Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.С. Давыдов - Квантовая механика

А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 5

DJVU-файл А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 5 Физика (2684): Книга - 4 семестрА.С. Давыдов - Квантовая механика: Физика - DJVU, страница 5 (2684) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.С. Давыдов - Квантовая механика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 5 - страница

При 1~го !х?ч/л расширение пакета происходит медленно. Однако при 1 > !о ширина пакета растет пропорционально времени со скоростью МЯЛ). Эта скорость тем больше, чем меньше масса частицы. Например, при Г = 10-э см критическое время, начиная с которого' ширина пакета возрастает линейно, для электрона равно примерно !О-м с, а для частицы с массой один грамм — около 1ОЪ лет.- й 5. Свободная частица в ограниченном объеме пространства фэ (г) = й ~ ехр (1йг), (5;3) где 2я 2п 2я я =' — и я= — а-й= — л я ь «г и ь у> а .ь (5,4) и„, л„, л,— все целые положительные и отрицательные числа. Таким образом, введение граничных условий (5,2) сводится.

к тому, что вектор Й'пробегает дискретный ряд Значений, определяемых условиями (5,4). При переходе к пределу Х-~- ео 'расстояние между двумя ближайшими значениями й стремится. к нулю, и мы снова вернемся к свободному движению частицы в. неограниченном пространстве. Примером волновых функций, которые нельзя нормировать условием (4,1), являются волновые функции ф(г, !) = Аехр(~(йг — а!)), (5,1) соотэетствуюшие состоянию свободного движения частицы, имеюшей определеннйй импульс р = Мг.

Однако можно обеспечить нормируемость функций (5,1) путем определения всех функций внутри очень большого объема, заданного в виде куба с ребром 1.. На поверхности этого. объема волновые функции должны удовлетворять некоторым граничным условиям. При достаточно большом 1.(Е)))10 э см) влияние граничных условий иа характер движения частицы в объеме й = (.э будет очень малым. Поэтому граничные условия можно выбрать в произвольном, достаточно простом виде. Наиболее часто в качестве граничных условий принимаются условия цикличности с периодом Е, т.

е. требуют, чтобы волновая функция удовлетворяла условиям ф (х, у, х) = ф (х+ Е, у, х) = ф (х, у + Е„г) = ф (х, у, х+ Е). (5,2) Будем исследовать состояния в момент времени 1 О, тогда, подставляя (5,1) в (5,2), мы убедимся, что условия цикличности удовлетворяются, если нормированные на объем 0 функции (5,1) имеют вид Совокупность функций (5,3), соответствующих всем возможным в соответствии с (5,4) значениям й, образует систему функций, удовлетворяющих условию ) ф$ (г) фэ(г) дт=бэм (5,5) где бмэ=б„б ° б ° ", при этом символ б;=О, -если н'чьп э„.ь„э„ь ь,э; и 6„„=1, если и'=и; Ит =Их~Гудг.

Функции (5,3) образуют полную систему функций, т. е. любая волновая функция ф, изображающая произвольное состояние движения частицы в объеме й может быть представлена в виде линейной комбинации функций (5,3), т. е. ф(г) = Х аиЬ(г). (5,6) Коэффициенты разложения аз функции ф по состояниям с определенным импульсом легко вычисляются из (5,6), если умно жить обе части этого Равенства на фэ (г) и проинтегрировать по всем значениям координат в объеме ь). Тогда, используя (5,5), находим аз= ) ф(г)Я(г)г(т.

(5,7) Если функции ф(г) нормированы в объеме й, то, подставляя (5,6) в условие нормировки и используя (5,5), находим 1 = ~ ф (г)ф(г1с(т='~~1аэ'г. ь (5,8) й 6. Вычисление средних значений координаты и импульса Покажем, что знание нормированной волновой функции ф позволяет вычислить средние значения координаты, ймпульса и других физических величин в этом состоянии. Если учесть, что плотность вероятности определенных значений радиуса-вектора выражается через функцию состояния ф: р =ф'(г) ф(г), Из (5,6) следует, что коэффициенты аэ определяют долю участия состояния с определенным импульсом р = йй в общем состоянии ф(г); квадрат модуля аа определяет вероятность обнаружения у системы, находящейся в состоянии ф, значения импульса'р=--дй.

При этом равенство (5,8) можно рассматривать ;как утверждение, что сумма вероятностей всех возможных значений импульса должна равняться единице. то, согласно теореме о математическом ожидании, среднее зна- чение (г) радиуса-вектора в этом состоянии будет определяться интегралом ' (г) = ~ ф (г) гф (г) сй. Таким же образом вычисляется и среднее значение любой функции радиуса-вектора (Р(г)) = ~ ~Р'(г)1(г) ф (г) г)т.

Чгобы определить среднее значение импульса р в данном состоянии Чь введем искусственные граничные условия, рассмотренные в $5. Тогда вероятность значения импульса р = Щ как было показано в $5, будет определяться величиной )аа~з, где аз= ~ Чз(г) Ча(т)йт. (6,2) (р) = Л,'~~ аайам (6,3) Подставляя в это выражение значения аэ из (6,2) н используя равенство йцъ («) = — т 7Чъ (г), непосредственно следуюшее из определения функций (5,3), пре- образуем' (6,3) к виду (р)=И~~) ф'(г')фь(г')сй ) ф(г)Щ»(г)дт. (6,4) Из-за циклических условий (5,2) значения функций ф и ~ъ на противоположных гранях куба П равны, поэтому путем инте- грирования по частям получаем Используя этот результат, преобразуем (6,4) к аиду Зная вероятность определенного значения импульса, находим среднее значение ймпульса по обшему правилу Сумма, стоящая в фигурных скобках под знаком интеграла, равна «)' ~ ф» («') ф»,(«) = б («' — «), (6,6) где б(«' — «) — сингулярная функция, равная нулю во всех точках «' Ф «и удовлетворявшая условию ~ Р(«) б(«' — «) с(т=р(«').

(6,6) Более подробно со свойствами сингулярной функции 5(т — «), -пазь|ваемой 4ункцаей Дирака, можно ознакомиться в математическом дополнении А. Используя (6,6) и (6,6), находим окончательную формулу, определяющую среднее значение импульса, (р) = ) ф'(«) ( — тд~) ф («) у . Этот результат легко обобщается и на случай любой целой ра- циональной функции «(р) импульса (Р(р)) ) ф'(«) «( — ИЯ» ф(«) ~ут.

Например, среднее значение кинетической энергии частицы всо- стоянии ф будет определяться выражением ( — ) = ~ ф ( — — ) ф с(т. «» Доказательство равенства (6.5) легко получать, равласая 6(У вЂ” «» по полной системе функций (5,3) ь («' — «1 ~~~~~ з» (у) ф» («» и вычисляя ковффнпиенты разложення Ь„(У) с помвноно (5,5) н уело.

вня (6,6). непосредственно через значения волновой функции, соответствующей данному' состоянию. Формула (6,7) сохраняет свой'вид и прн переходе к пределу Š— оо, поэтому правило (6,7) вычисления среднего значения импульса сраведливо в общем случае неограниченного пространства. Таким же образом можно показать, что среднее значение любой степени импульса может быть вычислено по правилу Ф (р ) = ) ф («) ( —.

РК) ф («) с(г. й 7. Операторы Физических величин В предыдущем параграфе мы вывели правила, позволяющие вычислять средние значения в произвольных состояниях (описываемых нормированными функциями ф) функций, зависящих либо от координат, либо являющихся целыми рациональными. функциями импульсов. Если функция Р является суммой функций Рг(г) и Рэ(р), то и Ъ этом случае вычисление среднего значения Р в состоянии ф сводится к вычислению интеграла (Р)=~ ф'Рф т, (7. 1у где величина Р = Р (г) + Р ( — гйг(г), (7,2) вообще говоря, является дифференциальным оператором. Будем называть Р оператором, соответствующим физической величине Р.

Оператор определен на некотором множестве функций, если указан закон, с помощью ноторого каждой функции множества сопоставляется фуннция„входящая в то же. множество функций. Операторы, определенные на* различных множествах функций, следует рассматривать как различные опед~ дэ дэ раторы. Например, оператор Лапласа тг — + — ~. + — может бытьдхг ду даэ определен на исех дважды дифференцнруемых функциях, заданных в бесконечном пространствц или на дважды дифференцнруемых функциях, которые отличны от нуля внутри некоторой области и удовлетворяют неноторому У аничному условию на границах этой области. В частности, можно потреовагь, чтобы на границах области все функции обращались в нуль.

Операторы, содержащие действие дифференцирования, носят назваииедиффэдэяпиальлых опэрагорозг Если операторы содержат действие интегрирования, то онн называются интегральными операторами. Могут быть интегро-дифференциальные операторы. Частным случаем интегральных операторов являются функционалы. Функционалом называется оператор, который, действуя на любую функцию множества функций, на котором он определен, дает некоторую постоянную. Одним иа примеров функционала валяется скалярное произведение (ф(1р) е— = ~ ф'(э)гр(ь) пь. Если функция т фиксирована, то (ф(ф) есть линейный функционал относительно функций ф В квантовой механике рассматриваются дифференциальные (н обратные. к иим интегральные) операторы, определенные на миогкестве функций, непрерывных и дифференцируемых в замкнутой области Й (Й может быть, гг бесконечной) и удовлетворяющих однородным краевым условиям на границах этой 'области.

Краевые условия называются однородными, если им удовлетворяет функция, тождественно равная нулю как во всех точках внутре области Й, так н на границах этой области. Правило (7,1) нахождения среднего значения Р в состоянии ф можно обобщить-на случай произвольных физических величин Р, если мы найдем способ построения соответствующих опеРаторов Р. ' Прежде чем переходить к правилам построения операторов, соответствующих физическим величинам, определим общие условия, которым должны удовлетворять такие операторы. Действие оператора на стоящую справа от него функцию ф в интеграле (7,1) сводится к преобразованию этой функции в новую функцию Чтобы при таком преобразовании не нарушался принцип супер- позиции состояний, необходимо выполнение условий Р (аф) = арф, (7,3) Р(ф + ф) =М+ Рф, 1 Операторы, удовлетворяющие условиям (7,3) для произвольной функции ф, называются линейными операторами. Если функция Р изображает физическую величину, то ее среднее значение обязательно действительно.

Условие действигельности средних значений: (Р) = (Р)', согласно (7„1), сводится к интегральному равенству для операторов Р ) Фрф а = ) фр'ф' д ° (7,4) Равенство (7,4) является частным случаем более общего равен- ства ( ф'Р<р дт = ( чРф дт, (7,5) которому удовлетворяют самосопряженные, нли зрмитоеы, операторы. В равенстве (7,5) функции ф" и ~р являются произвольными функциями, зависящими от переменных, на которые действует оператор Р и для,которых интегралы (7,5), распространенные на все возможные значения переменных, имеют конечные значения. Поскольку равенство (7,4) является частным случаем равенства (7,5), то можно сказать, что условие действительности средних значений физических величин в произвольных состояниях сводится к требованию, чтобы соответствующие им операторы были самосопряженными.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее