И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными, страница 64

М33 ирпведсм ир!.,етые лрвмсры, которые ук,33333ва3от. 3ю ирлиииг3лзльяос рилли и3е 33еягду кг3ррсктными и нюи ррск3 ными разиостны3ги схсмзмк с то3кя зрения роста искре!иное!и, нызвзнной ги3гигжю:.и округления. Рагс333Н.33!им для этого рз ы постные схемы, со! гвсоы3вукииие пере й крзсвол задаче лля ур33333!3.33! я тсллолроы3лиосзн П8,43). 3!зли3! Оленку г3огрс3ингсзи округлсю3я ллв явной ра 3333ктной схемы, лострослной в соответствии с (3йг,ч3) лри -',-"=, лг 2 Пусть логрсглность, 333хзнгио3к3333ая из казкдом отлелыюм С!33333 в речульг33те окру;33егиич! Орл вы и!еленин и'„ло к33сольыиой вел!! !!!не ис лрсиосходят с. Пргдлол3оким с3 з ила, ы! э3а иогрею3юсть дг3лу333С3 а только на слое с в!мэром л,, з на всех лредыдусиих и и! Слс'!угон!ах сл3э33х ис бь.ю сдслги333 333333ибс3к 1 3!Кр) г 3СН33Я. 33ля рассмз3 риале;3ой схемы СИ3л -:, .=, Оююлкз е, 63 долг!ионная нв стюс с номером л„лрю3езыг к 3333исис33ио точно!0 333гиси3ги разноса!!в) схемы (иг! Нос!!си!к'НО!К слОях) ие б! Нес юм иа з.,'3333 нслосрс;кгвслио вытскас! и.

рз33систва (;3!3,43), гзк кзк ию;лу линейности р;онос3яых 3рав33е333333 разности меяиу точю3м !! 33р3тбл33333С33Н3к! региеиювю так ке является (лри л ' л,) исии33пгем 3'рзвнсю я (ОЗС3,333). 31333! го!!о чтобы и !лучио, 3 33е33333 Зю! рсл3н<мгл юсруглсиия в обглек ст!)го!3!с, ко! Лз 333ОЗНЗН3! О!го)тления лоиускзк»ся 33а всех слс333х, лис!иго юо, г: гв Зу лючейиости рюзиостиых ур33333еи3333, суячировзт, 3югрел3ыым3, 33ь!.3аз33333,333 опюбкзгиг округлены, кгг3орые были сделаны иа ра;ычичных слоях.

Зал!3 3: !' чг!с ю 7' слоев 3333си33вг!стоя яс:и; люой —, 3ю3333Н3у су33мзр33а33 333ирсиы СГ !есть окру!ленни 3и ирсеосхолн! 3ю абсолют ги3 исл3глюс Погреигиость округи! Ня ие бг лет:юзра, ып!. Нри й .С3, если е =б3 (т) .. 0(33!) Обои33ч3333 !срез; 33з33С3333з иную допел н г. пик оншбку гжругления прн яыполяснии элементаряых арифметических операций, с помощью ко~срыл а,„еычнслястся по формуле !,'В,43). )4з атой фпраулы следует, ыо е= — 0(р); поз гому прп р = — - О(й ) погрспзность округления булег гжран;щенной, когда й-- О.

(Заметим, что лля неяянпй схемы, построенной по формуле (20,433 сочно гякнм жс путем мо кно полу ~ить услоаяе а= —.0(п'), по оцешса юрсз р имеет белес сложный вид; эта опенка зависит от яыбранншо способа рсгпения системы алгебрая ~сских уравнений, сяязывшощнх знагспня и„,' на слое с. номером д + 1.) Пусть теперь н схеме, построепяой согласно (39,43), имеем 1 ГД 2 —,, = г-+р, р л О (схсма нсустойчияа по начнльныч услов;шм).

1(ак было показвю я п. 4, ошибка аида ( — 1) 'а, где. липкая на па ~алшкзм слое, яызыяает яа слое с помором л = —.-, 1( 7, погрешность, рааную по абсолюгпой велит И чине ег)Р, где К вЂ” некоторая пестово ая. Лли ~ого ыобы погрешность округления при й — О не возрастала, е должно убывать при Ь 0 ~разам ~а)шо быстро: квс е Прннелсм ~ксловой прямер, иллгострнр) кшгнй поэме;кное бысгрое возраг ганне опшбпк в нсустси швых схемах.

Пусть в схеме постепенной ожласно (30 43), величина †, ранна едил' нппе. Тогда шпнбка шща ( — 1)' е аозрастасг прп переходе от и к и+1 в 3 раза. За 20 шагов она нозрастает в 3'"— 3,5. 10" раз. Если аычпслсьня еедугся с относятельпоп точнос~шо 10 , го рсзульгаты, полу ~сипае на 20.м слое, не будут содержать, вообще гояьря, нн одного яерного я~яка.

1)опрос о накоплении опшбок округления прп яычнслении решений разгнмгных схем яз~ ~еп сщс очень мало. 8. Рассмотренные вын~е примеры прпсгешних краевых за дач дли днффсрспииаль них ураанспяй и соо~аетс~яуннинх чм разностных схем дгяот лппгь об~нее предстаяленис об осв ояных понятиях, сказанных с метолом сеток, а также о важнейших спо;пбах псслсловлшпг разнвстпых схем. Й насгошмсе время имеется большое число работ по раз. личным общим ягшросам теории разяосгпых схем.

Изучены 43] злмг. нзпю о мг:ггюг, сгтггк йц9 некоторые частные классы с хе»ц ю чгрг гзьо пес чсл~ взны огас .ьюяе схемы, вз~кпь~е для практических прнложеьпй ') Оснпягюе место н елях работах ззнпчзс~ псглслоззлне устойчивости рззностных схем. 1»ак правило, быьзсг грглно получить эффективные гт. с. более нли мг псе просто проверяемые) достато гнгяе услогпю устойчивости. 11еобхьлпмыс ус юлия взхгл~яггя обычно срзвг нтельпо легко.

Дггя праны кн большое зна ~ение нзгеют пргжгыс и вместе с тем сгнпппче, т. е. близкие к достаточным, необхолнмые условна устой ююгсгн. Иынггтсгг хгезолы, позволюощне нолуча~ь ~анне услоюю для некоторых доно.юно общих классов схем 1нзпрпмер, метол интегралз Фурье лля разносгных схем с пгзстогппнями коэффициентамя, кратко изложенный выше). Г..лелуст, однзко„заметить, что рлзностные схемы, нрямспвсмые на практике, в большипстве случаев нс лоп)скюот пгюнпго и стргл ого исслслоязюя с юмогцыо известных в ыстоящее время обгцнх методов. Это огноснгся, в частности, к схемзм, которые соответствуют линейным лиффсренцизльюым уравнениям с переменными коэффициентами общего внлз.

Имеющиеся нсслспогюния устой пюосгн таких схем используют специфические сггойствз гия<лой кгн!кретнюй схемы и не мотет служить образцом лля псслслования разнообразных схем, пркмспясмых в вычисгагельной пракгюге. Часто вс~ ре ~логова к ~акке случагц кю ла примою пно обпгих методов исследования теореги ~вски лопусгнчо, но при этггм жгзникзкж столь больнее технн;вские грузности, что прзк~пчеыгн эти моголы гжазынзются нспргнольычн 1гак, например, прп псслецовзник )стойчнзости ~гг~ мегогг) разлелення переменных могут встретиться болыпке трулностн прн вычнслспии собственных значений).

Пгытггму вознпклп и гючу юлп гпврокое применение тзк нззывасчняс снрзкти ~вские приемы:, исслслгтвз~ая устой юности разнос г ых схем. Теоретически этп приемы илк не обоснованы, плн обоснованы только дгю ыстных случаев, но лостатоюо хорошо проверены на прзкгнкс. О»гния из таких приемов яыиегся так югзываемый ямотод гюморзживания коэффициентов». 11о мому метолу линейюее разностныс ) )ззвнсюгя с пщюменными коэффйггнсптами '1 Сьг.

Р. Л. Р и х т и з й е р, Ра юостпые меггыьг решения равных жюч ИЛ 1Ч60. лойолнгннв аа;всвыктся тзкими же уравнениями с и! стойнными коэфсри иис!.вяни, рзю ыхю звю:веюым соогвегствукииих йср«венных ковффййнсввт! в в кяк; Й-.й вю точке (Г«, х,) рзссмав ив:чаемой обв,!асти. (!с«и! прп я!об!с»в! выборе гочьк (г«, х,'! схема, сост»я!- осы и! упзювс»й:и с ююоянны»ю коввффювиентами, ш яэьюается»сгойчи вой, .

*о н всход в!»ук! схем» !» !!срем«н!вымп кввчв(вв(вь шел!тами(»'шгюог устсй-нввгвй. Имеется така!с рвд вру~их «при!тюк шгих йрнсм!»в» и»еле. дойаюга устой:вююсви раювосывых схем. В!в«!с!вен!во ввр«делов йриченимосы! и ст(!огне обоснован!:ь т яких кпрзк ! н !вских прпсьюв» исслгловзнпя ус гойчияос ! и рв:июсгвых схем ир»девавлвег зня ювсльны!т ййвер»г. ( (хрипу с рсвлви гие»! ооизвх ьштодсвв ввсслеловя!вин (м ' ностных схем важное знвюеиис в веег рсырзбовка р,вйивюялв,- ных «!столов востро!вы!я раююс вньвх схем д ы некоторых классов задач, часто воавшк;вювцих в ввшмкчкшвни». Ос»иве!«но большой вютсрсс йрсдсгяк ш;о! рввзносвн,вс» хомы и юг!'!»!вы«в в! ш прибливкснйов о нахсждсйвю ра.врыгивввх и ввсглюгкйх рсшс вюй пикейных и в ос!вбсююсти не вювейны» лнфй»срйнййалью,ы у' (в я пи с н и Й .

Интересвчые в веорегюиском о!ношсюю и вюкввв„«для практики во!!росы воз«!ив.лот гв(ви юслсюа»в реюсюю лиф;(.с реювйальных ур,юнсннй с ч,ы;нымн нов!вин лвычн е случае, кюдя юсло независимых:вере«шв в!» ! слыви аква (вбычнввс рввзввосвввис схсюж;юз ю! йюсыс (васею»ров:ю-,м выюс, в эв! и случае н(ввввгвдя! к сетке, с«сыы нсн нз ! чсю вюльйюго юсл; узлов. При этом резко возрастай г в,юю !с!иве !в!ям!!с;!с!!яр, з также увеличвшзетсв объем инг(юрчзцюв, вюторую йркювдигсв храювгь в завюмю зюипвх устройств!ах» штйгвй мюю! вы Псвэвому очень важное знячевше для развя гвы и»г !дог! пр бю! женю!го решеюю многомерю,вх зада в иве!от во вные оиснкн и! формаювн, необходвыи Й дйв! йолв чснйя рсшшвив с задан:юй тсинвсвсг!.к, и !!оные шюсобы;к!с! роевш.! усовершенггвованв ых разнос ввых схем, позыв.!юошнх умеиьшйгь коли же!во яы.

чн»:леввйй. .