И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными, страница 8

Возникает вопрос: иет ли в этом случае лругих рсюсиий задачи 1,"оп|и, кроме апалитического решения Ковалевскойй Вель лля того, чтобы сп тема фуиюгпй 1и„..., ие1 была решс»исм задачи Коши в лейсзвительяой области, пег палой~ ости требовать, ыобы все фу»киви и, бьюп авали гичгскими. Для итого виол»е достаточио, чтобы оцв имели прси~гпшаые тех порядков, какие входят в рассл|ю рпвасмь|е уравиепия »1есмозря иа усилия мцюих вьщаюпшхся ягатемазиков, атот вопрос до сих пор ие решев полпос~ьш. 1 и Г птюа и'ия вислы пв. кллссие!жанни атгаяпсний (гл. 1,"и!е я 1!!01 г. 1 о ц,сп ре! дока шл слннсз сонность рсшешш ы!ш !и 1(ои и с на шлы!ьжн у;ловяячя (10,3) лля лялейн!! .

сит!еы урс!вне!и!й вила (0,3) с ш!алитическими коэффи циентамн в классе г,':уикш!и, имс!о!цих непрерыввь!е г!ронзвглные всех тех норялков, которые вхочят в рассматриваемую слетев!у. 1)ривелсм доказательство втой теоремы. 2(г!я простоты изложения будем прслполагать, что число независимых персис!!нь;х равш! Лвуи, хотя !о жс лшквзатег!ьство го сушеству пр!вснп!и нрп л!обем юсле независимых переменных. Послполо!!сн!! также, что рассматриваемая система — перво!о порвана.

Согласно сказанному в Э 2 общий слу !ай пр!шоднтся к в!тому. Обозна !им независимые герек с!шыс шре ! х и у и прсдполшкпм спа !ала, что залаяв )селин ст.!шмся лля отрезка ирягшй х=б, солсржащсго на'!але коо1элннат, 1(т.!к, пусть лана системз уравнений (! .—.1, 2, ..., л) и на'!алы!ые ус.!овин Л,„Б., С, . аналитические !)0игцшн своих ар!.умсптов в !.екозорой окрсс гносли на !ала коордю ат. Пусть вблизи начала координат л,,!пы два рсшшшя системы (1,4), улзвлстворянзгцне оа!цн! и тем же начальшж! условиям (2,4) и состоя!вне из фу!шций х„..., в„(первое решшше) и г„..., вл (второе рсшеш!е), обладаю!цих непрерывными частными производнь!мп терно;о норялка. 'г)!!тго доказать, что вти решения совпалагот в !!скоторой окрестиосги начала координат.

Поло.кпм ; — ..! == а! (! =-- 1, 2, ..., а). 1ОГ,'!а ВГС и, яиа!ИГ!! ел Вейн!ЗН О НелрврЫВНО Лнффсрепця- 4) о аз!!и!сгаяггиосги гкгпкиггг! задачи кчлли ;!1 руемыми фуикциягиг, угг!!еггетворягощимг! урезке!гизи ! г'" !! ',"=-~~~ Аг (х, у) — +~ Вгу(х, у)аг (г =-1, 2, ..., а) дк у — '! у= ! и начальным условиям иг(0, у)=0 (!=1, 2... гг). 1(ока!кем, что все иг!-и0 вблизи точки О (О, О). Введем вместо х новуго нсзависпмуго псрсггеииукг и положим иг(х, у) —.— ггг(х, у)=и,(х — у", у) (г==-.1, 2, и) Тогда фуикггии ггг будут удоилетиорять системе ураииеиий дг ъ диг даг — — 2у т Л (х — у', у) —; — +~ А .(х — у', у) — -+ дх и ' ох гУ ду г=- ! ! — '! П +~ Вг (х — у', у) а (3,4) ' ! или, после разрегисиия отиосителыго прои!!водима по х и ааедепия новых огбозиачеиий, ! дл;, — -'=-,т, а-.(х, е) — '-гг- т Ь" (х, у)и дх гУ ' - ду К ! и г=! (г=--1, 2, ..., а).

(Возмсгжяосг.ь разрсцгенггя системы (3,4) отпоситсльио у!гззаииых производных следует из необраигсигггг я нуль определителя системы вбггизп пачала координат О плоскости (х, у); проверьте'..) Козффи!гггеить! аг. и дг, аналитична! еолпзи точки О. Фупкггиг! аг вблизи О пспрерывио диффсренцирусмы и обрагцаклся з пуль иа параболе у':=-х. Яы докажем, что все ага: 0 вблизи О при х у'. Тем самыи 52 вввдвниг. кллосис икания углвнвний (гл. ~ будет показано, что все иг=.-О вблизи О нрк х >О.

Случай х < 0 сволнтся к случгно х >0 заменой х на — х. 1)ревелем прямую х=а [а > О; рнс. 1) и обозначим бук вой Н, область, огрзниченнсв отрезком 1, втой прямой и чзстью К параболы у" = х. Если и достзточно мзло, то все функпии а, непрерывны вместе с их частными производными первого порядка вплоть до гракипы Н„ (мь говорим, что функпия, заданная в области Н, непрерывна впло~ь до грч юпы Н втой ооласти, если вту фуикни1~ чоясгк иродову жить нз Н" так, ~ то полученная функнля будет непрерывной н Н -)- Н*). Обозна ~им для краткости аа, с~ дл, Г (и) =: †; †' — ~ а.

--2 — 7 Ь а ох ~~ О сЬ /=' (1=-1, 2, ..., л), Р;к. Г!ус~к в Н„заданы лвс системы функппй и; п оп непрерыюняк внло~ь до ~манилы Н„вместе с кх первыми чзсзнымн производными. '1'сяда инте~ рнроваине по частям дае~ — и, н,г)у+ ~ ~~' агн;~у -)- ~ У ~~', аыи,в;ах, (0,4) к;, = гае конту1н ограничиваюядни нв (т. и. к~+У„), проводится в нолснкнтслыюм направлении.

Геля, в частности, и. есть определсююя выше система реюеиий уравнений (4,4), а си- вввдснш.. кллссввпкльчя кеьвнг~~ «й (гл. г т, е. все лг =†в. О на 1„ если только О( а <, а,, Зтнм георема Гольшрена ш казана. При помощи этой т сремы и замены незазнсямьх переменных нетрудно доказать теорему о «дннсгвсньостн решения обобщенной зада ~и Коши при гпшкнг'х пге.гнолвкепиях о системе (1,4], когда начальные лзн«ме чздгиотся на аналитической линии, нигде не имсюптся тзрш«тсристн «секо.о направления.

Аналгчи н,ая теорема ш',рзвсллнвг также «тля линейных систем с больншм числом нсзавн нных переменных, когда на"гальйые данные зздшотся нз ана~итической поверхности 5. При этом нужно только, чтоб з эта ггжерхность 5 нн«де не нмслз характеристического напра~«ленни. Ст функппй, составляющих решение, можно трсбогать, чтобы стни были заданы толик««но одну сторону от 5 и бьшн непрерывны емеле со своими частными производными первого по. ряд.га влагать до 5.

Ксан прн этих условиях дез рс«пения совпишкж на 5, то онн совпадают н в неюжорой окою.тиос«и 5. 3 а и е ч а н н с. Мояшо точнее описать ту область на плоскости (У, у), ггс реп~ение ззлачп Кш пл длп ш.стемы (1,4) единстве«щьш образом опрелелвстся нз шльньши данными (область слипстзеннг.сти). Пусть этн нз ~альные данные заданы на отрезке ЛВ оси к=О, а реп,ения рассматриваются вправо от этой осн. Провелем через точки .4 н В вправо характеристики, блнжзйгннс к отрезку АВ. Тогда ь ожно показать, ~то областью елин«:теенности решен~я залзчи Коши булст область, огрзннчс«щзя отрезком АВ и этими двумя характеристиками. Аналш нчно огрелеляется область едннствш;ности прн большем числа нсзан«исн!«|ых переменных (ср.

«) 10 и ч 12, где зала:и К«дни рсшвстгя длн гиперболических уравнений). 2, ))скоро после доказательства теоремы Гольмгрепа Адамар показал, что вопрос о единственности вблизи 5 решс;ння задачи Коши для нелинейных уравнений леске сводитсн к вопросу о единстнш кости решения валачи Коши для линейных ураш;еннй с догтатошю гладкими, но не обязательно аналитическими коэф«)лншент«тмгь Поэтому все дальпсйгние усилив бьлн сосрсщ точсны на репи:нии этого последнего вопроса.

П 1938 г. Кзрлемзн рсншл с~о для «и тем уравнеюгй с частными «фон зло«щыми но двум неззвнс«шьич переменным. Теорема Карлсмана состоит в следующем. В 4) о Р»гяпствеяяостя Рг'п1г пяя зал»чя копья зб Пусть лапа система уравнений: г=г »=$ (г'=-1, 2...,, л). Фуггкггип Аг, Вг алланы и некоторой замкну гой области сг полуплоскосги х:э О, првмыггггкгглей к отрезку ) у( -=' г осп ординат; Аг, имеют в Сг ограниченные проязводяыс ло вторло порядка вггтгопгтсльяо; гт»Г ограни гены в сг.

'1'огла реигение системы (9,4) в О, удовлюгзорякчлее условиямм лг (О, гг).= О пря ( 1,' ~ . л (г' —— и имсдогдсе непрерыггя~»с первые пропзводньк- по х н у, то»лес г~ сяно разно г улго н г»с~ егоров часы (» области 6, прямив зюягсй к отрезку у ( -- а.

1!ри етом прсггполагастся, что в кгг»ггггйг точке Гг' псе коран опрслел гтеля гс (») разлпчяьг згежлу собой, т. е. что ни в одной точке втой ойлзсгп 0 нег соняюгпюл карал.срнс|г»чески» язправленяй. днзлогю:гный результат лагг сггс»гм со мяогпмя незавясигг1»жг пггремсьвг»зггг пюлучсн недавно Кзльлсрояюм»'а). При совпалегпая карзггтегзггстггчсгьпк парри лсяпй слгя сгве~г|гость регпснт. ззлзчя йоюн моыст пзручггггтьсгй зто впервые покззал д Ц гг)мп гггяс (1947), г)н рявел пример системы сггг лп дп —.=.= а (х, у) +гг (х, у) —, дх ' '*'' гя 1'' Оу' =-=а,(х, у) -'-+(з„(х.

у) которая имеет респеняе л„о, .гакос, лгг функиии а» и тг, сгблзлагот нспрерывн -гмп гас г я. ю~ яог»ялгголгя»згя нсе. порядков, ранги ну~гго яз ггряггггй х:--=д, гг отли ьаы от нуля (и »'З С а! д е," о и, Аагегюзя )оюзю оГ )азгбегггзггсз йО, йгз 1 (!95Я), 1б — зь, ьчи л! и;ю. !слхссижикхцкя кнхв!пии!й (гл. в .чобии близос!и от па:юла коорсиюат. Прн этом ковффицьс!гм! сис!смы с:!рс !ег!си!а и !тиффсрснцируех!ы на кссй пл! сьс!ст!!, их пргкю!хюые терпят разрыв при х=-0 и на агой же прямой совлатакм коряв харак!ерисгического уравищщя ").