А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 5

При 1~го !х?ч/л расширение пакета происходит медленно. Однако при 1 > !о ширина пакета растет пропорционально времени со скоростью МЯЛ). Эта скорость тем больше, чем меньше масса частицы. Например, при Г = 10-э см критическое время, начиная с которого' ширина пакета возрастает линейно, для электрона равно примерно !О-м с, а для частицы с массой один грамм — около 1ОЪ лет.- й 5. Свободная частица в ограниченном объеме пространства фэ (г) = й ~ ехр (1йг), (5;3) где 2я 2п 2я я =' — и я= — а-й= — л я ь «г и ь у> а .ь (5,4) и„, л„, л,— все целые положительные и отрицательные числа. Таким образом, введение граничных условий (5,2) сводится.

к тому, что вектор Й'пробегает дискретный ряд Значений, определяемых условиями (5,4). При переходе к пределу Х-~- ео 'расстояние между двумя ближайшими значениями й стремится. к нулю, и мы снова вернемся к свободному движению частицы в. неограниченном пространстве. Примером волновых функций, которые нельзя нормировать условием (4,1), являются волновые функции ф(г, !) = Аехр(~(йг — а!)), (5,1) соотэетствуюшие состоянию свободного движения частицы, имеюшей определеннйй импульс р = Мг.

Однако можно обеспечить нормируемость функций (5,1) путем определения всех функций внутри очень большого объема, заданного в виде куба с ребром 1.. На поверхности этого. объема волновые функции должны удовлетворять некоторым граничным условиям. При достаточно большом 1.(Е)))10 э см) влияние граничных условий иа характер движения частицы в объеме й = (.э будет очень малым. Поэтому граничные условия можно выбрать в произвольном, достаточно простом виде. Наиболее часто в качестве граничных условий принимаются условия цикличности с периодом Е, т.

е. требуют, чтобы волновая функция удовлетворяла условиям ф (х, у, х) = ф (х+ Е, у, х) = ф (х, у + Е„г) = ф (х, у, х+ Е). (5,2) Будем исследовать состояния в момент времени 1 О, тогда, подставляя (5,1) в (5,2), мы убедимся, что условия цикличности удовлетворяются, если нормированные на объем 0 функции (5,1) имеют вид Совокупность функций (5,3), соответствующих всем возможным в соответствии с (5,4) значениям й, образует систему функций, удовлетворяющих условию ) ф$ (г) фэ(г) дт=бэм (5,5) где бмэ=б„б ° б ° ", при этом символ б;=О, -если н'чьп э„.ь„э„ь ь,э; и 6„„=1, если и'=и; Ит =Их~Гудг.

Функции (5,3) образуют полную систему функций, т. е. любая волновая функция ф, изображающая произвольное состояние движения частицы в объеме й может быть представлена в виде линейной комбинации функций (5,3), т. е. ф(г) = Х аиЬ(г). (5,6) Коэффициенты разложения аз функции ф по состояниям с определенным импульсом легко вычисляются из (5,6), если умно жить обе части этого Равенства на фэ (г) и проинтегрировать по всем значениям координат в объеме ь). Тогда, используя (5,5), находим аз= ) ф(г)Я(г)г(т.

(5,7) Если функции ф(г) нормированы в объеме й, то, подставляя (5,6) в условие нормировки и используя (5,5), находим 1 = ~ ф (г)ф(г1с(т='~~1аэ'г. ь (5,8) й 6. Вычисление средних значений координаты и импульса Покажем, что знание нормированной волновой функции ф позволяет вычислить средние значения координаты, ймпульса и других физических величин в этом состоянии. Если учесть, что плотность вероятности определенных значений радиуса-вектора выражается через функцию состояния ф: р =ф'(г) ф(г), Из (5,6) следует, что коэффициенты аэ определяют долю участия состояния с определенным импульсом р = йй в общем состоянии ф(г); квадрат модуля аа определяет вероятность обнаружения у системы, находящейся в состоянии ф, значения импульса'р=--дй.

При этом равенство (5,8) можно рассматривать ;как утверждение, что сумма вероятностей всех возможных значений импульса должна равняться единице. то, согласно теореме о математическом ожидании, среднее зна- чение (г) радиуса-вектора в этом состоянии будет определяться интегралом ' (г) = ~ ф (г) гф (г) сй. Таким же образом вычисляется и среднее значение любой функции радиуса-вектора (Р(г)) = ~ ~Р'(г)1(г) ф (г) г)т.

Чгобы определить среднее значение импульса р в данном состоянии Чь введем искусственные граничные условия, рассмотренные в $5. Тогда вероятность значения импульса р = Щ как было показано в $5, будет определяться величиной )аа~з, где аз= ~ Чз(г) Ча(т)йт. (6,2) (р) = Л,'~~ аайам (6,3) Подставляя в это выражение значения аэ из (6,2) н используя равенство йцъ («) = — т 7Чъ (г), непосредственно следуюшее из определения функций (5,3), пре- образуем' (6,3) к виду (р)=И~~) ф'(г')фь(г')сй ) ф(г)Щ»(г)дт. (6,4) Из-за циклических условий (5,2) значения функций ф и ~ъ на противоположных гранях куба П равны, поэтому путем инте- грирования по частям получаем Используя этот результат, преобразуем (6,4) к аиду Зная вероятность определенного значения импульса, находим среднее значение ймпульса по обшему правилу Сумма, стоящая в фигурных скобках под знаком интеграла, равна «)' ~ ф» («') ф»,(«) = б («' — «), (6,6) где б(«' — «) — сингулярная функция, равная нулю во всех точках «' Ф «и удовлетворявшая условию ~ Р(«) б(«' — «) с(т=р(«').

