А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Число независимых физических величин, определяющих в квантовой механике состояние системы, называется числом степеней свободы системы. В общем случае число степеней свободы квантовых объектов определяется опытом. В некоторых квантовых системах число степеней свободы совпадает с числом степеней свободы соответствующей классической системы. Если известны значения всех независимых физических величин, имеющих определенное значение в данном состоянии, то волновая функция этого состояния должна быть собственной функцией всех операторов, соответствующих этим физическим величинам. Например, если мы с помощью ускорителя сообщим частице импульс (э, то состояние свободного движения этой З И1 МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОСТОЯНИИ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ 51 частицы будет описываться плоской волной фр(г) =(2яп) ч ехр(1 ф).
так как функция фр(г) является собственной функцией оператора импульса, соответствующей собственному значению р. Если мы установили, что в некотором состоянии движения частицы ее угловой момент равен Ь =Ьу'1(1+ 1), а проекция углового мо. мента 1., = йт, то зависимость волновой функции от углов 0 и <р будет выражаться с помощью сферической функции Уь (Огр), зависимость от г определяется значением энергии в данном состоянии.
В гл. Ч1 мы познакомимся с конкретными примерами определения таких волновых функций. Следует отметить, что состояния фж, имеющие определенные (Г') значения физической величины Р, соответствующей оператору с непрерывным спектром, 'не могут быть точно осуществлены. Практически можно лишь добиться того, чтобы система находилась в состоянии, в котором значения Р лежат достаточно близко к Р'. Таким образом, состояния, относящиеся к строго заданному собственному значению в непрерывном спектре, являются математической идеализацией. Эта идеализация весьма полезна, так как она значительно упрощает вычисления, однако в некоторых случаях (например, в строгой теории рассеяния) приходится от такой идеализации отказываться или прибегать к дополнительным гипотезам (адиабатическое включение и выключение взаимодействия в теории рассеяния).
Возможно, что ненормируемость собственных функций операторов, имеющих непрерывный спектр, связана с неосуществимостью соответствующих состояний. Практически можно осуществить только состояния, в которых значение Р лежит в некотором интервале Р, Р + ЬГ. Такие состояния описываются волновыми пакетами типа (10,7), которые можно нормировать. Выбор независимых физических величин, используемых для определения состояния квантовой системы, зависит от свойств данной системы и ее состояния.
К каждому набору независимых величин (используемых для определения состояния) будут относиться свои волновые функции, зависящие от соответствующих переменных. В качестве независимых переменных волновых функций могут быть выбраны координаты х, у, е либо импульсы р, рр, ри либо другие наборы физических величин. Возможность описания состояний с помощью различного вида волновых функций будет исследована в гл. !Ч. Теперь же будем использовать для описания состояния квантовой системы только ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 1гЛ.
г функции, зависящие от координат (координатное нредстивление). В ряде случаев состояние квантовой системы может быть таким, что не имеют определенного значения все или некоторая часть независимых физических величин, необходимых для определения состояния. Таково, например, состояние свободного движения частицы, описываемое волновой функцией в виде воЛ- нового пакета (3,2). В этом состоянии р = ри =О, однако р, не имеет определенного значения.
В общем случае волновые функции таких состояний могут быть представлены в аиде суперпозиции собственных функций некоторых операторов ф=~~~ а„ф„+ ) агфе др. и (12,1) Если состояние системы определяется только тремя степенями свободы, то волновая функция будет зависеть только от радиуса-вектора г. В этом случае волновая функция может быть определена через измерения плотности вероятности в каждой точке пространства с точностью до фазового множителя, модуль которого равен единице.
Действительно, поскольку р (г) = ~ $ (г) г, то ф (г) ем м1)/ р (г) где а(г) — произвольная действительная функция г. Состояния квантовой системы, Описываемые волновой функцией, называются чистьыш состояниями. Они соответствуют максимально полным сведениям о квантовой системе. Наконец, в квантовой механике возможны и такие состояния, которым нельзя сопоставить никакой волновой функции. Примером таких состояний могут быть состояния, задаваемые набором чисел ~а„~з и ~ае(', т.
е. вероятностями состояний с определенными значениями .соответствующих физических величин Р. В этом случае нельзя построить функции ф по типу (12,1), так как знание квадратов модулей коэффициентовп„и аг не дает фазовых соотношений между различными собственными функциями ф, которые существенны в определении функции (12,1).
Состояния, которым нельзя сопоставить волновую функцию, называют смешанными состояниями. В $ 14 мы рассмотрим способы исследования смешанных состояний, базирующихся на введенни матрицы плотности, которая позволяет вычислять средние значения и вероятности различных значений физических величин, характеризующих систему. В этой книге мы будем исследовать главным Образом чистые состояния, т. е. состояния, ко- Г Щ СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕИ ДЛЯ ФИЗИЧ. ВЕЛИЧИН ЕЗ торые описываются волновыми функциями, поэтому для краткости будем называть их просто состояниями системы. Итак, состояния квантовых систем фиксируются определенными внешними условиями, зависящими от макроскопических параметров (внешние поля). Например, состояние свободного движения электрона с определенным значением импульса осуществляется в вакуумной трубке путем предварительного ускорения его электрическим полем.
Каждому состоянию системы сопоставляется волновая функция. Вид волновой функции зависит от величин, имеющих определенное значение в данном состоянии. Волновая функция определяет возможные результаты различных взаимодействий системы, находящейся в таком фиксированном состоянии с другими телами. Измерение какой-либо физической величины в системе является одним из таких взаимодействий. Измерение всегда вызывает скачок.
системы в собственное состояние оператора той динамической переменной, измерение которой производилось. Результат измерения совпадает с собственным значением этого оператора. Если при многократном измерении величины Р в системе, которая перед каждым новым измерением переводится в исходное состояние, мы получаем одно значение, то мы говорим, что данная физическая величина имела определенное значение в состоянии, предшествующем измерению. Если же в результате повторных измерений, проводимых в одних и тех же условиях с одним и тем же начальным состоянием, мы получаем набор различных значений одной физической величины, то это указывает, что в таком состоянии эта физическая величина не имеет определенного значения. Волновая функция такого состояния позволяет вычислить вероятности измерений.
Проверка предсказаний квантовой механики, таким образом, осуществляется многократным повторением измерения в одних и тех же условиях. Следовательно, отражая объективные закономерности отдельной системы, находящейся в определенных макроскопических условиях, квантовая механика дает выводы, которые проверяются путем повторения большого числа тождественных опытов или путем проведения одного опыта с большои совокупностью одинаковых невзаимодействующих систем. $ 13. Соотношение неопределенностей для физических величин В % 11 отмечалось, что две физические величины ие могут иметь одновременно определенные значения ни в одном состоянии, если их операторы не коммутируют. Покажем теперь, что знание перестановочных соотношений между двумя некоммутирующнми операторами позволяет определить неравенство, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВЮГГОВОН МЕХАНИКИ [гл, г которому должны удовлетворять средние квадратичные отклонения этих величин от своих средних значений.
Пусть К и Р— два самосопряженных оператора, удовлетворяющих перестановочному соотношению (К, Р)=ЕМ, (13, 1) где л) — также самосопряженный оператор. В частном случае при К = к и Р = ф„оператор Я равен постоянной величине й й у). В произвольном состоянии ф физические величины, соответствующие этим операторам, имеют средние значения, определяемые интегралами (К) = ~ Ф"К1 Ет, (Р) = ~ КРАТ(т. Введем теперь операторы ЬК = К вЂ” (К), ЛР = Р— (Р).
(13,2) Подставляя эти выражения в (13,1), мы убедимся, что новые операторы (13,2) удовлетворяют тому же перестановочному соотношению, т. е. (ЬК, йР) = ЕМ. (13,3) Рассмотрим далее вспомогательный интеграл, зависящий от произвольного действительного параметра а Е (а) = ) 1(а ОК вЂ” Е ЛР) чр 1г юЕТ ~ ~О, (И 4) л л Пользуясь свойством самосопряженности операторов ЛК и ЛР, преобразуем этот интеграл к виду 1(а)= )г й~'(аЬК+ 1ЬР)(ОЛЕЙ вЂ” ЕЬР) ~р ~Ет)О. Перемножая выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла и используя перестановочное соотношение (1З,З), находим (а И~ + Е ЬР) (а ЛК вЂ” Е ЛР) = а' (ЬК)'+ аМ + (ЛР)з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
