Главная » Просмотр файлов » А.С. Давыдов - Квантовая механика

А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 47

Файл №1120560 А.С. Давыдов - Квантовая механика (А.С. Давыдов - Квантовая механика) 47 страницаА.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560) страница 472019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 47)

Из полученных равенств находим [а) = — (а + ЛаЛ), (60,24) . ( )=ф~ — ЛаЛ). (60,25) Легко убедиться, что оператор Гамильтона свободного движения Нп и оператор импульса являются четными операторами. Используя (60,24): и явный вцд оператора Л (60,!2), можно, например, вычислить четную часть матрицы а: елков за [а)= в = Л. Ер Ер Таким же образом находим, что четная часть матрицы [) равна [В) = —," ,л, Как- уже отмечалось в 5 63, понятие «одночастичной» координаты частицы и соответствующего оператора х в релятивистской теории одной частицы должно быть изменено. К этому же заключению можно прийти, вычислив оператор скорости частицы со спином 1/2. Согласно 5 31, при учете явного вида оператора Гамильтона (60,2) уравнения Дирака, имеем (60,27) Поскольку собственные значения оператора а равны ~1, то мы приходйм к парадоксальному результату, что собственные значения абсолютной величины скорости частицы со спином 1/2 всегда равны скорости света.

Далее, поскольку матрицы аь аа аз не коммутируют между собой, то и компоненты оператора скорости (60,27) не коммутируют между собой. Легко, однако, ви.- деть, что четная часть оператора (60,27) для положительных решений выражается через оператор импульса равенством, соответствующим связи между скоростью и импульсом л КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [гл, шп классической релятивистской теории.

Действительно, используя (60,26), имеем (60,28) Следовательно, оператор скорости равен с'р/ЕРдля положительных решений и -стр!ЕР для отрицательных решений. Равенство (60,28) наводит на мысль, что в качестве «одно- частичного» оператора координаты в квазирелятивистской квантовой теории одной частйцы со спнном '/т можно взять четную д часть оператора х=И вЂ”. Для выделения четной части опедр ратора х воспользуемся соотношением дй Л2А — 2АЛ= — И вЂ”. дрА Тогда легко получить, что [х]= — (х+ ЛхЛ) =я+ — ' — — 'Р .

(60,29) 2 Последнее слагаемое в (60,29) не меняется с течением времени. Изменение первого слагаемого выражается операторным равенством (60,27). Изменение второго слагаемого в (60,29) легко определить, если учесть соотношение Нра+ аНВ= 2ср; тогда имеем И вЂ” =[а, Нп]=2(ср — На)=2 (аН вЂ” ср)= = 2глс'а[1+ 2сс [а Х р]. (60,80) Амплитуда изменения [х], обусловленного вторым быстро осциллирующим (с частотой 2глс'тя) слагаемым, по порядку величины будет равна комптоновской длине волны частицы, так как В связи с этим собственные функции оператора координаты частицы [х] уже не являются б-функциями, как это было для оператора х нерелятивистской теории, а «размазаны» по области порядка комптоновской длины волны частицы.

Учитывая (60,27) н (60,80), находим д (з) ~ ~ с»рй ° сйора с|рй дг =И ° и— = — [ [х], Н ] = са + — — — и ЕР ЕР ЕР что совпадает с (60,28), ковааиантная запись ткавнания диаака зтб ч бц Итак, в релятивистской теории для сохранения приближенного представления о движении одной частицы в качестве оператора координаты частицы. следует брать оператор (я1, который иногда называют оператором среднего положения частицы (усредненного по объему, линейные размеры которого порядка комптоновской длины волны частицы). 9 61*. Ковариантная запись уравнения Дирака Для исследования свойств преобразований волновых функций Дирака и билинейных комбинаций, составленных из этих функций, удобно переписать матричное уравнение (59,11) в более симметричном виде относительно пространственных и вре; менных переменных.

Для этого введем четыре координаты хи —— = (з, (с1) и новые матрицы у„= (у, у,), выражающиеся через матрицы а н р с помощью соотношений рΠ— и'1 т= — б))а=(~ 1, уб=(л (61,!) Новые матрицы у„являются эрмитовыми. Они удовлегворяют перестановочным соотношениям у»»ут+ уч'у»»= 2бб»». Р» "= 1» 2» 3. 4. (61.2) Умножая (59,12) на — Вй и используя приведенные выше матрицы у„, можно записать это уравнейие в ковариантной форме (~ Уид„— бтс ~Ч".= О, ))„= — 13 —. (61,3) Конкретный вид матриц -у„, входящих в (61,3), не имеет существенного значения.

Необходимо только, чтобы они удовлетворяли перестановочным соотношениям (61,2). Допустим, что наряду с матрицами у имеется другая совокупность матриц у,'„ также удовлетворяющих перестановочным соотношениям-(61,2). Как показано, Паули (401, з этом случае всегда имеется такая несингулярная унитарная матрица 3, которая преобразует одну совокупность матриц в другую, т. е. уз= уа Согласно общей теории унитарных преобразований (см.

$ 31), если одновременно с преобразованием матриц (61,4) провести преобразование функций бй'= 3»Р, КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ~ГЛ. Т!п то уравнение Дирака остается неизменным. В этом можно убедиться и непосредственно, если подставить значения штрихованиых матриц и функций в уравнение Дирака Я у Р— ипс)ЧР'=О и умножить полученное уравнение слева на 8-'. Перепишем уравнение (61,6), отделив временную производную (у4 — + Иут + 1 с) Ч'= О. Тогда уравнение, эрмитово сопряженное к данному, можно за- писать в виде и д т (у4 — — — йу7 — ипс =О с дФ гслн условиться, что на функцию Ч' действуют операторы, стоящие справа от йее.

Умножая это уравнение справа на матрицу у4 и «перенося» ее с использованием перестановочных соотношений (61,2) через операторы, стоящие в круглых скобках, получаем уравнение В д Ч' у4(у4 — — + ЙТ7 — 4шс =О. е д4 Если ввести функцию Ч" = Ч'."'у„ (61,6) называемую функцией дираковски сопряженной относительно Ч", то последнее уравнение можне записать в компактной форме Ч'(2', у„ф„+ 4п4с) = О.

(61,6) Уравнение (61,6) называется диракоески сопряжеппьси уравневием относительно уравнения (61,3). В новых обозначениях рассмотренные в $69 Выражения для плотности электрического заряда и тока принимают вид р = еЧ~~ЧТ = еЧгу4Ч', у = сеР4 аЧ~= 4сеЧ'тФ. Эти выражения можно объединить в единый четырехмерный Вектор 1Р= Ц, 1ср)= 4есЧгу„ЧТ. (61,7) При этом уравнение непрерывности (заков сохранения электрического заряда) сводится к равенству ковзгнхнтнзя зхпись уузанения диРАкз 277 % и] или в краткой записи х' ах, аа = 1, где а в матрица преобразования,транспонированная к матрице а.

Преобразования (61,8) не изменяют квадрата длины 4-вектора и соответствуют собственным преобразованиям Лоренца, вращениям в трехмерном пространстве, инверсии пространственных координат и обращению времени. Операции инверсии пространственных координат соответствует матрица преобразования — 1 0 0 0 0 — 1 0 0 0 0 — 1 0 0 0 0 1 (61,9) Операции обращения времени соответствуег матрица 1 0 0 ° 0 0 1 О 0 О О 1 О О 0 0 — 1 (6 1',! 0) Оба эти преобразования координат относятся к ~6ккретным преобразованиям с детерминантом преобразования, равным — 1. Собственные преобразования Лоренца и все трехмерные вращения в пространстве относятся к непрерывным преобразованиям, т. е.

к преобразованиям, которые могут быть получены из тождественного преобразования путем непрерывного его изменения. Детерминант, составленный из коэффициентов матриц таких преобразований, равен 1. В качестве примера укажем две. матрицы непрерывных преобразований. а) Матрица преобразования соз т, 0 0 з(п71 0 1 0 0 0 0 1 Π— з(пу, 0 0 сову соответствует преобразованию Лоренца, т.

е. переходу к системе координат, движущейся относительно начальной системы вдоль оси х со скоростью п, Исследуем теперь свойства преобразований волновых функций уравнения Дирака при ортогональных преобразованиях координат х~ — — ~с~~ азах.„, ~с~ ак„ак Ь„»ч (61,8) КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ «гл.

Рпг б) Матрица преобразования соз ~р з!и ~р ΠΠ— з(ну сову О О О О 1 О О О О 1 (61,12) соответствует вращению системы координат вокруг оси г на угол ~р. В этом параграфе. мы рассмотрим только преобразования с ам О, т. е. преобразования,' не содержащие операции обращения времени. Операция обращения времени будет исследована в $1!9.

Если учесть, что матрицы.Дирака у„являются числами н не изменяются при преобразованиях координат (61,8), а операторы четырехмерного импульса преобразуются по закону ))„'-Х „,))„, (61,13) то при преобразовании (61,8) уравнение Дирака перейдет в уравнение (Х ))В' — )Ч"'И=О (61, 14) где Чг' — новые функции от новых независимых переменных х'. ы Определим теперь такое унитарное преобразование волновых функций: Р (х)=5'Р(х), (61, 16) при котором уравнение (61,14) перейдет снова в уравнение (61,3). После подстановки (61,13) и (61,16) в уравнение (61,14) имеем (~~,~ узпзчРч 1тс) 5 1 = О. Умножая это уравнение слева на 5 ', приведем его к виду, (~ 5 ~уР5ав,!)„— !гас) т!г = О. Сравнивая полученное уравнение с уравнением (61,3), мы убедимся, что они совпадают, если ~~~, 5 ~уя5а„т = у .

Используя свойство ортогональности матрицы преобразования (61,8), последнее равенство можно преобразовать к виду 5 ~уР5= ~~'.~ а„ту„. (61,!6) Система четырех уравнений (61.16) определяет матрицу преобразования волновых функций уравнения Днрака прн преобразованиях координат (61,8). ь бя ковАРиАнтнАя запись РРАвнвния дирдиА 279 Можно показать, что при преобразованиях координат, не ме. ИЯющих знака вРемени (очз ).О), диРаковскн сопРЯженные функции преобразуются по закону Ч~' = %~8 (61, Щ Матраца преобразоваявя фуккцкй (8) вследствие мкямого характера коордявзты л, = !с! яе увятарва. Среда .

матркчкых элементов матрацы преобразоваяця коордяязт (61,8) только ам я аы (А,! = 1, 2, 3) действятелькы, элементы жа ам' являются. мнимыми. Поэтому, учитывая свойство эрмктовостя матрац у1„кз равеяства (61,16) паховая з (8" у 8) а у — Д' а зуз. а ! ,Умножая получекяое равеяство справа яа у! я учитывая свойство коммутацкк матРиц Тв, Язходкм (8 уе8) 7! 8 уз(8 ) у! Тч ~С~~ плвтв.х а Правую часть этого рзвеяства можно преобразовать согласяо (61,16). Тогда получим уч8Ъ (8') 'у! - 8-'ул8.

Поскольку у = уз !, можно преобразовать это равенство к вкду (у,8'у,) у. (Т,8'у,) '-8-'у,8. Из последнего равеяства следует, что Т,8ту,-А8-г, (61.18) где Х = 1, — 1. Чтобы Выясяять, когда Х = 1 к когда А = — 1, рассмотркм тождество 8т8 8тугял8. Преобразуем правую часть этого. тождества с помощью (61,18) к (61,16). Тогда палучям з 8 8 = АУ!8 'Уч8 А а + ч!', а АУА . з=! Взяв шпур, т.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,47 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6540
Авторов
на СтудИзбе
300
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее