 ~а) =.".,(4~т)(т ~а), где функции преобразования (д ~ т) являются собственными функциями оператора, соответствующего физической величине т в д-представлении.
Обратное к (27,12) преобразование имеет вид (27,12) ~~У !а Р=~~т)(т ~=1, или ) Йр~ар~зяв~ др!р)(р!=1 (27,14) и т. д. Таким образом, например, (а7 !а) = ) 4з(д !р)(р1а). Этот процесс можно продолжать, например, (д! а) = ~ г1р ~я ! р) (р1 а) = ~ йр г1е (д ! р) (р! е) (Е ! а). 5 А, С, Давылов (т!а) = ~~'.~ (т 1д) (~7!а), (27,13) где функции преобразования (т14) =(д~т)т являются собственными функциями оператора, соответствующего физической величине д, в т-представлении. Если переменные т в (27,12) или О в (27,13) пробегают непрерывные значения, то суммирование следует заменить интегрированием по всем значениям этой переменной.
Формулы (27,12) и (27,13) показывают удобство дираковских (скобочных) обозначений векторов состояний при исследовании вопросов перехода от одного представления к другому, В самом деле, формулы (27,12) и другие можно писать формально, если учесть, что в силу условий полноты собственных функций операторов (Я 9, 10) имеют место соотношения элвмвнтленхя твотия пгвдстлвлвнии [гл. ч Рассмотрим явный вид некоторых функций преобразования от одного представления к другому.
1) Явный вид нормированной условием (27,9) собственной функции импульса (27,8) в координатном представлении следующий (см. $10): (г)р>=(2пй) аехр(1 — ). Эта функция преобразует импульсное представление в координатное представление. Функция обратного преобразования (р)г>=(2пй) 'ехр( — — ) является' функцией координаты в импульсном представлении. Эта функция является комплексно сопряженной функцией к функции прямого преобразования.
2) Собственные функции оператора углового момента в координатном представлении можно записать в виде У~ (О, ~р) — (Оср 31лт>=( —,~ Ет), где углы 8 и у определяют направление единичного радиуса- вектора. Функции (27,15) нормированы условием ~ Уг (8, ~) Ук (О, г) )и = = ~ дй (1т! О~р> (0<р11гп'> = бпЬ„чг.
(27,16) Функции (27,15) осуществляют преобразование от представления угловых моментов к координатному представлению, а функция (1т)О~р> осуществляет обратный переход от координатного представления к представлению угловых моментов. Если ввести г единичный вектор и= —. направление которого определяется углами 0 и ~р, то можно написать (1 п)п>=(г и!Ор>. Эти функции нормированы условием ~~.'~ (и! 1гп> (1гп 1 и'>'= (и ) и'> = 6 (и — и'). Если углы 6, Ф определяют направление вектора импульса, то функции являются собственными функциями оператора углового момента в импульсном представлении.
РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕЦСТАВЛЕИИЯ ОПЕРАТОРОВ 13! Как уже отмечалось ранее. векторы состояний определяются с точностью до фазового множителя е, модуль которого равен 1. Выбор такого множите тела определяется условием простоты записи. В некоторых приложениях, например, вместо функций 127,15) удобнее пользоваться функцией ф 111' (9, ф). 5 28. Различные представления операторов Произведение 1Ь)(а~, в котором «кет»-вектор стоит слева от «бра»-вектора, является оператором. Подобно тому как любой вектор состояния )а) можно разложить с помощью равенства ) а) = ~~'.~ ) Р ) (Р 1а).
по полной системе ортонормированных векторов )Р„) оператора Р, так и любой оператор Л можно разложить по полной системе операторов )Р„)(Р ~. В самом деле, если А = Х А„ж!Р )(Р„), то из свойств ортонормируемости векторов )Р ) однозначно определяются матричные элементы разложения: А„=(Р ) А)Р„). В частности, разложение единичного оператора 1 имеет вид 7=Х!Р )(Р 1 В координатном представлении операторы выражаются функциями от координат и производных по координатам. Действуя на функции координатного представления, операторы преобразуют эти функции в другие функции того же представления. Например, действие оператора Р на функцию фе(й) определяется равенством фаа)=РФ.Ю.
или в обозначениях Дирака (й 1 Ь) = Р (й ) а). (28,1) При переходе от координатного к другим представлениям вектора состояния необходимо осуществлять и преобразование операторов. Определим вяд оператора Р в энергетическом представлении. Для этого преобразуем функции координатного представления (Р ) а) = ~ (Р ) Е„) (Е„)а), (в ) Ь) = Х (ь 1Е~) (Е„1Ь). ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ, У Подставим полученные выражения в (28,1), затем умножим это уравнение слева на (Е„~Ц, проинтегрируем по $. Тогда, учитывая свойство ортогональности ) д$ (Е ! е) (й 1 Е„) = Ь „, находим (Е 1 Ь) = ~~'„~ (Е„! Р ~ Е„) (Е„1а), (28,2) где (28,3) Зная все величины (28,3), мы можем по формуле (28,2) перейти от вектора состояния ~а), заданного в энергетическом представлении функцией (Е„~а)„к вектору состояния ~Ь), заданному в энергетическом представлении функцией (Е ~Ь).
Поэтому совокупность всех величин (28,3) следует рассматривать как оператор Р в энергетическом представлении. Совокупность всех чисел Ры, в общем случае являющихся комплексными, образует матрицу, которую Обозначают (Ры ). СаМИ ВЕЛИЧИНЫ Р,ч„чм (Е )Р~Е ) Наэмнавт МатриЧНЫМи ЭЛЕ- ментами оператора Р в энергетическом представлении. Если энергетические уровни Е ие вырождены, то матрица (Ры ) изображается квадратной таблицей с бесконечным числом строк, нумеруемых индексом гл, и бесконечным числом столбцов, нумеруемых вторым индексом л. В-случае вырождения каждый индекс и и и характеризует свою совокупность квантовых чисел (которые иногда выписываются в явном виде), определяющих состояние системы; поэтому матрица (Р „)ими((а'Ь'с'...
1 Р! аЬс...)) будет многомерной матрицей. Сводка основных свойств матриц приведена в мат. дополн. В. Из определения самосопряженного (зрмитового) оператора (7,4) следует, что самосопряженные операторы в энергетическом представлении (и любом другом дискретном представлении) изображаются эрмитовыми матрицами, так как выполняются равенства РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ !33 Представляя совокупность величин (Е 1а), выражающих вектор состояния 1а) в Е-представлении, в виде матрицы с одним столбцом (Е11а) (ЕА1а) (ЕА1а) ((Е„1а)) можно рассматривать (28,2) как произведение матриц. Если в качестве оператора Р взять оператор Гамильтона Н, то этот оператор в энергетическом представлении будет изображаться диагональной матрицей (Е 1Н1Ел) =Елбллл что непосредственно следует из (28,3), если учесть, что функции ($1Е„) являются собственными функциями оператора Н, т. е.
Н(ЦЕ ) = Е„ЩЕ„). Определим теперь вид оператора Р в р-представлении. Для этого разложим функции координатного представления, входящие в (28,1), по собственным функциям оператора импульса в координатном представлении ($1а) = ) г1р(в1р) (р1а), ($1б) = ) г1р(в1р) (р1б). Подставляя эти значения в (28,1), находим после умножения на (р'15) и интегрирования по $, при учете условия ортогональности ) д$(р'1в)(в1р)= — б(р' — р), (28,4) следующее соотношение (р'1б) = ~ Ыр(р'1Р1р) (р1а), (28,5) где (р'1Р1р) =) В(р'1в)Р(В1р) (28,6) — совокупность величин, зависящих от двух индексов р н р' которые можно назвать матричными элементами оператора Р, образованными с помощью функций преобразования (Цр). Совокупность всех матричных элементов (28,6) является оператором| физической величины Р в импульсном представлении. Равенство (28,5) указывает правило, с помощью которого оператор (28,6) переводит одни функции импульсного представления в другие функции импульсного представления.
Хотя индексы р' и р в (28,6) изменяются непрерывно, тем не менее из формальных соображений удобно рассматривать <гЛ. Р ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ совокупность всех значений матричных элементов (28,6) как матрицу бесконечного ранга, число строк и столбцов которой несчетно. При таком толковании правую часть равенства (28,6) можно рассматривать как произведение матриц, индексы которых изменяются непрерывно, вследствие чего суммирование заменяется интегрированием.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
