А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Если этот ряд сходится, то задача может быть решена с любой желаемой точностью. До- $ нй УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ ТЕОРИИ ВОЗМУГПЕНИИ 215 казательство сходимости ряда теории возмущений для большинства задач, имеющих практический интерес, очень сложно. В некоторых случаях первые приближения теории возмущений дают хорошие результаты и тогда, когда ряд теории возмущений расходится.
В $47 было показано, что необходимым условием применимости метода теории возмущений к расчету состояния с квантовым числом 1 является выполнение неравенства (47,12), т. е. разность между данным уровнем и всеми остальными уровнями энергии невозмущениой задачи должна быть велика по сравнению с изменением энергии, вызванным возмущением. В связи с этим уровень 1 не может быть вырожденным, так как в противном случае разность энергии невозмущенной задачи равнялась бы нулю.
Однако справедливость формул (47,10) и (47,11) не нарушится, если будет вырожденной часть из состояний и, имеющих энергии Ез, удовлетворяющие неравенству (47,!2). Эти формулы могут быть распространены и на случай, когда часть состояний и будет относиться к непрерывному спектру, в последнем случае надо для этих состояний суммы (47,10) и (47,11) заменить интегралами. Теория возмущений, строго говоря, применима лишь в том случае, когда при уменьшении параметра Х до нуля как собственные функции, так и собственные значения оператора Н непрерывным образом переходят в собственные функции и собственные значения оператора Но. В некоторых случаях это условие не соблюдается в возмущение может изменить характер самого решения, превратив задачу с дискретным спектром в задачу с непрерывным спектром. Рассмотрим, например, оператор Гамильтона с потенциальной энергией и (к) = — 1 +)..
1 2 (48,1) При Х= 0 оператор Гамильтона совпадает с оператором гармонического осциллятора, имеющего дискретный спектр энергий Е„= Ьго(а+ '1з). При малых значениях ). всегда выполняется условие е) ). ( (и ( кз! П) ) «( Š— Е„( = йхв ( и — л (. (и+ 1)кз(я) =( — ) (2н+3) )гп+ ), 2)гэ ч) Вычисление' матричных влементов (т(кз(п) легко выполнить и пред- Г й ставлении чисел заполнения.
Например, полагаи к 1уг — (а+а") и ис- У 2мм пользуя правила действия операторов а и а на функции )я), получим теОРия возмущвнии [гл. чп Однако при всяком значении Х~ О оператор Гамильтона с потенциальной энергией (48,1) имеет непрерывные собственные значения энергии, так как при больших отрицательных значениях х потенциальная энергия становится меньше полной энергии частицы.
Вэтом случае волновые функции и уровни энергии, полученные на основе метода возмущений, описывают нестационарные состояния. Частица может пройти через потенциальный барьер в сторону отрицательных х и удалиться в бесконечность. Однако прн малых значениях Х вероятность такого процесса будет ничтожно мала, поэтому найденные методом теории возмущений решения будут практически совпадать со стационарными состояниями. Состояния такого типа называют квазистапионарньиви состояниями.
В заключение этого параграфа выведем еще одно выражение для определения энергии во втором порядке возмущения. Пусть Н = Нз + Р и Нмр„ = Е~~р„. Тогда уравнение Шредингера (Н вЂ” Е)ф = О подстановкой ф = Х а„<р„ л сводится к бесконечной системе однородных алгебраических уравнений ~(Н, — ЕЬ „)а„=О, (48,2) где если гп чь а. Условие разрешимости системы уравнений (48,3) приводит к уравнению бесконечного порядка !! Н~ — Еб „!!=О, (48,4) корни которого определяют точные собственные значения оператора Н.
Предположим, что мы интересуемся изменением уровня Е Г под влиянием возмущения К Если для любого иФ 1 выполняется неравенство ! Н~т ! << ! Е( — Е то, пренебрегая в детерминанте (48,4) всеми неднагональными матричными элементами Н~, получим, в согласии с (47,9), энергию в первом приближении о Е = Ни —— Е~ +.
Ки. Чтобы получить энергию во втором приближении, пренебрежем в (48,4) всеми недиагональными элементами, не лежащими в о 1о1 твогия возмгщвнии пни наличии двтх влизких гговнви о17 первой строчке и в первом столбце детерминанта (48,4). Тогда получим детерминант НЫ вЂ” Е Н12 Н, Н,— Е Нз1 Н13 Н14 ° О О Ноо — Е О Умножая вторую строчку на "ни вычитая из первой, находим новый детерминант, у которого первый элемент первой строчки будет равен Нп — Е— 0,1 — и ' а на месте Нм будет стоять нуль.
Умножая затем третью строчку нового детерминанта на Нм(Ноо — Е) ' и вычитая из первой, мы уничтожим Н,о и изменим первый элемент этой строчки. Про должая этот процесс, можно получить с ы оа — е — ~ р ' ~ )1н — Е1н — Е... =О. 1485) Если уровень Ео1 не вырожден, то при энергии, близкой к этому уровню, в (48,5) может равняться нулю только первая скобка. Таким образом, получаем Е=Нн— (48,6) Это уравнение содержит неизвестное значение Е н в правой части. Его решение можно получить методом последовательных приближений.
В качестве первого приближения в правой части (48,6) можно положить Е = Нп = Е1 + Ун. Учитывая далее (48,3), находим '+ 11+~ и+у (Ео+~, )' ( ) 9 49. Теория возмущений при наличии двух близких уровней Из формул (47,10) и (47,11) следует, что если среди собственных значений Но есть одно или несколько с энергией, близкой к Е1, то поправки к волновым функциям и энергии уровня 1 будут велики (малые знаменатели), и пользоваться этими теогия ВОзмущений (гл. у2! з!з формулами нельзя.
Если, однако, число близких собственных значений Но около уровня 1 невелико, то можно так изменить метод вычислений, чтобы и в этом случае исключить появление больших поправок. Покажем это на примере двух близких уровней. Пусть оператор Но имеет два близких собственных значения Е! и Е2, которым соответствуют собственные функции ф, и !р2, о о а все остальные собственные значения расположены далеко от них. При вычислении поправки к волновой функции ф! методом (47,10), мы убедимся, что из-за малого знаменателя Ео! — Еоо вклад функции ф2 будет велик. Поэтому целесообразно уже в нулевом приближении искать решение в виде ф=аф, + Ь!р,.
(49,1) Подставляя это значение ф в уравнение (н — е)ф=о, н=н,+)', получим систему двух уравнений (Нп — Е)а+ НРЯЬ=О Н„а+ (Н вЂ” Е) Ь= О, где матричные элементы Н22 совпадают с (48,3). Из условия разрешимости системы уравнений (49,2) находим два значения энергии: ! ! Е, 2 = — (Нп + Н22) ~ — (Нп — Н22)2+ 4! Нм (2 где знак плюс относится к уровню Еь а знак минус к уровню Е2. Если выполняется условие применимосги обычной теории возмущений, т.
е. если (Нп Н22! "! Н!2!~ (49,4) то из (49,3) следуют значения энергии Е2 Н22+ Е2+ 1 22+ о о ! и!2!2 2!2!2 и„— ип и2+ ~ 22 ( ! + 1 и) совпадающие с энергией, определяемой обычной теорией возмущений во втором порядке (см. (48,7)). Если выполняется нера- венство (49,3) !Н» Нм!<)Н!2!, то из (49,3) следует н»+ и„ '(Н» — И„)2 Еь, —, ~ ! ! 2м„!.~- — ЕУЛ вЂ” ), (4924а) ь 4в] твория вазмушвнии при наличии двух влизких уровнви о1э На рис. 10 на основе формулы (49,3) показаны энергии Ет н Ег как функции разности б = Нн — Нм для некоторого фиксированного значения Нш.
Значения Н» и Нм указаны штриховыми линиями. Поправки второго порядка к значениям энергии изображаются на рис. 10 разностью между сплошной н ближайшей штриховой линией. Интересно отметить, что поправки второго порядка к значениям Нн и Нм всегда увеличивают расстояние между уровнями.
В связи с этим иногда говорят об Рис. 10:. УРовни аиеРгни Н, н Н, в аависнмоств от Равности анеРгио а Ни-Нм невовмУ- щениоо системы. Значении Ни и Нв уиаваиы штриховыми ваннами. «отталкивании рровней», понимая под этим явлением увеличение расстояния между двумя близкими уровнями, когда в операторе Гамильтона учитываются члены, которые отбрасывались в более упрощенной задаче. Из уравнения (49,2) следует отношение коэффициентов а и Ь, определяющих волновую функцию (49,1), а и,т ь и — ны' Подставляя в это выражение значения Ег н Ев из уравнения (49,3) и вводя 1а-'() = иы и„ (49,5) получим соответственно Н) =С19Р. (ь) = — 1ай.
Таким образом, нормированные волновые функции состояний, теогия ВОзмущЕНИИ [гл. чп соответствующих энергиям Е! и Еь будут иметь аид ф! = ф, соз — + !р2 з(п —, Р Р 2 ф2 = — ф, з2п -з=+ ф2 соз -к Р Р (49,6) Если выполняется неравенство (49,4), то из (49,5) следует 13 ж 0 и ф! ж !Рь ф2 — ф2. Наоборот, если выполняется неравенство (49,4а), то Р = и!2, поэтому ф! и ф2 выступают в (49,6) с равными долями.
Если теперь для отыскания поправок к энергии Е!' (или Е2) н волновой функции ф! (или ф2) использовать найденные в нулевом приближении уровни энергии Еи Ем Ем Ем ... и волновые функции ф! Фм фзэ фм то в знаменателях сумм, определяющих энергию во втором приближении (47,11) и волновую функцию в первом приближении (47,10), не будет встречаться малая разность Е! — Е2, так как числитель соответствующего слагаемого (ф!~Н~ф2) равен нулю в силу того, что обе функции ф! и фз являются решениями (49,1) уравнения с полным оператором Н.
Следовательно, определение поправок более высокого порядка можно далее вести обычным методом теории возмущений. й 50. Теория возмущений при наличии вырождения (50,1) где ф22 определяются уравнением (Но — Е!) <Ри = О, Подставляя функцию (50,1) в уравнение Шредингера с оператором Н = Нд+ У, получим систему 1 линейных однородных Результаты предыдущего параграфа остаются справедливыми и прн совпадении энергии двух уровней, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
