И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными, страница 3

Ось и перпендикулярна к плоскости (х„ х,). 16 Введение. клвсснжикхция увавнепий )гл. ~ Мы выведем уравнение, которому удовлетворяет функция и(х,, х,), нрн слсдуюнщх ограничениях. Во-первых, мы предположим, что в интсресу1онгем пас положен|п1 равновесия поверхность мембраны нс сильно изогнута, т. е. близка к куску плоскости, с(ругимн словами, предположим, что проди ди изводные — и — малы, и будем в наюих рассуждениях дх, дх, пренебрегать высшими степенями этих производных.

Во-вторых, мы предположим, что под действием силы ~(хы х,) точки мембраны двигаются только но перпендикулярам к плоскости (хо х,), так что их координаты [х„х,) прн этом не меняются. Вывод уравнения будет опираться на одно из основных положений механики — принцип возможных перемюцений, согласно которому в состоянии рав|ювесия сумма элементарных работ всех действующих на систему сил пря любом возможном (допускаемом наложенными связями) переьющенин должна равняться нулю а). Для вычисления элементарных работ найлем работу, произведенную силами, лсйстауюнгими на мембрану, нри перемещении ее из первоначального плоского состояния в поло1кение, задаваемое функпией и (х„ х,). Рябо~а силн, плотность которой равна у(хо х,), определяется интегралом ) ) у'(х„х,) и (х„х,) г(х, г(х„ так как на элемент мембраны дх,ггх, лействуст сила ~(хо х,)г(х,г1х,.

Изменение плогцаля мембраны при этом перемещении равно 1+ и' + и,' — 1) с(х, г(хм а работа внутренних сил при агам изменении плогцали равна — — т Г)Г) ()I 1+и,' -1- гг' — 1) дх, т(х,. Разлоя~им полывтегральпую функцюо в рял по степеням и' и и н, воспользовавшись предположением о малости ю в. "1 См.

Г. К. С у с а о в, Теоретическая механика, Гостехиздат, 1946. опгвдглении. пгимзгы этих величии, отбросим старшие члены рвало копия. Пря этом лля раб!мы внут(зсниих сил ) п( ) гости полу'!г!м Вьц!зл сине Поэтом)' работа всех лсрств)ЮиШХ !И тгстиэрзну яп) грен ник свл и силы !г при г!среме!ценки мембраны из гю,ю,кшшя покоя в неког! рое положе!шс и(х„, х,) рзш!а А (и) ==~ ~ ~- - ~ ~ и' + и, ) (- уи ( пх, пхм П1,1) Я) Произведен теперь неко горов возможное псремшцеигс мембраны, т. с, добавим к и(х„х!) пскотору!о функцшо еи(х„х,). Работа воск лсйстнукнцнк сял ири э!том и речеще!ши равна вариации шп ел рала (11,1), котору!о ие! рудпо подсч!ма гь.

Имеем оЛ = — 4 (и -!г-ои) — А (и) — ~~ ( — Т( и' ои' +и' ои'„у'+ Ли~ г(х,гухы (12,1) Она должна быть равной нулю согласно пряш!и!у нозможн,|к нсрс!мс!пений. Интегрируя первые дяз слагаеа!ых по частям, полу;ям ~ ~ ( и, 'лп .+ и' оп,, ) гух, г(ха = =-~ . — еи та — ~~ ~-'-" ,+- -'-,'-~ 3иох, г)х„ !. откулз 3А = ~ — Т вЂ” си г(а + Ц~ (Тдгг + Д~ эгг г1х, ггхэ, (1 3,1) где через Ли обознзчена сумма втор!ах про!иводнык ') Интеграл (11,1) равен с точностью ло знака потевп!и!т!ы!ой энергии мембраны я положш!ии рзы!овесяя. Таким овразга:, мы можем сказать также, по нз!и вывоз ос:ювзн пз точ, чц! я положе!шп равш>всгия потенцпалышз энергия всякой мскашжескои сн* стены мннячал; из, 2 я ! Петгяггкяа 18 Ввютение.

кллссиьиклг!Яя уелвнецпй (гл. 1 д'и 1 дегг дл — --- + — —, -'-- означает производную по направлению внещих г~л;~ ней нормали к грашще ь. Как было указано нышс, ди — возмгпк юе персмепгевие, т. е. перемспгепне, допускаемое связяхш, наложенными иа мембрану. У)ти связи накладываются обычно нз крои мембрзпы, поэтому функция ои(х„х,) во внутренних точках мембраны является произвольной нспрерывнон функписй.

Следовательно, из равенства нулго аЛ можно сделать вывод, чго аж полоягения равновесия функция и(х„ х,) в шобой внутренней точке удовлетворяет ураияспию уЬгг + 1 = О. (14,1) Это урзпне'ннс пязьиается ураенейкелг Пуйссона. с(то яге касается связей, то они сказываются на граничив~к услошшх, ко серые ьюгут быть весьма разнообразны. Мы отделшю рассмотрим наиболее часто вез реча|ощиеся случаи. Закреплен на я мембрана. Пусть край мембраны закрешгеп вдоль пекгжорой пространственной кривой, проектпр)чопгейся в ь. Если параметрические уравнения ь суть х, =х,(з), х,=.х,(ь), го мы требуем, чтосы мембрана проходилз через некоторую кривую х, =х, (з), х, ==х, (г), и = е (з).

(1рн этом сгшиственгггзы ограничением, нале;кс|шым пз йс, бучсг ел=-.О на ь. Благодаря этому ограничению в формуле (!3,1) нсчезае~ крнволппейпаяй инзсгрзл. Полу 1с эая задача — найти решение урзш ения Пуассона с ~ рзнпчпыя условием и =- се (а) нз ь — называется задачей Л7а)пгхле для э~ого уравнения. П1л,' т = — О ур: впеиис 1гузссопл обрзпшстся в уравнение Лапласа, с которым мы уже астре юлнсь в предыдущем примере. 11.

Свободная мембран а. Если мгя не накладываем никаких огрг|пггчений пз положение мембраны, то ес край может свободно псремещагься по вертикальной боковой поверхности цилиндра с основанием ь. В этом случае еи произнолььо кш< внутри, так и па ~рапице О, и мы получаем для уравнения (14,1) условие на Е Ое опгедслгния.

и име ы П!. Часто встречается случай, когда кроме силы,1, лей. ствуюнгей на внутренние гочки мембраны, к ее краю приложена вертикальная сила с линейной плотностью Т,, гак что на элемснг аз границы действует сила Т,Ж. Если мы ингам положение равновесия мембраны при этих условиях, го к ипк тегралам (11,1) и (12,1) хгы должны прибавить ~ ~У, г)п ггпу и соответственно ) /", вила, Е Криволинейный интеграл в формуле (13,1) имеет в этом случае впд ~( — Т вЂ” +у;) диг(з, и мы получаем для уравнения Пузссона красное условие вила на линии (.. Эта задача носит название второй краевой задачи (ладачгг Нег(лгпна), если у; не зависит от а. 1Ъ'.

Иногда рассматривается еще так называемое «упругое закрепление мембраны», т. е. случай, когда сила, лейстзуюгцая на край мембраны, проггорггггонзльна отклонению: у, (а) = ли (г). В этом случае краевое условие для уравнения Пуассона придл ничзст впл Т вЂ” — )ги = — О. дл Переходим теперь к выволу уравнения движения мембраны. Мы будем нрн э~он рассматривать только малые я толыго поперечные колебании мембраны. Малость колебаний ознадл дл гает малость а, — и — , и она уже была и ~ми использо' дх, дк,' нана»нри выводе формулы (11,1), а поперечными называюгся колебания н направлении перпендикуляра к плоскости (х„ х,,), узким образом, с изменением времени Г координаты (хгм х,) фиксированной ~о ~ки мембраны не изменяготся, меняется только функция и=и(г, х„х,).

ивг дг ни в. кллссиеиклпия кглвни:в й (ГЛ. 1 Скорость точки с координатами (х, х ) равна — -'--" '*; гл», л;„х,! 1' 2 дг д2и», х„кд ю!нс равно — ','-' — '-. Чтобы полу !нть уравне!ше ди л!: ! !,с,!ня мембраны, нуланс го п!ли!щипу Далавоера ситу ш!ернии мембраны. дг (!легкость этой силы равна — р(х„хл) --;, глс р(х„х,)— вовсрхностнзя плот!юсть мембраны в точке (х„х,). Мы пол! шм урвш;сш!е попсрешых колебаний мембраны, сели вуравд"в ненни (14 !) заменим второе слагзсьюс на — р — -: дг2 ' (15,1) ! 2 Возможные краевые условия при этом остаются те !ке, что н для уран~ения (14,1), с той разниией, что задаваемые на гранине функпни могут тс!крь зависеть ог времеви.

Чаще всего встречаются задача о мембране, край когорон закреплен вдоль линии Е:и(1, х„х2)=0 на Е, и задача о свободдв (Г, хв х,) нол мсморане: - — ' — '' =0 на 5. дч Как и в случае уравне! ия тсплопроводности, физически о !свидно, что одни граничные условия вв могут единственным ооразом определить движение мембраны, так как оно существенно зависит от начального положения и началы!ой скорости.

Действительно, в дальнейшем будет показано, что решение уравнения (15,1) определяется однозначно, если задать начальные условия ( 2! ° ! 2) 2г1(Х12 2)! 1 ( . х ) ~о (15 1) и,((„хы х,)=2Р, (х„х,) ! и грани шые условия какого-либо из рассмотренных типов. Теоретически л1ожно рассматривать так называемую неограниченную мембрану, т. е. колебания всей плоскости (х„х,), полчнпе!шые уравнени!о (15,1). К такой задаче мы мо!кем прийти, сели рассматриваемая мембрана настолько велика, что влиянием гранины можно пренебречь. В этом случае, как будет показано в даль!!сйшем, достаточно од!шх начальных данных, чтобы определить еди!ютвенное решепие уравнении (!5,1). Если же мы для конечной мембраны зададим только условия (15,1), то этим решение Опггдгления. пРимеРы однозначно определится не для всех значений 1, а лля каждой точки (х„ хе) только в некотором интервале ( — го Г,), ззви.

сищем от то ~кн При этом величина это~о юггсрвалз тем менынс, чем блнгке точка (х„х,) к границе обл;ютв Гп Если р постоянно, то заменой независимых переменных уравнение (15,1) можно свес~и к уравнению д'и д'и д'и —. = — + —,. (1 7,1) дх' ох' ! ь Рассматривая малые колебания газа (звуковые волны), можно при некоторых физических предположениях показазь, что функция и (1, х„х„х,), характеризующая отклонение от нормального павлония в точке (х„х„х,) в момен г времени 1, уловлетворяет уравненюо (18,1) где а~Π— постоянная (екоросгиь звука).

Уравнение вида (18,1) нззывается волновьглг уравнениещ в пространс~вс; многие другие колебательные процессы (например, электромагнитные) также описываются уравнением (18,1). Уравнение (17,1) называется волновым уравнением на плоскости. В одномерном случае (колебание струны, колсоаиис газа в труокс) соответствующая функция и уловлетеоряст уравнению д'и д'и (19,1) Это уравнение называется уравнениелг колебании сглруны. Здесь р(х) — лннейнзя плотность в точке х, а 7 в натяжение струны. Начзльпыс и граничные условия лля урзнненнй (18,1] и (19,1) вполне аналогичны соответствующим условиям для уравнения (15,1). Отметим еще раз, что уравнения (15,1), (18,1), (19,1) уд ~а полу ~лютея только, если пренебречь величинами (- — ) по ~дх, ) 7 ди т' сравненюо с(-- ~ .

Если нс сделагь этого (не прслполю.агь (,зх, ~. малости колсбзппй), то уравнения движения соответствующих ущр1ч пх тел будут гораздо более слонгныьгн, нелннсйнымн уравнснияьщ. введении. клхссиеикьция хилвнвний (гл. г 3 а м е ч а н и е 1. Если рассматривать 1 тоже как прострзнствсюгую координату, то функция и(1, х„х,), описывающая колебания мембраны, будет определяться в цнлюгдрс Ц с образугощими, параллельными оси 01 и прохошнцими через грюгицу области О, над которой находится мембрана. Рассгютренная выше задача состояла в определении значсгай агой функции внутри цилиндра по некоторым условиям на боковой поверхности цилиндра с( и по значениям и(1», х„ хг) и иг(~г,х„ х,), когда точка (х„ х,) Е 0 находится на основании пилиндра. При такой трактовке этой задачи начальные условия при 1= 1„ нельзя уже противопоставлять граггичным условиям.