Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.С. Давыдов - Квантовая механика

А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 6

DJVU-файл А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 6 Физика (2684): Книга - 4 семестрА.С. Давыдов - Квантовая механика: Физика - DJVU, страница 6 (2684) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.С. Давыдов - Квантовая механика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 6 - страница

Функциональное уравнение (7,5), определяющее условие самосопряженности оператора Р, можно записать в краткой операторной форме Р=Р'. (7,6) Итак, в квантовой механике всем физическим (наблюдаемым) величинам .сопоставляются линейные (чтобы выполнялся принцип суперпозиции) и самосопряжениые (чтобы средние знак чеиия были вещественными) операторы. При проведении проме- жуточных вычислений иногда используются и несамосопряженные операторы, имеющие комплексные собственные значения. Оператор кооудинаты совпадает с координатой и = и, оператор импульса р = — Щ. Оба эти оператора являются линейными и самосопряженными. Еслй функция Р является суммой произвольной функции от координат и целой рациональной функции импульсов, то соответствующий ей оператор получается заменой в этой функции импульса на соответствующий оператор Р (Г„р) — Р = Р(г, — Ит).

(7 7) Если функция Р является функцией, содержащей произведения координат и импульсов, то, вообще говоря, не всякий оператор Р, полученный из Р по правилу (7,7), будет самосопряженным, так как не всякое произведение самосопряженных операторов будет самосопряженным. Произведением операторов РК называется оператор, действие которого на функцию сводигся к последовательному применению сначала оператора К, а затем Р. Вообще говоря, произведение операторов зависит от порядка сомножителей: РКчр Ф КРчр. Если имеются два оператора, произведение которых не зависит от порядка сомножителей, го говорят, что они коммутийиюг друг с другом. Выясним условие, при котором произведение самосопряженных (эрмитовых) операторов является самосопряженным.

В общем случае, если Р=Р и К=К, то ) ф'РКф с(т = ) фК'Р'тр'4 с, (7,8) илн в краткой операторной записи (РК) =К Р =КР, (7,8а) т. е. эрмитово сопряженный оператор произведения равен произведению эрмитово сопряженных операторов, взятых в обрагном поряпке. действительно, нспольаун самосопрнженность оператора г, можно написать ф'г (т(ф) пт = ~ (Кф) Р'ф' пт. Упитывав далее самосопрнжеиность оператора К имеем ) (дф) р ф' от ) ф((Рф'с(т что н донаамиает равенство (78). Если самосопряженные операторы коммутируют, то их произведение яляется самосрпряженным, что непосредственно следует из (7,8а) (РК) =КР=РК, или подробно ~ ф'Рура(т= ) ~рРК'ф'т(т Учитывая этот результат, мы можем утверждать, что с помощью правила (7,7) можно получать самосопряженные операторы только в том случае, когда целая рациональная функция Р не содержит произведений операторов координат и импульсов, либо содержит такие их произведения, которые коммутируют между собой, например хрк и др.

В общем случае, если К и Р являются линейными эрмитовыми операторами, то такими же будут и операторы ~ — — (КР+ РК),  — ((КР— РК). (7М В случае коммутирующих операторов 6=0, З=КР=РК. В квантовой механике приходится рассматривать физические величины, не имеющие классического аналога (например, спиц частицы), которые не выражаются через функции координат и импульсов. Позднее мы познакомимся с тем, как определяютси операторы, соответствующие таким величинам. В табл. 1 приведен явный вид некогорых простейших линейных самосопряженных операторов, используемых в квантовой механике. Тааанна 1 Простейпне операторы квантовой пеканккв В связи с тем, чго перестановочные соотношения между операторамн играют большую роль в квантовой механике, исследуем эти соотношения для операторов, указанных в табл.

1. Введем сокращенное обозначение ]А, В]=АВ -ВА, которым будем пользоваться при дальнейшем изложении. Для коммутирующих операторов должно выполняться соотношение ]А, В]$ 0 (7,10) для произвольной функции ф. Если 'самосопряженные операторы не коммутируют, то выполняется равенство ]А, В] ф=1Сф (7,11) где в силу (7,9) оператор с! является также самосопряженным. оператором. В часгиом случае С может быть числом. Для сокращения записи часто равенства (7,!0) и (7,!1) заменяют операторными равенствами ]А, В]=0, ]~, В] =!С. Естественно, что три оператора координаты х, р, а, которые мы будем кратко обозначать буквой г~ (1 = 1, 2, 3), коммугируют между собой, т.

е. !Рг Ра] = О, г, й = 1, 2, 3. Коммутируют между собой и операторы проекций импульса д ~9~ = — И— дг г т. е. ]рг Рь! = О. д~ так как при вычислении частных производных — безраз. дг дг лично, в каком порядке производить дифференцирование. Примером некоммутирующих операторов являются Я и )$„. Для исследования перестановочных соотношений между ними вычислим действие произведений этих операторов на произвольную функцию, зависящую от х: 2~9„~ (х) = — Их —, д! дк ' с другой стороны, Ф й~()) = — йх — — Щ(~). д! дк 32 основныв ~вью я (7,16) Итак, имеем Р, М[(к)=04(х).

Или Р, Рх]=15 Проведя такие же вычисления, можно показать, что в общем случае должны выполняться перестановочные соотношения [Гм Яь]=йбм, 1. юг=1, 2, 3., (7,12) Используя явный вид операторов проекций вращательных (уг- ловых) моментов (.ь можно показать, что должны выполняться перестановочные соотношения [1.» Еь]= йЕ, (7,13) для значений 1 = 1, й = 2, 1 = 3; 1 = 2, й = 3, 1 = 1 и 1 = 3, й = 1, 1 = 2. Три перестановочных соотношения (7,13) моХкно для краткости записать в векторной форме: [Ех Х4= иК. (7,13 а) Здесь и в дальнейшем символ [А Р', В] используется для обоз- начения векторного произведения векторов А и В. Если А и  — операторы, то порядок сомножителей определяется прави- лом [АХВ] =А„„— В„А„и т. д.

Далее можно показать, что [ХР, ЕД = О, 1= 1, 2, 3. (7,14) Пользуясь перестановочными соотношениями (7,12) и опреде- лением оператора углового момента Е, легко убедиться в спра- ведливости следующих перестановочных соотношений: (7,15) [Е, г,]=О, [1.„Я = 1йгь [Е„г,]= — Игь [(-~ Я=О. [1 ~ рь]=(врь [7-ы Я= — гйРп где 1 = 1, й = 2, 1 = 3, либо 1 = 2, й = 3, 1 = 1, либо Т = 3, й = 1, 1 = 2. Перестановочные соотношения (7.15). можро кратко записать в векторной форме: ФХ ]+[гХФ=21Л.

~ (7,15а) [7- Х р] + [р Х Х] = 2Нр. ) Используя тождество [А, Вз]=[А, В]В+ В[А, В], можно доказать перестановочные соотношения [р, ~~]=15[[ХХр] — [рай]), [, 7.'~= [[ЬХ ] — [ ХИ. 8 8. Собственные функции и собственные значения операторов В $7,был указан способ (7,!) вычисления среднего значения в состоянии, описываемом функцией в), любой физической величины Р, если мы знаем соотвегсгвующий этой физической величине оператор Р. Пользуясь правилом (7,1), можно вычислять ие только средние значения, но и средние квадратичнме отклонения от средних значений в данном состоянии ф. Действительно, вводя ЛР= Р— (Р) и соответствующий эрмитов оператор (йР) -= Р— (Р), (8,1) можно написать ((ЛР)в) = ) аг*(ЬР)(ЬР) фут.

Используя самосопряженность оператора (ЛР), преобразуем (8,2) к виду ((ЛР) )= ~ !(ЛР) у Рс( . (8,3) формула (8,3) позволяет вычислять среднее квадратичное отклонение от среднего значения любой физической величины в произвольном состоянии, описываемом функцией вр. С помощью (8,3) можно также определягь неизвестные состояния, в которых среднее квадратичное отклонение равняется нулю, т.

е. определять такие состояния, в которых величина Р имеет определенное значение. Для таких состояний вр равенсгво (8,3) сводится к равенству О = ) ) (ЛР) в) Р 0т. Поскольку под интегралом стоит существенно положительная величина, то равенство нулю интеграла возможно лишь при условии (ЬР) ф= О. (8,4) Учитывая, что в состоянии вр, удовлетворяющем уравнению (8,4), величина Р имеет определенное значение, т. е.

Р = (Р), перепишем (8,4), подставляя (8,!), в следующем виде: (Р— Р) )=О. (8,5) Уравнение (8,5) является однородным, линейным уравнением относительно неизвестной функции вр. В связи с тем, что волновая функция должна изображать реальные состояния физических систем, нас будут интересовать решения этого уравнения, соответствующие отличным от нуля непрерывным, однозначным функциям ф удовлетворяющим однородным условиям (т, е.

условиям, выполняющимся и при ф = 0). Дополнительные условия, связанные с возможностью нормировки функции ф, будут обсуждены позднее. Обычно они сводятся к требованию конечности интеграла ) ~ $ ~'с(т, распространенного по конечной области пространства. Сама функция может быть и сингулярной, т. е. обращаться в бесконечность в некоторых точках, если только интеграл остается конечным. В общем случае уравнение (8,5) имеет решения, удовлегворяющие посгавленным выше условиям только при некоторых определенных значениях физической величины Р, которые являются параметрами уравнения (8,5), Эти значения могут пробегать либо дискретный ряд значений Рь Рь ..., либо непрерывный ряд значений в некотором интервале. Эти особые значения параметра Р называют собственными $значениями оператора Р, а соответствующие им решения уран; пения (8,5) называют собственными функцияии оператора.

Совокупность собственных значений оператора называется его спектром. Если оператор имеет дискретные собственные значения, то говорят, что он имеет дискретный спектр. Если оператор имеет собственные значения, пробегающие непрерывный ряд в веко- тором интервале, то говорят, что он имеет непрерывнвгй, или сплошной, спектр. Возможны операторы, имеющие спектр, состоящий из дискретных значений и значений, непрерывно изменяющихся в некоторых интервалах.

Чтобы различать собственные функции оператора Р, соответствующие разным собственным значениям, мы будем писать справа от функции в виде индекса собственное значение, например фе. Если спектр собственных значений оператора дискретный, то собственные значения можно перенумеровать: Рь Рм ..., Р, ... В этом случае в качестве индекса у собственной фунКции часто пишут не собственное значение, а его номер, т. е. фг„= ф„, Целые числа и, определяющие собственные значения и собственные функции, называют квантовыми чис- ЛОМИ. Согласно вышеизложенному, в состоянии, которое описывается собственной функцией фв операгора Р, физическая величина имеет определенное значение, равное собственному значению этого оператора.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4990
Авторов
на СтудИзбе
468
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее