А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 6

Функциональное уравнение (7,5), определяющее условие самосопряженности оператора Р, можно записать в краткой операторной форме Р=Р'. (7,6) Итак, в квантовой механике всем физическим (наблюдаемым) величинам .сопоставляются линейные (чтобы выполнялся принцип суперпозиции) и самосопряжениые (чтобы средние знак чеиия были вещественными) операторы. При проведении проме- жуточных вычислений иногда используются и несамосопряженные операторы, имеющие комплексные собственные значения. Оператор кооудинаты совпадает с координатой и = и, оператор импульса р = — Щ. Оба эти оператора являются линейными и самосопряженными. Еслй функция Р является суммой произвольной функции от координат и целой рациональной функции импульсов, то соответствующий ей оператор получается заменой в этой функции импульса на соответствующий оператор Р (Г„р) — Р = Р(г, — Ит).

(7 7) Если функция Р является функцией, содержащей произведения координат и импульсов, то, вообще говоря, не всякий оператор Р, полученный из Р по правилу (7,7), будет самосопряженным, так как не всякое произведение самосопряженных операторов будет самосопряженным. Произведением операторов РК называется оператор, действие которого на функцию сводигся к последовательному применению сначала оператора К, а затем Р. Вообще говоря, произведение операторов зависит от порядка сомножителей: РКчр Ф КРчр. Если имеются два оператора, произведение которых не зависит от порядка сомножителей, го говорят, что они коммутийиюг друг с другом. Выясним условие, при котором произведение самосопряженных (эрмитовых) операторов является самосопряженным.

В общем случае, если Р=Р и К=К, то ) ф'РКф с(т = ) фК'Р'тр'4 с, (7,8) илн в краткой операторной записи (РК) =К Р =КР, (7,8а) т. е. эрмитово сопряженный оператор произведения равен произведению эрмитово сопряженных операторов, взятых в обрагном поряпке. действительно, нспольаун самосопрнженность оператора г, можно написать ф'г (т(ф) пт = ~ (Кф) Р'ф' пт. Упитывав далее самосопрнжеиность оператора К имеем ) (дф) р ф' от ) ф((Рф'с(т что н донаамиает равенство (78). Если самосопряженные операторы коммутируют, то их произведение яляется самосрпряженным, что непосредственно следует из (7,8а) (РК) =КР=РК, или подробно ~ ф'Рура(т= ) ~рРК'ф'т(т Учитывая этот результат, мы можем утверждать, что с помощью правила (7,7) можно получать самосопряженные операторы только в том случае, когда целая рациональная функция Р не содержит произведений операторов координат и импульсов, либо содержит такие их произведения, которые коммутируют между собой, например хрк и др.

В общем случае, если К и Р являются линейными эрмитовыми операторами, то такими же будут и операторы ~ — — (КР+ РК),  — ((КР— РК). (7М В случае коммутирующих операторов 6=0, З=КР=РК. В квантовой механике приходится рассматривать физические величины, не имеющие классического аналога (например, спиц частицы), которые не выражаются через функции координат и импульсов. Позднее мы познакомимся с тем, как определяютси операторы, соответствующие таким величинам. В табл. 1 приведен явный вид некогорых простейших линейных самосопряженных операторов, используемых в квантовой механике. Тааанна 1 Простейпне операторы квантовой пеканккв В связи с тем, чго перестановочные соотношения между операторамн играют большую роль в квантовой механике, исследуем эти соотношения для операторов, указанных в табл.

1. Введем сокращенное обозначение ]А, В]=АВ -ВА, которым будем пользоваться при дальнейшем изложении. Для коммутирующих операторов должно выполняться соотношение ]А, В]$ 0 (7,10) для произвольной функции ф. Если 'самосопряженные операторы не коммутируют, то выполняется равенство ]А, В] ф=1Сф (7,11) где в силу (7,9) оператор с! является также самосопряженным. оператором. В часгиом случае С может быть числом. Для сокращения записи часто равенства (7,!0) и (7,!1) заменяют операторными равенствами ]А, В]=0, ]~, В] =!С. Естественно, что три оператора координаты х, р, а, которые мы будем кратко обозначать буквой г~ (1 = 1, 2, 3), коммугируют между собой, т.

е. !Рг Ра] = О, г, й = 1, 2, 3. Коммутируют между собой и операторы проекций импульса д ~9~ = — И— дг г т. е. ]рг Рь! = О. д~ так как при вычислении частных производных — безраз. дг дг лично, в каком порядке производить дифференцирование. Примером некоммутирующих операторов являются Я и )$„. Для исследования перестановочных соотношений между ними вычислим действие произведений этих операторов на произвольную функцию, зависящую от х: 2~9„~ (х) = — Их —, д! дк ' с другой стороны, Ф й~()) = — йх — — Щ(~). д! дк 32 основныв ~вью я (7,16) Итак, имеем Р, М[(к)=04(х).

Или Р, Рх]=15 Проведя такие же вычисления, можно показать, что в общем случае должны выполняться перестановочные соотношения [Гм Яь]=йбм, 1. юг=1, 2, 3., (7,12) Используя явный вид операторов проекций вращательных (уг- ловых) моментов (.ь можно показать, что должны выполняться перестановочные соотношения [1.» Еь]= йЕ, (7,13) для значений 1 = 1, й = 2, 1 = 3; 1 = 2, й = 3, 1 = 1 и 1 = 3, й = 1, 1 = 2. Три перестановочных соотношения (7,13) моХкно для краткости записать в векторной форме: [Ех Х4= иК. (7,13 а) Здесь и в дальнейшем символ [А Р', В] используется для обоз- начения векторного произведения векторов А и В. Если А и  — операторы, то порядок сомножителей определяется прави- лом [АХВ] =А„„— В„А„и т. д.

Далее можно показать, что [ХР, ЕД = О, 1= 1, 2, 3. (7,14) Пользуясь перестановочными соотношениями (7,12) и опреде- лением оператора углового момента Е, легко убедиться в спра- ведливости следующих перестановочных соотношений: (7,15) [Е, г,]=О, [1.„Я = 1йгь [Е„г,]= — Игь [(-~ Я=О. [1 ~ рь]=(врь [7-ы Я= — гйРп где 1 = 1, й = 2, 1 = 3, либо 1 = 2, й = 3, 1 = 1, либо Т = 3, й = 1, 1 = 2. Перестановочные соотношения (7.15). можро кратко записать в векторной форме: ФХ ]+[гХФ=21Л.

~ (7,15а) [7- Х р] + [р Х Х] = 2Нр. ) Используя тождество [А, Вз]=[А, В]В+ В[А, В], можно доказать перестановочные соотношения [р, ~~]=15[[ХХр] — [рай]), [, 7.'~= [[ЬХ ] — [ ХИ. 8 8. Собственные функции и собственные значения операторов В $7,был указан способ (7,!) вычисления среднего значения в состоянии, описываемом функцией в), любой физической величины Р, если мы знаем соотвегсгвующий этой физической величине оператор Р. Пользуясь правилом (7,1), можно вычислять ие только средние значения, но и средние квадратичнме отклонения от средних значений в данном состоянии ф. Действительно, вводя ЛР= Р— (Р) и соответствующий эрмитов оператор (йР) -= Р— (Р), (8,1) можно написать ((ЛР)в) = ) аг*(ЬР)(ЬР) фут.

Используя самосопряженность оператора (ЛР), преобразуем (8,2) к виду ((ЛР) )= ~ !(ЛР) у Рс( . (8,3) формула (8,3) позволяет вычислять среднее квадратичное отклонение от среднего значения любой физической величины в произвольном состоянии, описываемом функцией вр. С помощью (8,3) можно также определягь неизвестные состояния, в которых среднее квадратичное отклонение равняется нулю, т.

е. определять такие состояния, в которых величина Р имеет определенное значение. Для таких состояний вр равенсгво (8,3) сводится к равенству О = ) ) (ЛР) в) Р 0т. Поскольку под интегралом стоит существенно положительная величина, то равенство нулю интеграла возможно лишь при условии (ЬР) ф= О. (8,4) Учитывая, что в состоянии вр, удовлетворяющем уравнению (8,4), величина Р имеет определенное значение, т. е.

Р = (Р), перепишем (8,4), подставляя (8,!), в следующем виде: (Р— Р) )=О. (8,5) Уравнение (8,5) является однородным, линейным уравнением относительно неизвестной функции вр. В связи с тем, что волновая функция должна изображать реальные состояния физических систем, нас будут интересовать решения этого уравнения, соответствующие отличным от нуля непрерывным, однозначным функциям ф удовлетворяющим однородным условиям (т, е.

условиям, выполняющимся и при ф = 0). Дополнительные условия, связанные с возможностью нормировки функции ф, будут обсуждены позднее. Обычно они сводятся к требованию конечности интеграла ) ~ $ ~'с(т, распространенного по конечной области пространства. Сама функция может быть и сингулярной, т. е. обращаться в бесконечность в некоторых точках, если только интеграл остается конечным. В общем случае уравнение (8,5) имеет решения, удовлегворяющие посгавленным выше условиям только при некоторых определенных значениях физической величины Р, которые являются параметрами уравнения (8,5), Эти значения могут пробегать либо дискретный ряд значений Рь Рь ..., либо непрерывный ряд значений в некотором интервале. Эти особые значения параметра Р называют собственными $значениями оператора Р, а соответствующие им решения уран; пения (8,5) называют собственными функцияии оператора.

Совокупность собственных значений оператора называется его спектром. Если оператор имеет дискретные собственные значения, то говорят, что он имеет дискретный спектр. Если оператор имеет собственные значения, пробегающие непрерывный ряд в веко- тором интервале, то говорят, что он имеет непрерывнвгй, или сплошной, спектр. Возможны операторы, имеющие спектр, состоящий из дискретных значений и значений, непрерывно изменяющихся в некоторых интервалах.

Чтобы различать собственные функции оператора Р, соответствующие разным собственным значениям, мы будем писать справа от функции в виде индекса собственное значение, например фе. Если спектр собственных значений оператора дискретный, то собственные значения можно перенумеровать: Рь Рм ..., Р, ... В этом случае в качестве индекса у собственной фунКции часто пишут не собственное значение, а его номер, т. е. фг„= ф„, Целые числа и, определяющие собственные значения и собственные функции, называют квантовыми чис- ЛОМИ. Согласно вышеизложенному, в состоянии, которое описывается собственной функцией фв операгора Р, физическая величина имеет определенное значение, равное собственному значению этого оператора.