А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Из полученных равенств находим [а) = — (а + ЛаЛ), (60,24) . ( )=ф~ — ЛаЛ). (60,25) Легко убедиться, что оператор Гамильтона свободного движения Нп и оператор импульса являются четными операторами. Используя (60,24): и явный вцд оператора Л (60,!2), можно, например, вычислить четную часть матрицы а: елков за [а)= в = Л. Ер Ер Таким же образом находим, что четная часть матрицы [) равна [В) = —," ,л, Как- уже отмечалось в 5 63, понятие «одночастичной» координаты частицы и соответствующего оператора х в релятивистской теории одной частицы должно быть изменено. К этому же заключению можно прийти, вычислив оператор скорости частицы со спином 1/2. Согласно 5 31, при учете явного вида оператора Гамильтона (60,2) уравнения Дирака, имеем (60,27) Поскольку собственные значения оператора а равны ~1, то мы приходйм к парадоксальному результату, что собственные значения абсолютной величины скорости частицы со спином 1/2 всегда равны скорости света.
Далее, поскольку матрицы аь аа аз не коммутируют между собой, то и компоненты оператора скорости (60,27) не коммутируют между собой. Легко, однако, ви.- деть, что четная часть оператора (60,27) для положительных решений выражается через оператор импульса равенством, соответствующим связи между скоростью и импульсом л КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [гл, шп классической релятивистской теории.
Действительно, используя (60,26), имеем (60,28) Следовательно, оператор скорости равен с'р/ЕРдля положительных решений и -стр!ЕР для отрицательных решений. Равенство (60,28) наводит на мысль, что в качестве «одно- частичного» оператора координаты в квазирелятивистской квантовой теории одной частйцы со спнном '/т можно взять четную д часть оператора х=И вЂ”. Для выделения четной части опедр ратора х воспользуемся соотношением дй Л2А — 2АЛ= — И вЂ”. дрА Тогда легко получить, что [х]= — (х+ ЛхЛ) =я+ — ' — — 'Р .
(60,29) 2 Последнее слагаемое в (60,29) не меняется с течением времени. Изменение первого слагаемого выражается операторным равенством (60,27). Изменение второго слагаемого в (60,29) легко определить, если учесть соотношение Нра+ аНВ= 2ср; тогда имеем И вЂ” =[а, Нп]=2(ср — На)=2 (аН вЂ” ср)= = 2глс'а[1+ 2сс [а Х р]. (60,80) Амплитуда изменения [х], обусловленного вторым быстро осциллирующим (с частотой 2глс'тя) слагаемым, по порядку величины будет равна комптоновской длине волны частицы, так как В связи с этим собственные функции оператора координаты частицы [х] уже не являются б-функциями, как это было для оператора х нерелятивистской теории, а «размазаны» по области порядка комптоновской длины волны частицы.
Учитывая (60,27) н (60,80), находим д (з) ~ ~ с»рй ° сйора с|рй дг =И ° и— = — [ [х], Н ] = са + — — — и ЕР ЕР ЕР что совпадает с (60,28), ковааиантная запись ткавнания диаака зтб ч бц Итак, в релятивистской теории для сохранения приближенного представления о движении одной частицы в качестве оператора координаты частицы. следует брать оператор (я1, который иногда называют оператором среднего положения частицы (усредненного по объему, линейные размеры которого порядка комптоновской длины волны частицы). 9 61*. Ковариантная запись уравнения Дирака Для исследования свойств преобразований волновых функций Дирака и билинейных комбинаций, составленных из этих функций, удобно переписать матричное уравнение (59,11) в более симметричном виде относительно пространственных и вре; менных переменных.
Для этого введем четыре координаты хи —— = (з, (с1) и новые матрицы у„= (у, у,), выражающиеся через матрицы а н р с помощью соотношений рΠ— и'1 т= — б))а=(~ 1, уб=(л (61,!) Новые матрицы у„являются эрмитовыми. Они удовлегворяют перестановочным соотношениям у»»ут+ уч'у»»= 2бб»». Р» "= 1» 2» 3. 4. (61.2) Умножая (59,12) на — Вй и используя приведенные выше матрицы у„, можно записать это уравнейие в ковариантной форме (~ Уид„— бтс ~Ч".= О, ))„= — 13 —. (61,3) Конкретный вид матриц -у„, входящих в (61,3), не имеет существенного значения.
Необходимо только, чтобы они удовлетворяли перестановочным соотношениям (61,2). Допустим, что наряду с матрицами у имеется другая совокупность матриц у,'„ также удовлетворяющих перестановочным соотношениям-(61,2). Как показано, Паули (401, з этом случае всегда имеется такая несингулярная унитарная матрица 3, которая преобразует одну совокупность матриц в другую, т. е. уз= уа Согласно общей теории унитарных преобразований (см.
$ 31), если одновременно с преобразованием матриц (61,4) провести преобразование функций бй'= 3»Р, КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ~ГЛ. Т!п то уравнение Дирака остается неизменным. В этом можно убедиться и непосредственно, если подставить значения штрихованиых матриц и функций в уравнение Дирака Я у Р— ипс)ЧР'=О и умножить полученное уравнение слева на 8-'. Перепишем уравнение (61,6), отделив временную производную (у4 — + Иут + 1 с) Ч'= О. Тогда уравнение, эрмитово сопряженное к данному, можно за- писать в виде и д т (у4 — — — йу7 — ипс =О с дФ гслн условиться, что на функцию Ч' действуют операторы, стоящие справа от йее.
Умножая это уравнение справа на матрицу у4 и «перенося» ее с использованием перестановочных соотношений (61,2) через операторы, стоящие в круглых скобках, получаем уравнение В д Ч' у4(у4 — — + ЙТ7 — 4шс =О. е д4 Если ввести функцию Ч" = Ч'."'у„ (61,6) называемую функцией дираковски сопряженной относительно Ч", то последнее уравнение можне записать в компактной форме Ч'(2', у„ф„+ 4п4с) = О.
