Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.С. Давыдов - Квантовая механика

А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 9

DJVU-файл А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 9 Физика (2684): Книга - 4 семестрА.С. Давыдов - Квантовая механика: Физика - DJVU, страница 9 (2684) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.С. Давыдов - Квантовая механика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 9 - страница

огда получим равенство ф(и= ~ ф(г) ф„"а;) ф„а т ур'. Чтобы это равенство выполнялось для произвольных функций ф($), необходимо (10,6) фг (Р ) зРР (к) с(Р б (Р Р) Хотя собственные функции фг операторов с непрерывным спектром нельзя нормировать обычным условием, как функции дискретного спектра, можно с помощью фг образовать новые величины — «собственные дибирере"Чпплы» (волновые пакеты), которые будут обладать свойствами 46 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 1гл. 1 собственныхфункцнй дискретного спектра. Собственные дифференциалы определи~отея равенством ла +лги (10,7) где Ьгь — конечный, но сколько угодно малый интервал между двумя значениями гь и Рвы физической величины.

Можно показать, что собственные дифференциалы, относящиеся к разным промежутиам, обладает свойством ортогональности, т. е. ) (баф(ь))'(Ьгф(в)) ов О, если 1чь/г. Делец собственные дифференциалы можно нормировать так, чтобы Ищ — ~ ) Ьаф ($) )з д$1. 1 Аль+О аяа Однако введение собственных дифференциалов очень усложняог практическое использование теории, поэтому собственные функции непрерывного спектра обычно нормиру~от на дельта-функцнго. Наконец, третин способ вычислений с собственными функциями непрерывного спектра состоит в искусственном превращении непрерывного спектра в дискретный путем определения этих функций в произвольно большом, но конечном кубе объема г'.з, с требованием условий периодичности с периодом ь по каждой из трех осей координат.

Переходя в итоге к пределу с- оо, получим результаты, совпадающие с теми, которые получаются при других нормировках. Существуют операторы, которые обладают как дискретным, так и непрерывным спекгром. Собственные функции непрерывного спектра в этом случае ортогональны собственным функциям дискретного спектра. Свойства функций каждого типа совпадают с рассмотренными выше, за исключением того, что в этом случае полную сисгему функций образует совокупность собственных функций обоих спектров вместе. Поэтому разложение произвольной волновой функции по собственным функциям такого оператора имеет вид ф (6) = ~ а„ф„($) + ) а„ф„(Д г(Р, где сумма берется по -всему дискретному, а интеграл по всему непрерывному спектру. Если функция ф($) нормированд к единице, то выполняегся условие полноты собственных функций ') ( ал (т+ ) ) ал '(з г)г = Е л 1 Ц1 ОнивДаЛяиныя знЛЧаниЯ несКОлЬких еизичвсхих наличии ЧГ Соотношения (9,8) и (10,5) в этом случае заменяются соотно- шением й 11.

Условия, при которых несколько физических величин могут иметь рпределеииые значения в одном состоянии В предыдущих параграфах было показано, что если волновая функция некоторого сосгояния системы совпадает с собственной функцией оператора Р, то в этом сосгоянии физическая величина Е имеет определенное значение. Очевидно, что если волновая функция некоторого состояния является одновременно собственной функцией нескольких операторов, то в этом состоянии имеют определенные значения все физические величины, соответствующие этим операторам. Например, в состоянии свободного движения, описываемого волновой функцией ф„(г) =(2пл)-'Ьехр(1 ~„'~).

определенное значение имеют импульс р и кинетическая энергия рзг29, так как эта функция одновременно является собственной функцией оператора импульса Р н оператора кинетической энергии — — т . Однако в этом состоянии не имеют опредегг зи ленного значения квадрат углового момента и его проекции на декартовы оси координат, так как функция фр(г) не является собственной функцией соответствующих операторов.

В гл. Ч1 мы покажем, что возможны и такие состояния свободного движения, в которых одновременно имеют определенное значение кинетическая энергия, квадрат углового момента н одна из его проекций. Однако при этом импульс частицы не будет иметь определенного значения. Итак, в зависимости от состояния системы те или иные физические величины могут' иметь определенные значения. Опыт, однако, показывает, что имеются и гакие физические величины, которые одновременно не имеют определенных значений ни в одном из состояний системах Эта особенность некоторых физических величин, отражающая объективные закономерности агомных явлений (т.

е. свойства микрообъектов и их взаимодействий между собой и окружающими телами), должна отражаться в свойствах операторов квантовой механики. Перейдем к иссладованию этих свойств, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ (гл. 1 Покажем, что если две физические величины Р н М одновременно могут иметь определенные значеаия, то их операторы должны коммутировать. Из предыдуп(его следует, что утверждение о том, что физические величины Р„и М„имеют определенные значения в одном состоянии, эквивалентно утверждению о том, что функция ф„является собственной функцией операторов г' и М. На математическом языке это выражается равенствами Рт)„= Р„т)ю Мтгл = Митр ° Умножим первое из этих уравнений слева на оператор 1(т, а второе уравнение на Р и вычтем из первого полученного уравнения второе.