(6,6) Более подробно со свойствами сингулярной функции 5(т — «), -пазь|ваемой 4ункцаей Дирака, можно ознакомиться в математическом дополнении А. Используя (6,6) и (6,6), находим окончательную формулу, определяющую среднее значение импульса, (р) = ) ф'(«) ( — тд~) ф («) у . Этот результат легко обобщается и на случай любой целой ра- циональной функции «(р) импульса (Р(р)) ) ф'(«) «( — ИЯ» ф(«) ~ут.

Например, среднее значение кинетической энергии частицы всо- стоянии ф будет определяться выражением ( — ) = ~ ф ( — — ) ф с(т. «» Доказательство равенства (6.5) легко получать, равласая 6(У вЂ” «» по полной системе функций (5,3) ь («' — «1 ~~~~~ з» (у) ф» («» и вычисляя ковффнпиенты разложення Ь„(У) с помвноно (5,5) н уело.

вня (6,6). непосредственно через значения волновой функции, соответствующей данному' состоянию. Формула (6,7) сохраняет свой'вид и прн переходе к пределу Š— оо, поэтому правило (6,7) вычисления среднего значения импульса сраведливо в общем случае неограниченного пространства. Таким же образом можно показать, что среднее значение любой степени импульса может быть вычислено по правилу Ф (р ) = ) ф («) ( —.

РК) ф («) с(г. й 7. Операторы Физических величин В предыдущем параграфе мы вывели правила, позволяющие вычислять средние значения в произвольных состояниях (описываемых нормированными функциями ф) функций, зависящих либо от координат, либо являющихся целыми рациональными. функциями импульсов. Если функция Р является суммой функций Рг(г) и Рэ(р), то и Ъ этом случае вычисление среднего значения Р в состоянии ф сводится к вычислению интеграла (Р)=~ ф'Рф т, (7. 1у где величина Р = Р (г) + Р ( — гйг(г), (7,2) вообще говоря, является дифференциальным оператором. Будем называть Р оператором, соответствующим физической величине Р.

Оператор определен на некотором множестве функций, если указан закон, с помощью ноторого каждой функции множества сопоставляется фуннция„входящая в то же. множество функций. Операторы, определенные на* различных множествах функций, следует рассматривать как различные опед~ дэ дэ раторы. Например, оператор Лапласа тг — + — ~. + — может бытьдхг ду даэ определен на исех дважды дифференцнруемых функциях, заданных в бесконечном пространствц или на дважды дифференцнруемых функциях, которые отличны от нуля внутри некоторой области и удовлетворяют неноторому У аничному условию на границах этой области. В частности, можно потреовагь, чтобы на границах области все функции обращались в нуль.

Операторы, содержащие действие дифференцирования, носят назваииедиффэдэяпиальлых опэрагорозг Если операторы содержат действие интегрирования, то онн называются интегральными операторами. Могут быть интегро-дифференциальные операторы. Частным случаем интегральных операторов являются функционалы. Функционалом называется оператор, который, действуя на любую функцию множества функций, на котором он определен, дает некоторую постоянную. Одним иа примеров функционала валяется скалярное произведение (ф(1р) е— = ~ ф'(э)гр(ь) пь. Если функция т фиксирована, то (ф(ф) есть линейный функционал относительно функций ф В квантовой механике рассматриваются дифференциальные (н обратные. к иим интегральные) операторы, определенные на миогкестве функций, непрерывных и дифференцируемых в замкнутой области Й (Й может быть, гг бесконечной) и удовлетворяющих однородным краевым условиям на границах этой 'области.

Краевые условия называются однородными, если им удовлетворяет функция, тождественно равная нулю как во всех точках внутре области Й, так н на границах этой области. Правило (7,1) нахождения среднего значения Р в состоянии ф можно обобщить-на случай произвольных физических величин Р, если мы найдем способ построения соответствующих опеРаторов Р. ' Прежде чем переходить к правилам построения операторов, соответствующих физическим величинам, определим общие условия, которым должны удовлетворять такие операторы. Действие оператора на стоящую справа от него функцию ф в интеграле (7,1) сводится к преобразованию этой функции в новую функцию Чтобы при таком преобразовании не нарушался принцип супер- позиции состояний, необходимо выполнение условий Р (аф) = арф, (7,3) Р(ф + ф) =М+ Рф, 1 Операторы, удовлетворяющие условиям (7,3) для произвольной функции ф, называются линейными операторами. Если функция Р изображает физическую величину, то ее среднее значение обязательно действительно.

Условие действигельности средних значений: (Р) = (Р)', согласно (7„1), сводится к интегральному равенству для операторов Р ) Фрф а = ) фр'ф' д ° (7,4) Равенство (7,4) является частным случаем более общего равен- ства ( ф'Р<р дт = ( чРф дт, (7,5) которому удовлетворяют самосопряженные, нли зрмитоеы, операторы. В равенстве (7,5) функции ф" и ~р являются произвольными функциями, зависящими от переменных, на которые действует оператор Р и для,которых интегралы (7,5), распространенные на все возможные значения переменных, имеют конечные значения. Поскольку равенство (7,4) является частным случаем равенства (7,5), то можно сказать, что условие действительности средних значений физических величин в произвольных состояниях сводится к требованию, чтобы соответствующие им операторы были самосопряженными.