И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными, страница 6

! (27,2 Тогда В(г) булет в втой окрестности авали«и ~пекой функцией 11окзвгем, что чзстпое регнение уравнения (26,2) л ~в!он — 1 Г( ) ==- — — — — гл дает нам искомучо мз~коранту лля рсюенпя «зада и~ 1з. Так кзк функгевн Ц((, х„..., х„) =(г( — 4. +х +...+х„~ удовлсгворвоз системс (25,2), мзягорпрувь гней нскоднуго систему, то для локаззтсльства этого утварям денна достаточно убеди гъся, ч го Ь (г) при г ==О разлзгзе гся в ряд но х„х„..., х„с голо;ки гель нямп !гоэфг)пп!нен! зми, т. е. является маакоран гол ~озогествсвпого нуля (на ыльнык данных «задачи (в).

М Действительна, А(з) = - — — се гь функноя с нсотрпнз! —-- тельными коэффпписптзмп рвало.кеыня по в, Следовательно, ю( ) =-,-"' — „'((,'))-„— „=- = — иляЛ (г) 11 -,'— вУаЛ (:) -!1- и';йза'Лз ( ) 1-, ч 2) задача коши. тногсчА коеалеа ".кой 37 тоже имеет неотрицательные коэффициенты разложения по степеням г. Отсгола С(г) .—..—.. ) Б(х) сгз, есг ) — 1 =-С(д) + —,-г-..., (,г(з) ау Г С'(г) т 21 также обладагот этим снойсгноч. Поэгому и коэффициенты разложения (/(х, + х, +... + х„) по степеням х„хм ..., х„ тщоке неотрица гол нпж т.

с. (/(О, х„х„..., х ) действительно янляегся мзжорзнтой нуля, Значит, функции Ц(1, х„, х,,)==-с/( -+х,+...+х„~ янлшотся решением некоторой кззлачн 11а, Лиани ыг вость ныло решения ныгекзст нз то~о, ~го 7/(;), как покззию пыше, разлагаегся в ряд пг> степенягз з и, следовательно, а ряд по степегшм М, х,,, хгн А отсюда, кзк было указано ньпнс, следует сходнмость степенных рядов (22,2), представляющих решение нсходгюй зада ш, Этим показательство теоремы Ковалевской для лннсйщзх систем закан шнзется, 3 з и е ч з п и е 2.

Из доказзтельстнз теоремы видно, что ряды, дшощяе решение задзчн Коши для сисгемы (9,2), сходятся во ясаком случае в той облзсти, и которой сходятся рыы, аз~ощип решение мюкорнрующсй ззда и. Отсюда следует, ио решение ггернгшачальпон задачи Коши для системы (9,2) и на шл„шзз фунюшй в,, нс обгшзгслыю равных нулю, существует но нсяксмг случае в неко~одой области . ~ » р, ) х,,:' » р, ..., (х,) с р, р '> (), если коэффнггн нты спстсшз (9,2) п нз мльныс функции сььши голомсрфпы н ооластн )г)~Р, ~х,)=-.Р (1=-1, 2, ..., л, Р)9), При эгон р и и ззнпсят только от Р и от числа М, но они никак не зависят от значений на шлыгых функций р,, и свободных членов ураннешги, гзк кзк шг а, нг~ тз область изгшнення з, глс ныполняется (27,2), нс зависят ог этих значсишн. 3 и и е ч а н и е гц Длн сне гсм, не имеющих вндз (1,2) теорема Коваленской, вообще говоря, неверна, как показы- 38 ВВВДЬЮ»Ь.

М!»АССИФИКА»п»Я Х»*АВПЕИИП (!'л. ! взст следу»ощпй пример, прш»адле!к,!ший Ковалевской. Рзссмогрпм у*рзвисппе (28,2) с иачальиым условпсч и(0, х)==,, (х(=. 1. (2»2,2) Легко видст»ь что звали»шщскос рсшсши! иП., х) зад,»чп (28,2), (2»),2]„если оио сущее гиуст, в окрес'! Вос »и пз шла коордииа! дгльою прсдстзв.ю»ься рядом Х,-;: !Йл!' (1 .)»» ! » —.» ОДИЗКО ЭтОт РЯД РЗСХОЛ!МГЯ В Кажгвй »СЧКС ПРП У=»ЬО.

8 а да ч з. Агтрк»»иа!Тс !еорему Ковалевской для квазиш»- нейпой сиса е»п,! уравнений перво»О порядка. ф 3. Обобщение задачи Коши. Понятие о характеристике 1. Обоб»це иве аадзчп Коп и. Зат!ется система И урзщгенвй с»»2 иеизвестиымп фупкция»п! и„и„..., и» гз»п. (г, 1--1, '2, ..., И). (1,3) Для кихдой функции и! сугцествуьт свой паивысший порядок и '»зс гиых произвОдпых этОЙ фуиеции !ю исззВисимым пеРемеииым х„х„..., х»л Входащих В с»ы»смУ (1,8).

)) рассматриваемой об»шсти »ы »ек (х„хо ..., х„) задается ДОСТЗГО'ШО »ЛЗДКЗЯ Л-МЕРИЗИ ПОВЕРХИОСТЬ 5 И В Каи»дой ТО'»Ке погерх!асти иекоторш! л»!Иия У, ие касзтелы»зи к О и дос!.зточио гладко измепшощаяся при дзюкеиш! в "оль о, иапрямср нормаль к поверхности. 'г(а этол взверхиосьп задакмся все фуш»цпи и, и их произиодпыс !и! и;шрзи »с!ш!о ливии 7 до иорядк»! л! — 1. Эгп уело»шя !ы;щщр»иге »и 5»!алик!»Ти обослцспием условий Кхпп (пачзльиых даш»ь!А), рассмогрсп пых в ирсдыду»цсм п»»радар»»фе, '1'ребус!Ся пай!и решение и„ олоьпц:няе за та ~и ко~ди и„ ..., ил системы (1,3) а некоторой окрестности пояеркности 5, которос удовлетворяло бы задании~и из 5 услоьиям. 2.

Попытаемся свести згу задачу к задаче Еоцик сформулированной в предыдущем параграфе.,((ля простоты ограничимся сначала рассмотрением вместо снсгсиы (1,3) следующей линейной системы: Е О*' Ц, А~Ъ .. л:1(х„х„..., х„) — — — —,— '-- —..— +, . +А(хч х, . х„)--О (1, У=1, 2, ..., М). Мы выписали здесь только члены со старпвщи проязволвии от неизвестных функций. В окрестности новсрхяости 5 ньслсм новые криволинейные координаты «„ «„ , «, таким образом, жобы ураенекие ппьерхности 5 приняло яял "„ = — О, а лпиан ( соьналн с координатными линиями оу я пред - «о д 'я р сти 5 и линий У. Предполомсим, что на поверхности можно ввести параметры «„..., »,: х„= — х„(«„..., «„) х, =х, («„..., «„.) так, что ранг функциональной ма~рицы р дк,,'1 )! — ')~ (1=0, 1, ..., л; )а=1, 2, ..., л) , :д»л~ равен л в каждой точке 5 н правые частя и (3,3) — лоста- точнО гладкие функции.

Пусть линия У задаются параметрическими ураьнещ» а и х„= Х, («„«„ ; ='',, (»,, '»,', '..'., '«„'),' ~ 4О ввглгнис. клхссиФккл«гня углвнгннй (гл. ! тле с, — параметр точки влоль линии 1, а .„ ..., сх — параметры точки пересе !сюгя 1 с 5. При атом правые части уравнений (4,3) прелполагюотся достаточно гладкими функциями всех своих аргументов. Относительно паРаметРа Рч пРеаполои«им, что хотЯ бы дх; овна из произволных .

„у(г= — О, 1, ..., л) отлична от нуля д«,, н что точке пересечения лшгип ! с поверхностью 5 соответствует значение с, =-. О (т. е. уравнения (4,3) при с, ==- О совпалаюг с уравнениями (3,3) поверхности 5). ,Г(оквжеьг теперь, что функциональный опрслелитель «пХ «3Х, дХЮ (5,3) о1«рестносги поверхности 5.

=О, отчичсн от нуля в не!го~арой Г)а поверхнос.ги 5, т. е. при с, г!Х«дХ, «!-:«д«, дхв дх, — д«, д«, дХ„1 д«, 1 ал„ «1'., ) дх„дх, дх„ Послелнгге и строк опрелелителя (6,3) линснно независимы, так как, по прелположени!о, ранг функциональной матрицы !! †. †'; (1 =О, 1, ..., л; А = 1, ... л) равен л. (дх; ) Если бы опрелелитель (6,3) был равен нулю, то первая его строка, прелставляюгцая ненулевой касательный вектор к У, быта бы линейной комбинацией последних л строк.

Но вто невозмов<но, так как послслние п с~рок прелставляюг собой векторы, лежагцие в гнперплоскосгн, касательной к 5, а лн нии 1, по предположенюо, не касаются 5. По непрерывности опрезелпгсль (5,3) отличен от нучя в некоторой окрестности 5. 11озгоиу в втой окрестности ововщшцш задачи коши можно приншь за новые координаты гоши Перейдем к независимым переменным в урапне:пшх (2,3). Нас особенно будут интересовать в преобразованных уравнениях члены, содержащие производпыс от иг высших порядков пг по с,.

Выписывая только эти члены, получим ь ь Поэтому, выписываи только члены со старшими производными ог функций иг по ~с, н уравнениях, получившихся от преобразования уравнении (2,3), иолу шьг Лгал,хьы ~дат)гь (д:, ~а. д"а~гт ( /'.— - г дх,, ' ' дт,„даат ьмь... ! а„. л (=-,, ...,м с1тобы эти уравнения вблизи поверхносги Я можно было д" Зи, однозначно разрешггть относи гельно -г,ы при произвольных дс,,з других членах уравнения, нс выписанных явно, необходимо и аостаточно, чтобы вг всех точках поверхности 5 бь|л отличен от нуля определитель Ф.

ь... +ь„==~:, О,у=1, 2, ..., Дг), Тесла в силу непрерывности коэффициентов А),ь'" "' и про- дЕ, изводных .-' этот определитель будет огличен от нуля дха в некоторой окрестности поверхности 5 в пространстве (х„х„..., хн). Уравнение 1 ао+..~-ьл=ьу (', у==), 2, М Введение. классйенкыпъ гклань 1ий (гл. ! называется хпрокглгрисглнчесхлзт урпаненлезт для системы (2,3); здесь и„ а„ ..., а, — некоторые параметры, причем Л ч а, =ус=О.

Изправленпс ~ипернлсскости г — а Х ч ал (х„— ха) ==- 0 называется хпрйхгнгрлсгллчгсклл1 нллрпалгннсзг в точке (х'„, ..., х,",) для системы (2,3), есяш Агт' "' "З(х",„х',, ..., х',.')аь ... иа')=От). ~ а„+...-~,-ь,=ь., Поверхность ~р(х„х„..., х„,).— --0 назьазсзся хлузахглернслннлеслсой лоесрх(носгльга для сне: смы (2,3) или просто хорпкаерисглихлГ, если в г, пкдой тоже атой поверхности А~'*н- гы(х„х„..., х„) )( а,, +...

+а„=. ау / М)~.„( н;- )а,, д„- т~„, дз и но крайней мере одна из произведшая —. '- (й =-= О, 1, ..., и) дх„ отлична от нуля. Из зтих определений слелуст, что направление каждой касательной ~иисрплогкости к характеристической гзоверхности, или, как мы будем ггнзори~ь для краткости, направление характеристической новеркностн является вщолу характеристическим. 3. Из прсдыдущехо видно, что если направление поверх- но ги 5, о которой шла речь а формулиоовке обобщенной задачи Коши, ~и~де не ~~~зете~ характеристическим для системы (2,3), то после введею.я ксорднпат сс„'со вместо х„, х„ ..., хгн как было описано в и.

2, преобразо") Так как уравнение (й,з) о,шороано относительно нензассзныз аг ан ..., а„, то зги неизвестные можно но~ мирояатгч счигая, нал щчшер, ~~ а,',=1. Тотал аа сугег косинусом угла менялу нор. малые к карая~с)нгстичсской гллералоскостя з смыв Оха. оаошцшпн: злдлчн кони ванную систему (7,3) иблизи гюверхпости 5 всеглз можно разрешшь огяосительпо старших производных от и, по сч.

Полу шгси скстсма зО да ч '" ~"и (из) (/, /== 1, 2, ..., д/; /г=/т,,-/ /г, +...-(-/г„::--с нг; /г„с'д ), услонпн„заданные на поверхности Ь, перс/шут в успении .+(:„..., г); ' ' ''' ' '(1(33) Таким образом, если поперхносаь 5 нигде не имела харзктеристическш о н шравлениз, обобпгенназ зада~а Коши снелась к прежней задаче Коши. 11ереход от первой из вчна задач ко второй вполне обратим; каждому достаточно гладкому "') ре~певнно одной задзчн соответствует сдиис'тленное гладкое решение другой. Но в предыдущем параграфе речь шлз о решегнш системь~ с аналитическими конффицнснтамп и аналцнгческими нз шльными дзнныьш. Для '~ого сгибы системз (9,3) и зада ~а Коши длн нее удоалетворилн агим требованиям, зостзто ~но выиолнсчши слсдукицих лополнптельшзх услоа.й: з) Козффнпиечыы системы (2,3) — -аналглпческнс функции от л„..., зж 6) Функции /сг —.—.-Лг(С:„3„..., 1„)(/=О.