А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 46
Текст из файла (страница 46)
т ГР<1 '1 д1' Следовательно, ~р=Ф(2пй) ьехр~+), и =(„'), и†не зависящая от координат двухкомпонентная спиновая функция, на которую действуют матричные операторы о. Эту знаком у энергии в экспоненте, определяющей зависимость волновой функции от времени. Решения с В = Ер будем называть положительньти решениями уравнения Дирака для свободного движения частицы, а решения с е = — Ер будем называть отрицательными решениями. Положительные решения иногда условно называют решениями, соответствующими <состояниям с положительной энергией».
Отрицательные решения называют решениями, соответствующими «состояниям с отрицательной энергией». Последние названия были введены Дираком. Они имеют условный смысл и удобны для описания процессов рождения и уничтожения пар частиц (например, электронов и позитронов) на языке квантовых переходов одной частицы (см. й 65). Введем знаковый оператор Л= —" Н сир+ ~Ьис' (60,!2) 1' У с $трз -1- ытст коммутирующий с оператором Гамильтона свободного движения. Оператор Л эрмитов н унитарен, т.
е. Л=Л =Л '. езз1 движение члстиш описывлнмых ррлвненивм дирлкь 2зэ функцию обычно нормируют условием и'и = и",и„+ и*и = 1, относя оставшуюся часть нормировки к множителю Ф. Итак, функция Дирака„соответствуюшая состояниям с определенными значениями импульса р, энергии Е„и знака у энергии Л. может быть записана в виде и 1рг ехр— Ч" „(г)=Ф тсз+ ЛЕр I (2пв) ~ Чтобы фуйкция (60, 14) была нормирована условием ~. Ч"рлЧгр и Нт = би.~б (р — р'), (60,14) надо положить [ глез + ЛЕр 1Ъ В нерелятивистском приближении для положительных решений е= Ер — — тсз+ Е', где Е' « тсз; поэтому из (60, 13) следует сер ар Х= 2рзсз 1 ь' Ч 2грс 'г « зр.
Таким образом, если скорость- частицы мала по сравнению со скоростью света, то, согласно~(60,161 и (60,5), две из четырех компонент волновой функции становятся малыми по сравнению с двумя другими. В связи с этим'часто функции зрь зрз называют большими функциями, а з)з, фе — милыми функциями. Для состояний с е = — Е, которые соответствуют отрицательным решениям, наоборот„функции з)1 и зрз являются малыми, а функции з1>з н за являются большими. ~зр~ Если в данном состоянии ~ ! частица не обладает опреде).х/ ленным'значением импульса, то связь между малыми и большими компонентами в нерелятивистском приближении, согласно (60,7), может быть записана в виде ар .
атч У, Ц= — И вЂ”. 2тс 2тс Из (59,8) получаем приближенное выражение для плотности электрического заряда в этом состоянии р=а(зр зр+Хех) = е~рф + 4 ...)~р, (60,16) КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ игл. уФН При получении (60,17) мы использовали равенства о(пуф) = уф+ ! го1(оф), (уфт, а) а= уф+ — ! го!(пфт), которые легко получаются прн учете соотношений (59,15). Пер- вое слагаемое в (60,17) 'совпадает с нерелятивистским выраже- нием плотности' тока для частицы без спина, второе слагаемое учитывает спин частицы. Покажем теперь, что, кроме знака е/ЕР, состояния свобод- ного движения частицы'с определенным значением импульса мо- гут различаться значениями другой физической величины, кото- рая, 'как будет показано ниже, обусловлена наличием спина у частицы.
'Для этого введем оператор — Хр, Ь (60,18) где Оператор (60,18) номмутирует с'оператором Гамильтона (60,2) свободного движения, поэтому соответствующая ему физическая величина является. интегралом движения. Поскольку при сво.- бодном движении импульс р является интегралом движения, то интегралом движения будет и физическая величина, соответствующая оператору 1 0 0 0 о — ! о о е е 0 0 1 0 0 0 0 — 1 (60,19) если ось г выбрана вдоль направления импульса. В дальнейшем мы будем пользоваться буквой и для изображения как двухрядных, так н четырехрядных.
матриц Х, которые образуются нз ллухрядных матриц и. В % 29 отмечалось, что собственные значения операторов, задаваемых в виде диагональных матриц, совпадают со значениями диагональных элементов. Таким образом, собственные /О и! Если учесть, что а=~ ]т то плотность тока будет, согласно (59,9), определяться равенством 11 = се (фтау, + Хтпф) ~- "— ™ ]фтп (пфф) — (Чфтп) пф] = = З .. (ф фф — фтф~) + — го!(ф пф). (60,17) ззз движения чхстнп. описывавмых ихвивниам Пиглкх яу~ значения оператора (60,19) равны ~й/2. Собствениые функции этого оператора, соответствующие собственным значениям Щ2 и — В/2, могут быть представлены в виде (60,4) со спиновымн функциями (60,20) Говорят, что в состоянии и~ спин частицы направлен вдоль импульса, т.
е. ар = р. В состоянии юМ спин частицы направлен против импульса, т. е. ар= — р. Следовательно, в состояниях, описываемых спиновыми функциями (60,20), проекция' спина имеет определенное значение. Возможны, конечно, состояния, в которых проекция спина не имеет определенного значения. Этим состояниям соответствуют спиновые фунКции и = а,и, + а,и,. Функции (60,21) удовлетворяют соотношениям ортогоиальности и нормировки, которые выражаются равенствами Произвольное состояние с определенным знаком Х .может быть записано в виде Ч~~= ~)~~ ~ Я(р) Чгз бЯр. (60,22) В общем случае спиновые функции изображаются двумерными одностолбцовыми матрицами или функциями от переменной, пробегающей только два значения.
Итак, из анализа решений уравнения Дирака для свободного движения частицы с определенным импульсом мы пришли к заклщчению, что это уравнение описывает частицы, характеризующиеся некоторой величиной — свином, проекции которой на направление движения принимают только два значения ~Щ2. О-таких частицах говорят,, что они имеют спин, равный 112. К этим частицам относятся электроны, мюоны, протоны, нейтроны, нейтрино. Физический смысл спина этих частиц будет определен ниже (см. $ 62). Волновые функции состояний с определенным значением импульса, направленным вдоль оси з, определенным знаком ь (1 или — 1) н проекцией спина з, (Ц2 или — 1(2) можно кратко записать в виде Ч~я, м 8 ° (60,21) КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ 1гл. тиь Учитывая, что НрЧТРА = ХЕРЧг „легко определить действие оператора Л на функцию (60,22): ЛЧгх = ~ ~ Чгах «Рр = ЛЧга.
(60,26) г А(р)УУ Ба О помощью оператора Л можно образовать проекционные операторы и = 2(1+Л), ) П = — (1 — Л), 1 2 которые обладают простыми свойствами: П,чг.=чг„п,Чг =0, П Ч' =О, П Чг =Ч" . Таким образом, при действии оператора П+ (П ) на произвольную функцию Дирака из нее выделяется часть, соответствующая положительным (отрицательным) состояниям.
По аналогии со случаем частиц нулевого спина операторы, действующие на функцию Дирака, легко разложить на четную и нечетную части. Так как все положительные функции ортогональны ко всем отрицательным функциям, то средние значения всех нечетных операторов в состояниях, соответствующих определенному знаку г„всегда равны нулю. Последовательная одно- частичная теория должна испольровать либо решения; соответствующие положительным состояниям (А = 1), либо решения, соответствующие отрицательным состояниям (Х = — 1). Поэтому в последовательной одночастичной теории все физические величины должны выражаться через четные («одночастичные») операторы*). При выполнении этого условия, как будет показано ниже, связи между операторами (и средними значениями физических величин) релятивистской квантовой теории одной частицы будут аналогичны связям между соответствующими величинами классической теории.
Определим правила выделения из операторов теории Дирака четной и нечетной частей.,Предположим, что оператор а может быть представлен в виде а=1а)+(а), ") Следует, однако, иметь в виду, что из-за эффектов взаимодействия с другими полями и вакуулюм представление о релятивистском движении одной частицы.не может быть сохранено. В связи с этим последовательная квантовая теория движения одной частицы может дать йриближениое описание только таких явлений, в которых эффекты рождения реальных и виртуальных частиц мало существенны, т. е. явлений, протекающих при малых энергиях и в малых внешних полях. заз движения члстиц. описываемых гехвнвиивм дигхкл этз где [а) — четная, а (а) — нечетная часть оператора а. Тогда по определению знакового оператора Л (60,23) и четного и нечет- ного операторов имеем аЧг+ = [а) Ч"+ + (а) Чг+, аЧг [а) Ч' +(а) Ч", ЛаЛЧ'+ — — ЛаЧ'+ — — [а) Ч'+ — (а) Чг+, ЛаЛЧ" = — ЛаЧ" =[а)Ч' — (а) Чг .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