Тогда, учитывая, что Р„и М являются числами, которые можно переставлять, находим (МР— РМ) фв =(Р~М вЂ” М Р ) три = О. (1 1,1) Поскольку произвольную функцию можно представить в виде линейной комбинации собственных функций тр, то, учитывая (11,1), имеем (МР— РМ) ф=Х п„(МР— РМ) $„= О. Равенство (11,2) выражает свойство коммутации операторов Р н 1Й, которое можно записать в виде операторного равенства МР-РМ=О.

(11,3) Операторное равенство (11,3) обозначает, что результат действия операторов правой и левой частей равенства на произвольную функцию ф одинаков. Итак,мы доказали, что, для того чтобы физические величины могли иметь одновременно определенные значения в одном состоянии, операторы этих величин должны коммутировать. Следует. однако, отметить, что в особых состояниях несколько физдческих величин могут иметь одновременно некоторые избранные значения даже в том случае, когда их операторы не коммутируют. Так, например, в состояниях с угловым моментом, равным нулю, равны нулю одновременно и все три его проекции, хотя операторы проекций углового момента не коммутируют между собой (см. (7,13)).

В общем же случае, при отличном от нуля угловом моменте, три его проекции не имеют одновременно определенных значений. В связи с этом никогда нельзя говорить об определенном направлении вектора углового момента в пространстве. Одновременно могут иметь определенные значения голью квадрат момечта количества движения (т. е. длина вектора ь) н одна из его проекций, например йв так как операторы этих величин коммутируют (ьт, ь») = О. Для «наглядной» ~илюстрацни свойств углового момента можно сказать, что вектор углового момента, в()рплщтяая величина которого 1 Ь ( й 'г' 1(1 + 1), всегда прецесснрует В(» % !21 МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОСТОЯНИЙ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ Еэ круг некоторого направлении (например, вокруг оси в) так, что проекции.иа это направление равна ат, где тл = О, ~д ..., ~й а средние значения двух других проекций равны нулю ((Ь„) (1.„) = О).

При этом следует иметь в виду, что эта «наглвднаи» картина нвлиетси иллюстрацией и не отражает полностью свойств углового момента. Можно доказать и обратную теорему: если два оператора Р и )т) коммутируют, то они имеют общую систему собственных функций. Доказательство этой теоремы особенно простое, если оба оператора имеют систему невырожденных собственных значений. Пусть имеется равенство (11,3) и тр„образуют полную систему собственных функций оператора )т), т. е. Щ„=М„ф„, тогда, действуя слева на это уравнение оператором Р и используя (11,3), находим М (Рфл) = М, (Рфл) Из последнего равенства следует, что функция Ртр„является собственной функцией оператора )тт, соответствующей собственному значению М„. Так как собственные значения функции оператора )р) по условию не вырождены, то функция Рф„может отличаться от собственной функции ф„этого оператора только числовым множителем.

Если обозначить этот множитель через Р, то должно выполняться равенство Ртр =Р ф, которое и указывает, что функции тр„ являются собственными функциями оператора Р. Если операторы имеют вырожденные собственные значения, то .собственные функции ф„а оператора )(), вообще говоря, не будут собственными функциями коммутирующего с ним оператора Р. Однако можно показать, что и в этом случае можно всегДа из фУнкдий фва составить такие лннейные комбинаЦии Ф.,=~а,еф.а, кот ые будут собственными функциями оператора Р. Если в состоянии ф несколько физических величин имеют определенное значение, то одновременное измерение всех этих величин является совместным.

Другими словами, одновременное измерение физических величин, соответствующих коммутирующим операторам, не приводит к взаимным помехам.~ й 12. Методы определения состояний квантовых систем В предыдущих параграфах мы отмечали, что состояние квантовой системы определяется вспомогательной величиной — волновой функцией (или вектором состояния) ф. Основным постулатом квантовой механики является утверждение, что заданНЕ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ (гл. ! волновой функции полностью определяет все свойства системы в данном состоянии. Перейдем теперь к исследованию вопроса о том, каким же образом можно определить волновую функцию, соответствующую данному состоянию. В классической физике состояние системы полностью определено заданием всех значений независимых физических величин, число которыхравно удвоенному числу степеней свободы системы. Например, состояние движения одной частицы в каждый момент времени определяется указанием шести величин: трех координат радиуса-вектора и трех компонент импульса.

Состояние системы, состоящей из Ф частиц, определяется заданием 6Ф величин. Как мы видели в предыдущем параграфе, в квантовых системах не все физические величины могут иметь одновременно определенное значение. Например, в любом состоянии х и р„не могут иметь Определенных значений одновременно, так как Операторы этих величин не коммутируют между собой. Поэтому в квантовой механике состояние системы, находящейся в определенных внешних условиях, зависящих от макроскопических параметров (объем, внешние поля и др.), характеризуется значениями независимых физических Величин, которые могут иметь одновременно определенное значение.

Другими словами, в квантовой механик6 состояние системы определяется значениями независимых физических величин, операторы которых взаимно коммутируют. Так, состояние свободного движения можно определить несколькими способами. Простейшими из них являются: а) ЗВДаНИЕ ТРЕХ КОМПОНЕНТ ИМПУЛЬСЕ Рч, Р„, Р;, В ЭТОМ СО- стоянии будет иметь определенное значение и энергия системы, но ее значение зависит от ймпульса, так как Е = рз/(2р); б) задание энергии частицы, квадрата углового момента и проекции углового момента на некоторое направление (см. $ 35).

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5119
Авторов
на СтудИзбе
445
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее