И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными, страница 7

1, ..., л)— анзлитн ~сские функгГии своих аргументон. Возможность выбора аналитических функций Л' сннззн ~ с хзрзкгером поверхно" ги о и ссмсйсчаа чшшй /. 11азонсч поверхность Ь и семейство линий /, дли которых зто воз. мохгно, вялптиче кой поверхностно и аналитическим семей. ством линий. Вели нонерхность задана урааиеписм Г (х„ к„ ...,х„).= — (К то гша будет аналитична в том случае, нагла функции ") Дог г по и~о трсояытгч чтобы фунюпш и, нмсш нснрерьшчые ирои~незлые ао иорячк~ л, моночн!ельне н функции, ншакннчо прсоорыовмвс коорзнизт, ансли пенрсрызиые и()очзсолные ло но. ряяка игах (лй ги~лючи!ельнгь инелвпге. клыгсижнкхцня «илию иий )гл, г" Ке«, х о ..., х„) — — знали гг1ческзя фунююя синих аргумент~~в, и нокер«ность нс иыес~ особых точек )точек, где нсе первые произволнью функции гг обрангаются и нуль).

Семейство нормалей к аналити щекой поверхности — аналитическое семейство линий. и) ))ачальпые данные †..ююлигнческпс функции ог Согласно теореме Ковалевской, мы можем сказаггн что прн вьпюлнснип услоняй а), б), я) особ псиная задача Еови имеет иссгла сдинствеююс рспгепие в некоторой окрестности поисрхносго 5, есдп эта поверхность нигде нс им ст характеристического нзирзющюю. Кслн «ке пс» срхность 5 инее'г и некотороп точке Л характеристическое направлеюге, т. с. если е точке А поверхности С.,(х„..., х„)= 0 имеет место рзненстно то па поверхности 5, вообще говоря, нельзя )жс задавз1ь ггрглгзисыьиыс значсюж функций иг н их нроизво:вых, если «отеч гь чтобы обоощсиная задача Коюи имела рещение.

гТе))ствггтельно, оставим тогда все члены, содержагцие производные порядка иг ио г, от фую;цнй и,. н левых чзстях уравнений )7,3), а все остальные члены перенесем вправо. Тогда а силу условия )) ),3) и точке А буде~ сущссжвназь лш|ейн;а заиисимость между лепыми ч ы по|и иочучсч1»ых урзвненпй. Значкт, таь,ю;ке линейная зааисю1осз ь дол,кна сугцестпоаать и между гравыми частями этих урююенпй, которые вполне оппеле,юютгя залаиными значепиюю функций и,.

и пх производных ю понсрхностп 5. л это налагает опрелелспнуго зависюкжть иа эти начзльпыс данные, сслп только требуемая линейная заьнсимость межи) яр»ными юстямн уравнююй пе ньи1о»ляется ~ождестнснпо прп нссх значсювх ф)икций а, и нх прои~кодных на 5. В этом последнем случае, а также а мм1 слу юе, если на хзрзкгсрис~п ~есю й понсрхности 5 )еловая Коюп зз апы ~зк, жо юыгсмз имеет регпспис огиг1с~гтсльно .гзрщих производных по:„.

)ьксмат- осоггнянив плах ~п кяии ривзсмьгг кзк функнин независимых переменных (й==~~',А',.=:л,, /„<'по У .-1, ..., И)„ такое региенис моакет бь~гь неелииствсино в окрсстностя точки А. Приведем ряд прими ров на нахоизление характеристических направлений для у'равнений и систем уравнений. При этом мм всегда будем прслползгать, мо ~з х, =-1, (12,3) т. е. а,, означает косинус у ла метклу осьв Ох,. п гк~рмзльо к гипсрплоскости, име~ощей характеристическое направление. П р и и е р 1. Лля уравнения Лапласа о'и > , Лал 1 геотэс~псине (8,3) принимает гпьл Прг имая но впнмзиис (12,3), убсгкласмся, что уравнение Лапласа нс имеет лейстпптелг имх характеристических на- ирзнлсипй. П р и м с р 2.

Лля пгглнопого урапиения д'и па сип — — ! 3 .2 ~ ' -а Нх ' ох~ дха соот и о го с н пе ( 8, 3 ) н ри и и и а с т нил 'г а( и~ и( — О 1'ак как согласно (12,3) лгкпкно бить л. +и, —,-и, ==1, х ! 2 р 1 то 2л,'-=-.-1; и, =-+ —.. Зна ~итч квсательиьс плоскости а ко всем хзрактсристкческим поверхностям ссстанли~от с ось~о Ох„угол в 4'-'. Пользуясь этим свойстноы характеристических поверхностей, легко сообрзлг~ь, какой вид иве~от харзктс- внгльгшг. кллсснг икгигня югхннгннй (~ л. 'ч спрансдлнвы яяолнс анзлогнчные результаты.

П р и и с р 3. Для уравне~ия теплопрово ~ности дп г" и, Жг з'л г'-а дх Пх-,' ' дг, соотношение (8,3) и( ншошсг апд чт а'„' =.= 1. 1!оэтгму хзракслуя,зг ншерплоскосгя Согласш (12,3) отсюда с .сдует, ,срисгяческиня поаерхносгяяп х .- соль(. ( П р н и с р 4. Для урзянсння лл ) зл д:, —,'- л„(лы соотнгянс!ше (В„)) п(нн~нмаез впч '-,г (.„..., х„)я, б.

Погпому все жпшрплоскосгн, проходящие ~срез то ~ку (хы ..., х„) и через аьг~ ..в;шй нз э~он то ~кя вектор с ком. рис~и шгкнс ноасрхшк~и, ноохгдящис через некогорыс крнвьш на плоскости х, сопь1. 14знримср, характеристической повсрхяостшо, прохолящей через любую прямую 1, легкащую в этой плоскости, служит плоскость„ проходящая через 1 и состаяляющая с плоскостью х„=сопз1 угол а 45'. Характеристической поверхностью, проходящей через какую-нибудь окружпосп К, лежащую в плоскости х„= — сопь1, служит боконая поверхность круглого кону.са с осью, параллельной оси Охп и осбрззуюпгпми, состаалшопгими угол в 45' с плоскостщо х,.=-сопз1, нли, что все равно, с осью Ох,.

Ле~ко видеть, что для так называемого волнового уравнения в гымерном пространстве сгони!г ниа ззал'!и коюн попснтаии (а„..., п,), !юсю! а з!ой !о !кс хзр!кгсрпсгическос !нн!рзплснис. 1)р н м е р 5. Дли системы урзаиеиий с изучи независимыми парса!сины!н! П дп х,) —,'+ ~~ с, (х„х,) и,.= — О т-'=: ! и) 2.„, .;+ ' с!х, ': гу (»'= 1„2, соо!поюснис (8,3) прю!нмзет вил 1а,п;,(х„хх) +а,(г, (х,„х,)1= — С!. )(г!рзктсрнстн !ескнми лю!птоп! булут лю!ип, нло гь которых дх, дт, дт — с. — -' †: — , рзанпется какому-и!буль корню й дх! ' дх, дх,' ураансння ггмлггрпспгпггскггг! урпвнаипхл! нз и,!взстся ураннснис Г1оперх!юсть !р(х,,,, х„) — О (1 5,3) назыпастсп хлйягтгрисюачелгод али спстс!н! (13,3) и дан.- ного рею!мил и„и,„..., и, этой сп.гсчы, ссгю на этой ,' — йлг (х„х,) +ггг (хо х„) ( --О. Иы сч,!тами алесь, чго у(х, х ) .

сопь1 ес!ь тр,знание х зрюлернст!юсской л!юнн. 3 з д з ч а. Покаигите, ч !о при глазком нсвыржкдснюгм прсобразоваюю коораипат харжларпстнчсскан !юаерхность системы (2Д) персходит в характерист!юескую гюнерхиость преобразован юй снстсмы, т. с. хзрзктсрнстики иннзрпзитпы относнаельно неаырожаенююо прсобразонзюю коорлюют. 4. Лгн! ноле!ейных систем вяла (13,3) (1, у.= 1, ..., Л'; й == )г, —,:- /г, +... + /г„-.=.

п ) 48 Ваедеиик кллссиеикхдия уелпнгний (гл. ! поверхности при рзссмзтрннасмых функпнях и„ и, ..., и, имеет место О!еду!оптсе то!хлест Во: Аиалогичг!о опрелслгпотся хпр!!кл!грпгтиегскпе напраалсния для сне!еыы 113,3) н данной гочке пространслвз (хм ..., х„) для лан!юго решения п„и„, ..., и ь В случае нелинейных систем ил!ест сыыс!! говорить о характерис !.ичсском направ- лении гиперююскостн ~ я (хх — - хв):= О в данной точке только для определенного ре!лепил и„ и„... ..., а, системы (13,3), так как козффпгис!ьты уравнения (14,3) завис!ы в атом случае, вообще говоря, от функций и и их про!ввозных до порялка пп Аизз!о!.н в!о тем!у, как ато мы делали в прслыдупдем пункте, х!ожио !иххззз гь слслуюн!ее.

Пусть на некоторой аналитической !ювсрхностн заданы услоаия 1(опю, как вго было сполз!ю в прелыду!пем пункте, и прел!юлагается, что все рассматриваемые тзм фупкпнп анели!и !нь! Так как рас- сматринасмаа системз теперь не прслполаг!!ется линейной, то после перехода к коорди!илам ся, 'с,, ..., ~ю как это д" !!! было сделано а нрсдызупгеи п)ни!е, мы пол)'и!и для Д Я 'а иелинсйну!о сне !ему уравнений; обозна !нм сс через ~. Эта система имеет, вопбгдс говоря, не одно реп!ение относительно д'"и, — ! =:. 1, 2, ..., !ч', рассмзтрпвасмых как фу пкпн! от пс,',ь независимых псременнь!х с, ..., "„, ..., и,. с== У/:.» л, А,, ° л (у= 1, 2, ..., Х).

Лог!уст!и!, что /' аблнзи !ююр!июе1:хностн с, =-. О и палкиных на пей з!ю !од'ли, ю!и и. и их пронлюлных ан,! выбреди лля — - -'(! -- 1, 2,, !хг) д»" олпу какую-нибудь с!ктсму зна.втпческих функиий от р "ля ар 1 ф едппетагвиос~ и гщ!»»~ия 'х " ' чв ~ »»и 1/=1, 2, ..., Угг), удовлетворшоп;ую ур,а»ел»ям ~''. Таким д" », образом мы определим в»агапия — --' па поверх»ости 5 по аалаииым па вей начальгпям условиям обое»цсввой задачи Коши. Возврюцаясь тогда к коор'сипатая х,, ..., х„мы иолучггм иа пг~всрлности 5 зпа ю ~ я всех фуикцпй иг и всех их произволигях по хтп ..., х„ло порядка лг. Подставляя их вместо и, и произволных и, в уравиецие 114,33 мы получим вполне опрслелеииое уравиею1с лля и„, и,.

. . я . П Следовательио, мы сможем таким образом опр-лелигь хар1ктерг.от»веские направлспвя в кгокдой |о ке 1тм х„...„с„) гввгерхиости 5. Лоиусгим, ~то поверхцг~с~ь 5 ю:,гле ю имеет характеристического паправлеиия. Тогда мгп»о аокгзгыь, что так поставленная обобщсипая залтюа Копи .юя щ.со мы (13.31 имеем единстяепиос авалюи юское решение при след '». ла~цюм выборе ва 5 зиачеиий дз р 4. О едииствепиости решеиия задаю Коши в области псаиалитических фувкций 1, Из зеоремы Ковалевской следучог. сущее воваю1 и елппсгвсниос~ь раиче»гю зюшчи Копи~ в классе ююлщи .- ских функций, сели апалигическис зслоьия Еоюп залают я на апа.ютической поверхности 5„ иягдс ие вмеквцей характеристичсскюо и;июавлеиия Из построеипй, приведе~ паях в йй 2 и 3, следует, то сели все фупкции, вхютипгпс в даииые урависиия и в иа 1альпые условия, прпвимюот цействигельные зиачения ири лействительиых звлчсю ях аргуиептов, то и рсшеиия задачи Коши лейсгапзхльпы.