(61,6) Уравнение (61,6) называется диракоески сопряжеппьси уравневием относительно уравнения (61,3). В новых обозначениях рассмотренные в $69 Выражения для плотности электрического заряда и тока принимают вид р = еЧ~~ЧТ = еЧгу4Ч', у = сеР4 аЧ~= 4сеЧ'тФ. Эти выражения можно объединить в единый четырехмерный Вектор 1Р= Ц, 1ср)= 4есЧгу„ЧТ. (61,7) При этом уравнение непрерывности (заков сохранения электрического заряда) сводится к равенству ковзгнхнтнзя зхпись уузанения диРАкз 277 % и] или в краткой записи х' ах, аа = 1, где а в матрица преобразования,транспонированная к матрице а.
Преобразования (61,8) не изменяют квадрата длины 4-вектора и соответствуют собственным преобразованиям Лоренца, вращениям в трехмерном пространстве, инверсии пространственных координат и обращению времени. Операции инверсии пространственных координат соответствует матрица преобразования — 1 0 0 0 0 — 1 0 0 0 0 — 1 0 0 0 0 1 (61,9) Операции обращения времени соответствуег матрица 1 0 0 ° 0 0 1 О 0 О О 1 О О 0 0 — 1 (6 1',! 0) Оба эти преобразования координат относятся к ~6ккретным преобразованиям с детерминантом преобразования, равным — 1. Собственные преобразования Лоренца и все трехмерные вращения в пространстве относятся к непрерывным преобразованиям, т. е.
к преобразованиям, которые могут быть получены из тождественного преобразования путем непрерывного его изменения. Детерминант, составленный из коэффициентов матриц таких преобразований, равен 1. В качестве примера укажем две. матрицы непрерывных преобразований. а) Матрица преобразования соз т, 0 0 з(п71 0 1 0 0 0 0 1 Π— з(пу, 0 0 сову соответствует преобразованию Лоренца, т.
е. переходу к системе координат, движущейся относительно начальной системы вдоль оси х со скоростью п, Исследуем теперь свойства преобразований волновых функций уравнения Дирака при ортогональных преобразованиях координат х~ — — ~с~~ азах.„, ~с~ ак„ак Ь„»ч (61,8) КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ «гл.
Рпг б) Матрица преобразования соз ~р з!и ~р ΠΠ— з(ну сову О О О О 1 О О О О 1 (61,12) соответствует вращению системы координат вокруг оси г на угол ~р. В этом параграфе. мы рассмотрим только преобразования с ам О, т. е. преобразования,' не содержащие операции обращения времени. Операция обращения времени будет исследована в $1!9.
Если учесть, что матрицы.Дирака у„являются числами н не изменяются при преобразованиях координат (61,8), а операторы четырехмерного импульса преобразуются по закону ))„'-Х „,))„, (61,13) то при преобразовании (61,8) уравнение Дирака перейдет в уравнение (Х ))В' — )Ч"'И=О (61, 14) где Чг' — новые функции от новых независимых переменных х'. ы Определим теперь такое унитарное преобразование волновых функций: Р (х)=5'Р(х), (61, 16) при котором уравнение (61,14) перейдет снова в уравнение (61,3). После подстановки (61,13) и (61,16) в уравнение (61,14) имеем (~~,~ узпзчРч 1тс) 5 1 = О. Умножая это уравнение слева на 5 ', приведем его к виду, (~ 5 ~уР5ав,!)„— !гас) т!г = О. Сравнивая полученное уравнение с уравнением (61,3), мы убедимся, что они совпадают, если ~~~, 5 ~уя5а„т = у .
Используя свойство ортогональности матрицы преобразования (61,8), последнее равенство можно преобразовать к виду 5 ~уР5= ~~'.~ а„ту„. (61,!6) Система четырех уравнений (61.16) определяет матрицу преобразования волновых функций уравнения Днрака прн преобразованиях координат (61,8). ь бя ковАРиАнтнАя запись РРАвнвния дирдиА 279 Можно показать, что при преобразованиях координат, не ме. ИЯющих знака вРемени (очз ).О), диРаковскн сопРЯженные функции преобразуются по закону Ч~' = %~8 (61, Щ Матраца преобразоваявя фуккцкй (8) вследствие мкямого характера коордявзты л, = !с! яе увятарва. Среда .
матркчкых элементов матрацы преобразоваяця коордяязт (61,8) только ам я аы (А,! = 1, 2, 3) действятелькы, элементы жа ам' являются. мнимыми. Поэтому, учитывая свойство эрмктовостя матрац у1„кз равеяства (61,16) паховая з (8" у 8) а у — Д' а зуз. а ! ,Умножая получекяое равеяство справа яа у! я учитывая свойство коммутацкк матРиц Тв, Язходкм (8 уе8) 7! 8 уз(8 ) у! Тч ~С~~ плвтв.х а Правую часть этого рзвеяства можно преобразовать согласяо (61,16). Тогда получим уч8Ъ (8') 'у! - 8-'ул8.
Поскольку у = уз !, можно преобразовать это равенство к вкду (у,8'у,) у. (Т,8'у,) '-8-'у,8. Из последнего равеяства следует, что Т,8ту,-А8-г, (61.18) где Х = 1, — 1. Чтобы Выясяять, когда Х = 1 к когда А = — 1, рассмотркм тождество 8т8 8тугял8. Преобразуем правую часть этого. тождества с помощью (61,18) к (61,16). Тогда палучям з 8 8 = АУ!8 'Уч8 А а + ч!', а АУА . з=! Взяв шпур, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
