А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 26
Текст из файла (страница 26)
)~(Е,„1Р ) Е„) — Рб„„~)= О. (29,4) <гл: ч элвмвнтагнля тяогия пгвдстхвлвнии 140 значению. Эта собственная функция будет изображаться одно- столбцовой матрицей (Е, !Р,„) (Е2 ! Рив> (Ез ! Ров> (29,5) ((Еа!Р >)- Используя преобразования, рассмотренные в $27, можно найти вид собственных функций (29,5) в любом другом представлении. Например, переход к координатному представлению осуществится преобразованием (ф !Р ) = Х (Ц Е„> (Е„1Р ) (29,6) аа где (ЦЕ > — собственные функции оператора энергии в координатном представлении.
Корни уравнения (29,4) образуют диагональную матрицу Р, О О, О Р О, О О Р, (29,7) (Р„б„) = ! (й(Г!Р!2>(й!Р>=Р(й !Р>, которое эквивалентно дифференциальному уравнению (29,!). Диагональная матрица (29,7) является изображением оператора Р в своем собственном представлении. В самом деле, если (ЦР > есть собственная функция оператора Р, то (Р !Р!Р,>= ~ В(Р !ОРИ!Р„>=Р„б Итак, задачу о нахождении собственных значений оператора, заданного в форме матрицы, можно рассматривать как задачу о приведении этой матрицы к диагональному виду. В курсах математики доказывается, что эрмнтовы матрицы всегда могут быть приведены к диагональному виду. Вышесказанное непосредственно обобщается на случай представлений, а которых операторы задаются непрерывными матрицами, если соответствующие суммы заменить интегралами. При этом система уравнений (29,2), определяющая собственные функции и -собственные значения, заменяется интегральным уравнением.
Например, нахождение собственных значений и собственных функций оператора ($'1Р1Д, заданного в координатном представлении непрерывной матрицей, сводится к решению интегрального уравнения 4 зо1 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УНИТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИИ 14! В 30. Общая теория унитарных преобразований В предыдущих параграфах этой главы мы исследовали част- ные случаи преобразований волновых функций и операторов от одного представления к другому, т. е. от одних независимых пе- ременных к другим независимым переменным. Таковы, напри- мер, были преобразования ($ ! а) = ~~'.~ (с ! Е„) (Е„! а), (й!й)= ! (р(Ю!р)(р!ь), осуществляемые функциями преобразования (3!Е ) и Щр), ко- торые являются собственными функциями соответственно опера- тора энергии и импульса в координатном представлении.
Эти функции удовлетворяют условиям ортонормируемости ~ Т$(Е !$)6!Е.)=бе.е„ (30,3) ~ В(р'В)6!р)=б(р' — р). (30,4) (30,2) Для исследования общих свойств таких преобразований условимся записывать их в символической форме, изображая преобразование как результат действия некоторого оператора, т. е. вместо (30,1) напишем (Б!а)=8(В, Е„)(Е„!а), (30,5) где 3(3,Е ) следует рассматривать как матрицу с непрерывно меняющимся первым индексом и дискретным вторым индексом. В этом случае правую часть (30,6) следует понимать как произведение матрицы Е(й, Е ) на столбцовую матрицу ((Е !а)). Преобразование (30,2) кратко можно записать в виде (й!Ь) Е(в, р)(р!Ь). (30,6) Прн этом под Е($, р) следует понимать интегральный оператор, ядром которого является собственная функция оператора импульса в координатном представлении. Переход от одних независимых переменных к другим назы-' вается каноническим преобразованием.
Таким образом, преобразование (30,5) является каноническим преобразованием от переменных Е„ к переменным й, преобразование (30,6) является каноническим преобразованием от переменных р к переменным 3. Запишем обратное к (30,6) преобразование в виде (р!й)=3-'(3, р) В!й). ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ~гл. т Учитывая, что (р ~ 'О'7= ~ ве (р П) (Е ! 8) = ~ ~1Е (Е! р7 (Е1 б), мы видим, что 3-' является интегральным оператором с ядром Щ р)т; "таким образом, 3 (В. р) = 3' (В, р), или Я 3=1. (30,7) Оператор, удовлетворяющий условию (30,7), называется унитарным оператором.
Итак, мы приходим к заключению, что канонические преобразования осуществляются унитарными операторами. В общем случае каноническое преобразование функции с помощью унитарного оператора 8 можно символически изобразить равенством (30,8) Прн каноническом преобразовании (30,8) волновых функций от одних переменных к другим одновременно должны быть преобразованы и все операторы к новым переменным. Пусть, например, на функции ф действует некоторый оператор Рв таким образом, что ф'=Р,Ф (30,9) Преобразуем зто равенство с помощью унитарного оператора Я; тогда, учитывая, что Я 'Я = 1, имеем Яф =ЮРч3 Яф или, учитывая (30,8), находим Ф'=РРФ, где Рф = ЯРРИ (30,10) — оператор, действующий на функции Ф.
Следовательно, соотношение (30,10) определяет закон преобразования операторов к новым переменным при преобразовании (30,8) волновых функций к тем же переменным. Кроме рассмотренных выше унитарных преобразований, соответствующих каноническому преобразованию от одних переменных к другим переменным, в квантовой механике большое значение имеют унитарные преобразования вида Я = е'", где и — зрмитовый оператор, илн произвольная действительная чаи ОБШАЯ ТЕОРИЯ УНИТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИИ 14З функция от тех же переменных, что и волновая функция. Унитарное преобразование Зф ЕФа,ф (30,11) изменяет вид волновых функций, однако не меняет независимых переменных функции.
Такое преобразование называют преобразованием фазы. Итак, каждой физической величине можно сопоставить не один, а бесконечное множество операторов, отличающихся друг от друга унитарными преобразованиями. Другими словами, операторы, связанные соотношением Р'=ЗРЯ ', при ЗЗ =1 (30,12) соответствуют одной физической величине. Свойства физических величин не могут зависеть от такого произвола, т. е. они должны отражаться в свойствах операторов, которые остаются инвариантными прн унитарных преобразованиях (30,12). К таким свойствам операторов Относятся: а) линейность и самосопряженность операторов; б) коммутационные соотношения между операторами. В самом деле, пусть (Р,А3] = Ю, тогда ЗРЗ 1ЗМЗ ~ — ЗМЯ ЗРЗ = (ЗСЗ ', или Р'М'- М'Р' = 1С', здесь штрихованные операторы отличаются от нештриховаиных унитарным преобразованием (30,12); в) спектр собственных значений операторов инвариантен относительно операции унитарного преобразования операторов, Действительно, пусть "вф=Ж тогда ЗРеЗ 'Яф=РЗф, нли где Ф=Яф; г) всякое алгебраическое соотношение между операторами инвариантно относительно унитарного преобразования.
Например, соотношения Р=М+(. или Р=МС. остаются инвариаитными, так как унитарное преобразование всех трех операторов приведет к новым Операторам, удовлетворяющим тем же соотношениям; !гл. т ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 144 д) матричные элементы операторов не изменяются прн унитарных преобразованиях. Это утверждение следует непосредственно из следующего равенства: (ф [Р]ф„)=) ф Рф„АЦ= ~ $ 8 ЗРЯ Бз)„АЦ= =) Р Р" Р: а~=<ф.'! Р']Ю В заключение этого параграфа рассмотрим малое преобразование фазы вектора состояния с помощью бесконечно малого унитарного преобразования 3 = е'", где действительная функ! ция координат, или эрмитовый оператор, а = — Р 5) « 1.
Такое унитарное преобразование можно приближенно представить в виде конечного числа членов ряда 3=1+1Р+ —,'(1 Р)'+ ... При Р =Р обратный оператор 8 =5 =1 — ! — + — — ! — +... т Р !г" Р1з й 2! в! Если ограничиться только двумя первыми слагаемыми в этих рядах, то условие унитарности будет выполняться с точностью до бесконечно малых второго порядка 1+(Р)з Изменение функции при унитарном преобразовании с помощью (30. 13) можно также выразить рядом ф'=3)=ф+1-в Р+-,'( — ',)' ф+ ... (30,14) Одновременно с функциями преобразуются и все операторы по закону Г-Ыз-'=(1+ —",, + ...)Х(1 — —",+ ...)= =Е+ в [Р, Ц вЂ” ~~, [Р, [Р, Ц]+ ...
(30,15) 3 31. Унитарные преобразования, соответствующие изменению состояния с течением времени До настоящего времени мы рассматривали унитарные преобразования, операторы которых не содержали времени. Путем одноереленного изменения векторов состояний и операторов мы переходили к разным способам описания одного и того же со- унитхгныв пгзовРАзозхния 4 ЭП ]45 стояния в данный момент времени. Одновременное проведение унитарного преобразования волновых функций н операторов по правилам (30,9) и (30,10) изменяет их вид, но не изменяет состояния системы. Теперь мы покажем, что с помощью унитарных преобрааований можно также выражать и изменение состояний с течением времени. Такая возможность может осуществляться несколькими способами, которые будем называть представлениями изменения состояния.
В атом параграфе мы рассмотрим несколько представлений изменения состояний с течением времени. а) Представление Шредингер а. Если спектр собственных значений оператора не меняется с течением времени, то можно пользоваться операторами, математическая форма которых не зависит от времени. В атом случае изменение состояния с течением времени определяется изменением (поворотом) вектора состояния.
Такое представление операторов и векторов состояний носит название представления Шредингера. В представлении Шредингера изменение волновой функции с течением времени определяется уравнением Шредингера ($15). Зависимость волновых функций от времени в представлении Шредингера может быть символически выражена с помощью унитарного преобразования (31,1) где ф($) — значение функции при 1=0. Оператор 3(К) непре- рывно изменяется с течением времени. При ) = 0 оператор В(1) совпадает с единичным оператором, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
