А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 9

огда получим равенство ф(и= ~ ф(г) ф„"а;) ф„а т ур'. Чтобы это равенство выполнялось для произвольных функций ф($), необходимо (10,6) фг (Р ) зРР (к) с(Р б (Р Р) Хотя собственные функции фг операторов с непрерывным спектром нельзя нормировать обычным условием, как функции дискретного спектра, можно с помощью фг образовать новые величины — «собственные дибирере"Чпплы» (волновые пакеты), которые будут обладать свойствами 46 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 1гл. 1 собственныхфункцнй дискретного спектра. Собственные дифференциалы определи~отея равенством ла +лги (10,7) где Ьгь — конечный, но сколько угодно малый интервал между двумя значениями гь и Рвы физической величины.

Можно показать, что собственные дифференциалы, относящиеся к разным промежутиам, обладает свойством ортогональности, т. е. ) (баф(ь))'(Ьгф(в)) ов О, если 1чь/г. Делец собственные дифференциалы можно нормировать так, чтобы Ищ — ~ ) Ьаф ($) )з д$1. 1 Аль+О аяа Однако введение собственных дифференциалов очень усложняог практическое использование теории, поэтому собственные функции непрерывного спектра обычно нормиру~от на дельта-функцнго. Наконец, третин способ вычислений с собственными функциями непрерывного спектра состоит в искусственном превращении непрерывного спектра в дискретный путем определения этих функций в произвольно большом, но конечном кубе объема г'.з, с требованием условий периодичности с периодом ь по каждой из трех осей координат.

Переходя в итоге к пределу с- оо, получим результаты, совпадающие с теми, которые получаются при других нормировках. Существуют операторы, которые обладают как дискретным, так и непрерывным спекгром. Собственные функции непрерывного спектра в этом случае ортогональны собственным функциям дискретного спектра. Свойства функций каждого типа совпадают с рассмотренными выше, за исключением того, что в этом случае полную сисгему функций образует совокупность собственных функций обоих спектров вместе. Поэтому разложение произвольной волновой функции по собственным функциям такого оператора имеет вид ф (6) = ~ а„ф„($) + ) а„ф„(Д г(Р, где сумма берется по -всему дискретному, а интеграл по всему непрерывному спектру. Если функция ф($) нормированд к единице, то выполняегся условие полноты собственных функций ') ( ал (т+ ) ) ал '(з г)г = Е л 1 Ц1 ОнивДаЛяиныя знЛЧаниЯ несКОлЬких еизичвсхих наличии ЧГ Соотношения (9,8) и (10,5) в этом случае заменяются соотно- шением й 11.

Условия, при которых несколько физических величин могут иметь рпределеииые значения в одном состоянии В предыдущих параграфах было показано, что если волновая функция некоторого сосгояния системы совпадает с собственной функцией оператора Р, то в этом сосгоянии физическая величина Е имеет определенное значение. Очевидно, что если волновая функция некоторого состояния является одновременно собственной функцией нескольких операторов, то в этом состоянии имеют определенные значения все физические величины, соответствующие этим операторам. Например, в состоянии свободного движения, описываемого волновой функцией ф„(г) =(2пл)-'Ьехр(1 ~„'~).

определенное значение имеют импульс р и кинетическая энергия рзг29, так как эта функция одновременно является собственной функцией оператора импульса Р н оператора кинетической энергии — — т . Однако в этом состоянии не имеют опредегг зи ленного значения квадрат углового момента и его проекции на декартовы оси координат, так как функция фр(г) не является собственной функцией соответствующих операторов.

В гл. Ч1 мы покажем, что возможны и такие состояния свободного движения, в которых одновременно имеют определенное значение кинетическая энергия, квадрат углового момента н одна из его проекций. Однако при этом импульс частицы не будет иметь определенного значения. Итак, в зависимости от состояния системы те или иные физические величины могут' иметь определенные значения. Опыт, однако, показывает, что имеются и гакие физические величины, которые одновременно не имеют определенных значений ни в одном из состояний системах Эта особенность некоторых физических величин, отражающая объективные закономерности агомных явлений (т.

е. свойства микрообъектов и их взаимодействий между собой и окружающими телами), должна отражаться в свойствах операторов квантовой механики. Перейдем к иссладованию этих свойств, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ (гл. 1 Покажем, что если две физические величины Р н М одновременно могут иметь определенные значеаия, то их операторы должны коммутировать. Из предыдуп(его следует, что утверждение о том, что физические величины Р„и М„имеют определенные значения в одном состоянии, эквивалентно утверждению о том, что функция ф„является собственной функцией операторов г' и М. На математическом языке это выражается равенствами Рт)„= Р„т)ю Мтгл = Митр ° Умножим первое из этих уравнений слева на оператор 1(т, а второе уравнение на Р и вычтем из первого полученного уравнения второе.

Тогда, учитывая, что Р„и М являются числами, которые можно переставлять, находим (МР— РМ) фв =(Р~М вЂ” М Р ) три = О. (1 1,1) Поскольку произвольную функцию можно представить в виде линейной комбинации собственных функций тр, то, учитывая (11,1), имеем (МР— РМ) ф=Х п„(МР— РМ) $„= О. Равенство (11,2) выражает свойство коммутации операторов Р н 1Й, которое можно записать в виде операторного равенства МР-РМ=О.

