И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными, страница 10

Уравненззс (1,5) назывзется пи»зиболггчесвтглз в гии»зохолг слгьгсле в тачке (х,',...,х,",), если среди А;,(х,", ...,х'„) име- готся равные нулхз, т. е. если т ч. гг. Уравнение (1,бз) называется ллроболичесмилг в )изиолг слиясле илк ярости игзристо гггзеехчглг в точке (х„..., х~), если Ф о только одна из ьозффш1кеятов Аи (х„..., х„» (пусть его з будет Ло) равен нализ, асс же другие А„(х„...,х„)имеют ди одинаковые знаки, а козффнциеат кри †, отличен от нуля.

д";, Уразгненззе (1,б) называется вллилтическиги соответст- венно гигге)зеолиге лиги улзтрагииерболиаескилг и т. д, во всей области О, села око зззлигзтично, соответственно гинер- бшшчно, узьтрззгнг~ерооззачно к г. д, в каждой точке области О. 1) прило канвах яшзгда встречаюгся уравнения, которые в одной частя О, рассматриваемой области О гзвляются эл- лкагичсскими, в дру1ой часги О, области О гиперболическими. Закис уравнена» назыншогси ур,шнениямк смешанного гнна.

К ниы аркнадлезкит, назаркзшр, уравнение )ризсоми сии, и'и в области О, содержащей точка оск х.з). 3. ))елинейное уравнение второго порядка ди оа д"и с одной неизвестной фугагниск и называется для динносозе- шенизг и (хо ...х,) зззлшычзческнхй гиоерболическим зли :) Уравнения смсюаю~ого гааз впервые была исследованы 'рн- коми (см. его кингу в русском аереводе «О ав«сивых ур. з,.авзх смсп~ззваого гиааз, М.— Л., Госгсхнздаг, 1И47). ййз~ерес к зз; » урзгь испи»м освоение возрос после |ого, как обнаружилась нх связь с задачами газовой аиааыикн (см. Ф.

11. Ф р а н к» ь, 11нс .' ,*1 ССС(з, серая матем. 9 [1945), 121 — 143). В последнее время ~ зучса~,з урав- нений смешанаого тлг~а асс аягасао много ра Шг (сзс д. В. Б а в а з з е, Уравнения сысаззнао~ о зввз, Из азезьсзво Ж)СССр, 1оаз, ~ ге нри- велена подрооазя бношюграфия вопросзь канонический вид в окггстностп то нки Ы парабгиичсским в гцнроком смысло в го,ке (х„..., х„). соответственно в области (), если чллнпт~ н~гь гинсрбо~нчно, параболнчпо в пгироком смысле в точке (х,',...,х"), соответственно в области О, уравнение ~~', А;,(х„..., х„) -„— '-:-- —.—.О, оф Л. (х,...,х )=— В правой части (8,5) вместо функции и и ее производных подставлена функция ам (х,,..., х„) и ее соотнсгсгв)чонгпе производные, Мы будем в лальнсйгцем изучать только линейные уравнекня второго порядка с одной неизвестной функцией, которые во всей рассматриваемой области явлгнотся нлн зллингическими, или гипсрболичесьплю, или параболическими.

Уравнениями >ке ультрм иперболическимн мы не будем занкматься; такие уравнения не встречмотся нн в физике. ни в техник е. Точно тль же мы нс будем заниматься уравнениями параболическими в пплрокоя, но не в узком смысле. Соответственно этому, говоря в главе 4 о параболических уравнениях, мы будем иметь в виду только уравнения параболические в узком смысле. (а 6. Приведение к каноническому виду уравнения с частными производными второго порядка по двум независимым переменным и окрестности точки 1. Пусть дано уравнение гле ксгзффнциенты А, Б, С суть функции от х: и у, имсюгцис нспрсрь.нные производные до второго порядка вкл~очн) Мы рассматриваем в атом параграфе урвана н1я несколько более обмего вита, чем лннейные. тлл хлк асе те рагсужленгв1, ь и кямн нрнвогитсл к хлноюлесм;му мыу линейное урлаиепне, олннаково применимы и лля таких урааненнА ввьль»вк.

ьллгснл»ьлщщ кглвнгн»й (гл. тельно. Мы булсм грел»»лага~в, что А, Ь' и С не обращая гся ол юврсмс»щ в»у,н. » что функция и(х, у) имеет ьс»рерыв»ыс»ро»звоалнае ло в~о(к»о норялкз вклгочятельно. Псрейдс.. от нсззвнсчч»ак»еремсьвык х и у к независимым нсремснньщ ч и т1. Пусть с==;'(х,у), т,=й(х, у) (2,6) - лважлы нсврсрыьно л»ффсрснцируемые функции, »ричем якое»а» »игле и рассматриваемой облас~» нс обра»гэетсн в нуль. '1огза систему (2,6) можно олнознзч щ разрсщ»ть относительно х» у в некоторой об..асги нь влоскости (е, т). Полу ~сн»ыс фу»кц»н х(ж г) и у(-., ~)) булут так;кс лважлы нспреры»во лнффсренн»руемым» функцигнщ от 6 н гн 11»он,к нсзависн:».ах ~ срсмсл»ыл;- и г у1жвнс не (1,6) зз»щгщтся тзк: ( Р:) ' 2Д вЂ” '.)-'-' С(г-" 1-'- о ) '.,Ол,~ са дг ' (дуу + Г, ( с, г» и, —, -' ) —.

О. (3,6', Покажем, ыо в ~ екоторой окрестности П ф»не»рова»ной точь» (х„у„) функн»и С(х, У), г1 (х, У) можно выбрать таким »браки, чтобы уравнение (3,6) в каясн4 точке этой окресжк.сти имело кано»»ческий вил. Пзм»рнлется оглсльно неслед»наг ь случ ~», котла в рассматриваемой точке Ь";> ЛС, Ь";~ ЛС нл» когда в »скот~~рой окрсс~ю~сги этой точки Г =-:ЛС.

Слу ~аев, кгглз в щобой окрест»ест» рассмв~рввае. моя то кн вираже»ле Б'--- ЛС менищ' знак илв ггтращается в») ль»с тожасствснщ., ны нс булся рассматривать. 2. Рцсмотр»м сна»лаз сл)'щй, ксжлз во всей рзссьщтриваемой области Ь"') АС, т, с. котла уравнение (1,6) гицср- 2 6) канонический вид в ок1нстности точки 66 болично (ср. определение гиперболи нчпстн в предыду1цеы Параграфе). Мы можем считать, что в зочке (хс, у ), н окрестности которой мы будем приводить уравнение (1,6) к каноническому виду, либо А =11— .О, либо С=,1=0.

В нрогигн1ом случае мы ьюгли бы достигнуть итого заменой переменных х:= х' +у', у =- х — у . Рассмотрим уравнение Пусть А~О- Так как В*--. АС' >О, то уравнение (4,6) мсок11о записать В ниде А — '- — ( —  — )/В'-- Аале( У вЂ” — л'1 с1х ' ду~ У, ~1 —,' — (--В+)'à — -д)гу) к') О НХ .- с1, и поэтому уравнению (4,6) удовлетворнют рсюеюи каждого из уравнений (5,6) Определим функпни 21(х, р) (1'= — 1, 2) кзк регнсю1в уравнений (5,(3). задавав их значении соо1встсзвенно иа некоторых лннивх 1,(1;-=.

1, 2), прохолгнцих '1срсз точку (х, у„) и нн1дс не касаюгдихсв харзктернс1нк соотвстсзвукнцего уравнсюо1 ). Если люсии l1 и заданные на ннх з1 зчспня функннй м нибрззь лоста1очно глаламю, го мы получим решею1н 1 нг(х, у) (г.с —. 1, 2), нмюгнаие непрерывные гйкнинодные по х и у до второго порвдкз вклю1нгслгнкь Если нрсдполгок1н ь '1 См, й 33 моих ссЛекпий по тсорю1 о'ыкнонепиых ю1ффсрслПдзльных ур~ниеннйсь нзд. 1952 1. Оврзн1з«~ ы1нмзннс 1я го, чсо н случае двух независимых переменных ~о ~ нрсдсдын1е хзракссрнсснк, которое мы ьдс1н ь ф 3 пзсзонгдсй книги, соыыдзет с онрсделсписм хярзктсрис сад, данным з 6 33 зсоих Лс1нн~и по 1сорнн олыкня сизых дифференциальных ураьнснн(Ь.

В случае жс оольшего чнслз неззниснмых переменных зги онрсделыынсоьериснно рззличн,... 5 и. Г. Нс~рсвсхяа звал».нне. ю~хссне»гкхина уехвиьннй дт, дт, — 9 — )Г»»й —,4С' дх ду А »КГ» д»»» — б+ Т»гЧт — АС дх "дт А В силу условия  — Агд~сб име м: дЪ дт» Фдт" д»» с~х ду дх ду Отсюда следует, ~то якобнап (6,6) отличен от нуля в некоторой окрестюости П» точки (х„ у,). Поэтому в этой окрссжюсги мы можем принять в раненст- вах (2,6) 6 =- =' (х, у) = П (х, у), г) ==.т~(х, у) ==~у,(х, у).

(7 „6) Тогда в левой части (3,6) исчезнут члены, содсржзюие д»я д»л д»и — Коэффипнент при —.— - будет при:-лом отличил д»," ' и( д», яь к л»л нуля но всей рассматриваемой области с»; в противю,м случзе при переходе от кооргп»нат (х, у) к координачзм ('=, а) порююк уравнения понизилсн бьп сле»товательио, при обратном псрехоле от коорд»н»ат (ею т~) к кю»рлпнзтам (х, у) пююлок ураю~епия в нскгпорой точке области повыснлсв бы, че»о, очевидно, быть не может. еюе, что пачзльпыс значения ег(х,у) на 7» выбрзнн так, что пр нгаеогы ая ь, по напрзвлеюпо 1г не обращзстся в нуль в точке (х„, у,), ~ о н этой точке не могут бьггь равными нулю одновременно обе частные производные функьви е»г(х,у) по х и у (в иротююом случае равнялась бн пулю производнаи в этой точке по л1обому направлении>).

Тзк как А =/:.О, то на уравнений (5,6) следует, что при дт, , дт этом --'-'- †,»'= О и — »-гйО в окрестности точки (х, у ) и что ду»)к 6 0 ф 6) канонический вид в окгзстности точки 67 д'и Разделив на козффнциент при — уравнение (3 6), ны дЕ дч 1 приведем его к аиду —,— -=-- Е, ( с, и, и, —, — ) в окрестности 0 точки (х„у,).

Этот впд уравнения также называется каноническим. Положив ч = и + р и т1 =а — (), приведем уравнение (6,6) к виду д'и д'и ди ди'1 д.— д- дР— ~ г д„. д)). После приведения гиперболического уравнения к каноническому виду (8„6) иногда удается проинтеграравагь его в замкнутом виде, т. с. найти формулу, лающую в.е рещения етого уравнения. Пример !. Уравнение д-'и д2и П 0,6) дх' ду" заменой независимых переменных — Š— ч х= — ' — у=— Э приводится к виду д'и —.= О. д( дч (11,6! ди ди Обозначив — через о, получим — =О, откуда о=у"(г)), где д1 7' — произвольная функция и, Рассматривая в уравнении ди дч — =.г (т1) б как параметр и интегрируя зто уравнении, получим: и = ~ 1" (т~) г(т1 + С(ч) или и=~у(ч)+ф(б)=р(х+у)+ф(х — у), (12,6) где у и ф — произвольные дзвиды непрерывно дифференцируемые Функции.

5" заедание. кллссиеиклции удлинений !гл, П р и и е р 2. Ураанение гиа ! до и;дв ч(й~ (с =з= О) после замены дл — — Э дл обрагцае~ся в уравнение дй ! о. =- — -. о. !п(о(=--,; 1п !с(+!п (С(г1)! или о= — ==-С(т1) $' ~Ц. О с~киса и =- С, (т1) )А ! с ! + С, Я. Вдссь С, (и) =.- $ С(т,) с(~ есть произвольная (в силу произвольности С(г!) ) дпфференггирусмая функция от гн а С',(с) сеть произвольная с)~уньиня о~ 3. Если Б'.=- АС ио всей рзс-мзтривземой области, то уравнение (1,0) будет гыраболпческим з этой области (ср, опрслеленне пзрабо ~нчностп н прелыдугиг;и параграфе).

Мы предполагаем, ч~о а р;ысмзтрнкаемой области коэффициенты А, тк С урзннення (1,6) не обрзгцагогся одновременно и нуль. В силу условия йа ==. АС из этого предположения следует, что в кикдой точке этой об ~асти один из коэффициентов А и С отличен от нуля, Пусть, например, А;ф=-0 в рассматриваемой точке (х„ у,). Тогда оба Это уравнение легко интегрируется методом разделения переменных. Так как т! зходит в о а качестве пзрамс~ра, то посгоянная интеграции будет функцией этого парамс~рз.