А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Следовательно, учет конечных размеров ядра, т. е. огличия электрического поля ядра от кулоновского, весьма существен при вычислении волновых функций и энергии и-мезонных атомов (39). Если использовать гамильтонову форму (55,12) уравнения К в Г для свободного движения частицы нулевого спина, то переход (по правилу (58,3)) .к уравнению, описывающему движение частицы в электромагнитном поле с потенциалами А, Аь сводится к замене оператора Гамильтона свободного движения Н~~ (гз + 1тз) 2М + Мс тз оператором И =Н'+ал — '( '+' '1 А+ ~( '+' '1 А'.
(5825) 1=1 аз — М,Р 2Маь 1 :$- 2В2 квАзигелятивистскля квАнтоВАя теоРия 1гл. Уйьа.„ При написании (58,25) было использовано условие калибровщ.,', потенциалов 6(ТА=О. И~ Если функция % =~ / удовлетворяет уравнению )х Х '-Ъ.: 19 с — =1Нс+еА — '+' ' А+ ' ' А~)'~" Аг 1 г с Мс Р 2Мс (58,26) ' то зарядово сопряженная функция (55,23) :'А' ( х'~ (58,27) ' Ф* к удовлетворяет уравнению й ДЧес 1 о 1 е(те+ ссс) °, ее(т, + Гтй ) сс 1 Мс + 2Мсс 1 которое получается из (58,26) при изменении знака импульса и заряда. В этом легко убедиться, умножив слева на матрицу т~ уравнение, комплексно сопряженное к уравнению (58,26), и использовав определение (58,27).
Если, далее, р = е9с те%", то плотность электрического заряда в зарядово сопряженном состоянии (58,27) будет равна рс = е'в,те'р, = — е1с етсЧ" = — р. Однако вектор плотности электрического тока (55,15) при переходе к зарядово сопряженному .состоянию не меняет своего направления А 4 А=.1.
Это цроисходиг потому, что зарядово сопряженное состояние Ч", отличается от состояния 1г изменением знака заряда и изменением направления импульса. 9 59. Релятивистское уравнение Дирака В 1928 г. Днраку удалось найти релятивистское уравнение, которое оказалось пригодным для описания свойств электронов и других частиц, имеющих спин 1/2.
При построении своего уравнения Дирак исходил из требования, чтобы уравнение движения приводило к уравнению непрерывности с положительно определенной плотностью вероятности. Вместб одной функции, исполь. эуемой в ыерелятивистской теории, Дирак ввел систему функций ф,(г, 1), т = 1, 2,' ..., определяющих плотность элекгрического заряда с помощью соотношения р=е ~ ф'ф .
(59,1) т РЕЛЯТИВИСТСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДИРАКА Тогда иэ закона сохранения электрического заряда следует: — Р = ХЛм'ч„.ьКФ) О. а9,в ч Пля выполнения соотношения (59,2) необходимо, чтобы зиад~)ч чения производных — определялись значениями функций в дт данный момент времени.
Следовательно, функции фт должны удовлетворятв уравнению первого порядка относительно произ- водных по времени, Не ограничивая. общности, можно записагь такую систему уравнений в виде д)ч --~ дун глс ~ — — + '~ п~ц — "+1 — '~ () ф =О с д) Ь н д» Ь 2) тн Р где лч — масса частицы, с — скорость света, а<~~ и 3 — посто- янные, вообше говоря, комплексные коэффициенты. Здесь и в последующем знаки сумм указывают, что производится сумми- рование по индексам, встрензющимся дважды.
Латинские ин- дексы л, 1, ... пробегают значения 1, 2, 3. Греческие индексы т, )г, ... пробегают целые положительные значения ог 1 до не- которого а, которое будет определено ниже. Постоянные коэффициенты та~~> и р„в системе уравнений (59,3) определяются из следующих двух условий: а) система уравнений должна приводить к уравнениям не- прерывности для р; б) каждая.из функций ф, в отдельности должна удовлегво- рять релятивистскому уравнению второго порядка (54,5) а). Легко убедиться, что при выполнении условий нз уравнения (59,3) следует уравнение непрерывности — +с))чу=О, др дГ *) Аналогичное треаованне имеется в классической влектродинамике, где шесть величин ес», д'ю Ю~, ЗЕ», ЗКР Ж», определяющих в пустоте влектромагнитнре поле, удовлетворяют уравнениям Максвелла (уравнениям первого порядка) дд' дМ сго)М== сто)д' — — дгте д)тэа О дФ ' дс Ф а каждая иа иих удовлетворяет волновому уравнению, например (та — — ', —,) в'„=О.
КВАЗИРВЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ~гл. чп! если р определяется (59,1) а компоненты вектора плотносги тока , 1„= ес ~ ф,',а'~'ф„. (59,5) Для упрощения записи перейдем к матричным обозначениям. Образуем из коэффициентов аф и 8 четыре матрицы а„= (аф, 6 = Щ). Тогда' условия (59,4) сводятся к требованию, чтобы введенные четыре матрицы были эрмитовыми, что крагко записывается и виде аэ — — атэ, 5 = 52. Далее все функции ф„объединим в матрицу, имеющую один столбец Ф Т2 (59,6) В результате действия'матриц аА и (1 на функцию 21" получаем новую функцию 22" = аз 21". Компоненты функции Ч" определяются по правилу умножения матриц: ф'„=(а %") =,'~ Еасоф„, следовательно, матрицы, (59,4) являются линейными арми.говыми операторами, действующими на индексы функции 2р», которые можно рассматривать как новые (внутренние) переменные, пробегающие дискретные значения. Матрица, эрмитово сопряженная к (59,6), будет иметь только одну строчку: 2Р =(ф"и ф,', ...).
(59 7) Используя (59,6), (59.7) и матрицы ам можно выражения (59,1) и (59,7) переписагь е виде р е%22%2 е ~2;~~ ф„"2)~, (59,8) 1» = ее%' аА'р= ес ~ 2Р,"аф~„. (59,9) Три матрицы ад можно объединить в одну векторную матрицу а, три компоненты которой совпадают с ам В этом случае, век- РЕЛЯТИВИСТСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДИРАКА тор плотности тока принимает вид ес'с ~а%". (59,10) В матричной' форме записи система уравнений (59,3) сводится к одному ур (59,11) Действуя на (59,11) оператором 1 д д и«си а~ я с дс дх~ д получаем уравнение ~ т-~ дс «1~с' (аа +пас) д д + Й«с д — — (а,р+у 1) — 1А1т= О, Ь дх Это уравнение переходит в уравнение вгорого порядка для каждой компоненты функции %«, если а«3+ йаА — — О, а«а~+ а~а« = 26ы. (59,12) Итак, матричное уравнение (59,11) удовлетворяет поставленным условиям а) н б), если матрицы й и а« являются зрмитовыми матрицами, которые удовлетворяют перестановочным соотношениям (59,12).
Четыре независимые зрмитовы матрицы аА и 3 могут удовлетворять соотношениям (59,4) и (59,12) только при условии, что они имеют не меньше четырех строк и четырех столбцов. Один из возможных вариантов выбора матриц а« и й заключается в том„что полагают аА= О ° й=1* 2 3' й= О ( (59,13) где матричными элементами являются двумерные матрицы Паули, илн спиновые матрицы (59,14 [гл. юкт КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ Матрицы Паули удовлетворяюг простым соотношениям ОАА=), о„о, = — о„о =(о, (59,15) где индексы й. 1, гп пробегают значения 1, 2, 3 в циклическом порядке. Любая квадратная матрица второго порядка может быть представлена в виде линейной комбинации спиновых матриц Паули и едйиичной матрицы. Набор матриц (59,13) не является единственным. Легко убе литься, что матрицы аА — — 8аАЗ, й =3()о 1, й 60.
Свободное движение частиц, описываемых уравнением Дирака Матричному уравнению (59,11) .-можно придать внд уравнения Шредингера (й — = Нртг дчг дà — Р (60, 1) с оператором Гамильтона, содержащим дираковские матрицы Нр= сор+ гпс (). (60,2) При записи уравнения в форме (61,1) время выделено явно и основным оператором является оператор Гамильтона Нр. Такая форма записи называется галильтоноаой формой. Она особей но удобна при исследовании стационарных, состояний квантов)Ах систем.
В стационарных состояниях зависимость волновой функции от времени выражается формулой РА" (г, г) = '1г(г) ехр( — г — ). Подставляя (60,3) в (60,1), находим уравнение е'1г(г) = Нртг (г). (60,3) (60,4) получаемые из (59,13) с помощью произвольной унитарной. (чтобы сохранить эрмитовость) матрицы 3, также удовлетворяют соотношениям (59,12). Все физичйские следствия матричного уравнения (59,11), называемого уравнением Дирака, не зависят от конкрегного вида зрмитовых матриц 6, аь, удовлетворяющих соотношениям ($9,12) . В соответствии с тем,'что 6 и аА являются четырехмерными матрицами, волновые функции Ч' также должны иметь только четыре компоненты.
Следовательнб, индексы т и р в уравнениях (59,3) должны пробегать значения 1, 2, 3. 4. чих движение частиц, описываемых иилвнанием диилкл хат Величина е в (60,4) определяет зависимость от времени полной волновой функции (60,3) в стационарных сосгояниях. Для мно. тих приложений удобно выразить четырехкомпонентные функции (59,6) через две двухкомпонентные функции (60,5) с помощью равенства (60,6) (60,8) или е= ~Е,„ (60,11) где Ер — — с р'ре+ т'с' — энергия частицы.
Двум знакам в (60,11) соответствуют. два типа решений уравнения Дирака для состояний с различным ') Тождество (б0,10) легко доказать, если использовать свойства матриц Паули (00,14). Используя запись матриц (59,13) через двумерные магрицы (59,14), приведем уравнение (60,4) к сисгеме двух матричных уравнений елр= сар)(+ тсггр. е)( = сартр — тс'Х. Состояния с определенным значением импульса будут описываться системой уравнений (тсе — е) ~р + сару = ~), сар1р — (глез+ е) т, =О. Отличные от нуля решения этой системы уравнений имеют место только при равенстве нулю детерминанта, составленного,из коэффициентов, стоящих при неизвестных функциях, т.
е. + = О. (60,9) Раскрывая детерминант (60,9) и учитывая операторное тождество *) (аЛ)( В) = Ала+ (а(.4 Х л)1, (60,10) справедливое для двух произвольных, коммутирующих с а операторов А и В, находим Ь вЂ” аз+сер =0, КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ 1гл. »Тп В импульсном представлении этот оператор имеет простой вид; Л сир+ ртсс Ес Поскольку ЛА = 1, то собственные значения оператора Л равны А = е/Ер —— ~1. Собственное значение 1 = +1 Относится к положительным решениям, соответствующим е = Ер.
Собственное значение А = — 1 относится к отрицательным решениям, когда В = — ЕР. Для свободного движения энергия Ер, импульс р и собственные значения Х оператора Л являются интегралами движения и могут одновременно иметь определенные значения. Если е определяется из (60,11), го с помощью (60,8) можно одну двухкомпонентную функцию выразить через другую, на* пример свр ысс+ с (60,13) Для состояний с определенным значением импульса зависи- мость функции ср от координат выражается функцией ехр~ — ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