(11,3) Операторное равенство (11,3) обозначает, что результат действия операторов правой и левой частей равенства на произвольную функцию ф одинаков. Итак,мы доказали, что, для того чтобы физические величины могли иметь одновременно определенные значения в одном состоянии, операторы этих величин должны коммутировать. Следует. однако, отметить, что в особых состояниях несколько физдческих величин могут иметь одновременно некоторые избранные значения даже в том случае, когда их операторы не коммутируют. Так, например, в состояниях с угловым моментом, равным нулю, равны нулю одновременно и все три его проекции, хотя операторы проекций углового момента не коммутируют между собой (см. (7,13)).

В общем же случае, при отличном от нуля угловом моменте, три его проекции не имеют одновременно определенных значений. В связи с этом никогда нельзя говорить об определенном направлении вектора углового момента в пространстве. Одновременно могут иметь определенные значения голью квадрат момечта количества движения (т. е. длина вектора ь) н одна из его проекций, например йв так как операторы этих величин коммутируют (ьт, ь») = О. Для «наглядной» ~илюстрацни свойств углового момента можно сказать, что вектор углового момента, в()рплщтяая величина которого 1 Ь ( й 'г' 1(1 + 1), всегда прецесснрует В(» % !21 МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОСТОЯНИЙ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ Еэ круг некоторого направлении (например, вокруг оси в) так, что проекции.иа это направление равна ат, где тл = О, ~д ..., ~й а средние значения двух других проекций равны нулю ((Ь„) (1.„) = О).

При этом следует иметь в виду, что эта «наглвднаи» картина нвлиетси иллюстрацией и не отражает полностью свойств углового момента. Можно доказать и обратную теорему: если два оператора Р и )т) коммутируют, то они имеют общую систему собственных функций. Доказательство этой теоремы особенно простое, если оба оператора имеют систему невырожденных собственных значений. Пусть имеется равенство (11,3) и тр„образуют полную систему собственных функций оператора )т), т. е. Щ„=М„ф„, тогда, действуя слева на это уравнение оператором Р и используя (11,3), находим М (Рфл) = М, (Рфл) Из последнего равенства следует, что функция Ртр„является собственной функцией оператора )тт, соответствующей собственному значению М„. Так как собственные значения функции оператора )р) по условию не вырождены, то функция Рф„может отличаться от собственной функции ф„этого оператора только числовым множителем.

Если обозначить этот множитель через Р, то должно выполняться равенство Ртр =Р ф, которое и указывает, что функции тр„ являются собственными функциями оператора Р. Если операторы имеют вырожденные собственные значения, то .собственные функции ф„а оператора )(), вообще говоря, не будут собственными функциями коммутирующего с ним оператора Р. Однако можно показать, что и в этом случае можно всегДа из фУнкдий фва составить такие лннейные комбинаЦии Ф.,=~а,еф.а, кот ые будут собственными функциями оператора Р. Если в состоянии ф несколько физических величин имеют определенное значение, то одновременное измерение всех этих величин является совместным.

Другими словами, одновременное измерение физических величин, соответствующих коммутирующим операторам, не приводит к взаимным помехам.~ й 12. Методы определения состояний квантовых систем В предыдущих параграфах мы отмечали, что состояние квантовой системы определяется вспомогательной величиной — волновой функцией (или вектором состояния) ф. Основным постулатом квантовой механики является утверждение, что заданНЕ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ (гл. ! волновой функции полностью определяет все свойства системы в данном состоянии. Перейдем теперь к исследованию вопроса о том, каким же образом можно определить волновую функцию, соответствующую данному состоянию. В классической физике состояние системы полностью определено заданием всех значений независимых физических величин, число которыхравно удвоенному числу степеней свободы системы. Например, состояние движения одной частицы в каждый момент времени определяется указанием шести величин: трех координат радиуса-вектора и трех компонент импульса.

Состояние системы, состоящей из Ф частиц, определяется заданием 6Ф величин. Как мы видели в предыдущем параграфе, в квантовых системах не все физические величины могут иметь одновременно определенное значение. Например, в любом состоянии х и р„не могут иметь Определенных значений одновременно, так как Операторы этих величин не коммутируют между собой. Поэтому в квантовой механике состояние системы, находящейся в определенных внешних условиях, зависящих от макроскопических параметров (объем, внешние поля и др.), характеризуется значениями независимых физических Величин, которые могут иметь одновременно определенное значение.

Другими словами, в квантовой механик6 состояние системы определяется значениями независимых физических величин, операторы которых взаимно коммутируют. Так, состояние свободного движения можно определить несколькими способами. Простейшими из них являются: а) ЗВДаНИЕ ТРЕХ КОМПОНЕНТ ИМПУЛЬСЕ Рч, Р„, Р;, В ЭТОМ СО- стоянии будет иметь определенное значение и энергия системы, но ее значение зависит от ймпульса, так как Е = рз/(2р); б) задание энергии частицы, квадрата углового момента и проекции углового момента на некоторое направление (см. $ 35).