И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными, страница 2

В эт> ч с~учла >г>(х„ х„ х,) называетси «оэфф>щиентом внешнся геплопроводности тела по отношению к данной среде. Мы рассмотрим тело, изотропное в отношении теплопроволности, т. е. предположим функци>о Й(х„ х,, х,) не зависицей от направления нормали к поверкносги 5 в точке (х„ х„ х,). Кроме того, предположим, что эта фу>шция имеег непрерывные первые производные по всем координатам. Лли вывода уравнения теплопроводности выделим вну.>рн тела б неко>орый об ьсм О, ограниченный гладкой поверхностью 5, и рассмотрим изменение количества телла в это.> объеме за промежуток времени от 1, до !м Через поверхность 5 по формуле (1,1) входит количесгво тепла, равное )о внклкнгнь кллссненкання ю звнкннй (гл.

г дн где — ознз шсг нропзясктнучо но нзпрзвленео клешней норда ма и поаеркностн к 5. С крутой стороны, гюо жс количество тепла мсокно определить через изменение темпср;шуры к обьсяе 0 зя промеж у ток времени от т, ло т,. Изменение колпчест нз тепла рюшо ~ ~ ~ с (х„х„х,) р (х„с„х,) ',и (1„х„т„, х,)— — и ()„х„хт, х,)( йи, з с, сух,, (3, !) где р(х„, х„х,) — плотность, а с(х„х„х,) — гегиюемкосю, тела я точке (х„ хт, хз) "), интеграл распространен по области 1). П)зирзшшн (2,!) и (~),!), получим: ~ ~ ~ ср )и (т„хо х, х,) — и (г„хы х, л ) ( с(х, с(х, сгх, = н ' э) По формуле Ос грогрзлсього Интеграл я левой шоти равенства (4,!) мокино записать Значение фиязческяк кз)юьгсряс ~из заза я опрелезенной точке Р (ыюгь кзк„например, пзотностгч геплоемкость и т.

и.! понимается ксш ла кзк некогорыя предел. А ииенно, берегся послелсвагеяыюсгь кубов с пан~ром а ~о ~не Р со стороной, стремяшейся к ну,но. Рассмзт)л1кзется ооюшспие соогнстсгвуюшей ве личины для кззкзого кус1з к обьеиу нгоро куба я берегся прелез етого отношения, косяк сторона куба с грсзнося к нулю. !)апринер, плотностью в гонке наизвасгся нрезез сношения зззссы куба к его объему. Аязлошшно пояеркнос гной итогносгью я ~о ше пластинки отмывается нреасл огиошсняя массы квзлрюика с нен гром в атой точке к его плескали.

уйшся))яой и.ни по ~ью я точке сгергкня называется прелез опюшешв массы о|резка с нситрон я рзссмагряяземой точке к азине о~резка. Ана.ю~ ичко онрелекыотся теи.юемкость, теплоярозояиосгь к точке ч г. и. $1! опгкдьлення. и инины в виде так как и(у„х,, х„х,) — и(1,„х„хм х,) =- ~ — Л.

Г дл — дг Таким образом, дли люсюго объема су внутри тела 6 справедливо равенсгво ~Я ср — г(х, г)хаг)хат!!— а — ЦД ~ —,'~- ~ ! -'.!в " ~ ), с).:, ах, а =-() р или э ~ ') Ц ~ср †' — — у — ( уг — )~ г)х, г!х г)х„ гу! .=- О. Так как функпни, с~овщне под знаком интеграла, непрерывны, обьем В и промежуток времени ()„ г,) произвольны, го ллн любой гоман (х,„ х„ х,) гела О н длн любщо момента времени ! должно вынолню ьск раненсзно Это уравнение назынаетсн у!щвнаниг и тгллолроаадмости, вообще говори, гюодпороло~ло, но озо~ропного гела. Если тело однородно, го )г(хм х„ х,) =. — сопз1, с(х„ х„ х,) = сопит, р (х„х„х,) = сон зг и уравнение (5,1) обращаетсв в ураюилще с- г!л з ~ н'л ог к- ох' 12 Вяадзнне. кллссиа!!нация углзни!ий (гл- ! А Заа!сяяя — 1 на г' и обознач;ш 1 опять через 1, мы привесу асм !го уравнение к виду дл гял д'и, д-'а дх" дх' дх' 1 ! 3 (7, 1) Урапнения (5,1) и (7,1) имшот много решений.

Чтобы выделить из всей совокупности их ршпений какое-нибудь олно, пало поставить дополнительные условия, играющие !у же роль, по начальные условия и обыкновенных днфференнизльных уравнениях. Такими ло!юлннтельными услошшми чаще всего являются гак назынаемые граничные условия, т.

е. условия, заланпые на границе той области 0 пространства (х„ х„ х,), где мы ищем ре!пение ураннсння с частными произаодныни, н на сальные усладил, относя!цнеся к ол!!ому какому-нибудь моменту времени. Физически ясно, что, во-нсрзых„ знание температуры тела в некоторый момент времени н теплового режима нз гран!ше тела должно полность!о опреле!шть тсьшературу в последу!ощее время и, во-вторых, что сам згот те!!лозой режим ьюжет быть задан различным образом. Бсг!и область 0 совпадает со асам пространсгвом, то можно доказать, что ограниченное решение уравнения теплопроводности при 1 ~ 1, единственным образом опрелеляется одними начальными условиями— значениями функпии и(1, х„ х„ х,) а момент 1= 1,. Для ограниченной области О можно, например, задать значение температуры в каждой точке тела в некоторый момент != в т, и задать значение температуры в каждой граничной точке тела при У) 1„.

Оказываегся, зтпх условий достаточно, чтобы единстасгнняы образом определить ограниченное решение при 1)1„и (х„х„х,) Е О. Вместо того чтобы зал!загь и(1, х„х„х,) на гран!ще О прн 1 >1„ио!кно лля определения единственного решения уравнения тешюпровош!осги задать на атой гранине — — произаодную по внешней нормали к границе области 0 да дл от искомой функнни и. (т т~кой ьштематичсской задаче мы прилем, если будем изучзть температуру внутри тела 0 при условии, что нам всегда известно количество тепла, отдазаемого в любой промежуток време! и (1„ 1,) ог внешнш о пространства к поверхности тела 0 через люоу!о площадку 5 й 1! опуздялення. Пеимгвы на границе тела. Оно должно равняться количеству тепла, передаваемого от пло палки 5 внутрь тела; последнее количество тепла по формуле (1,1) равно где А 0 — коэффициент теплопроводности в рассматриваемой гращщпой точке.

Такни образом, зная закон теплоотдачи для каждой плода щадки Б границы области 6, можно найти значения — — на дл границе 6. В частности, если нет теплообмена через грана нину, то на ней —,' =О. дл Можно, наконец, в качестве граничного условия задать при 1 > 1, нз гранште 6 значения линейной комбинации где л, — коэффициент теплопроводности при переходе от окружающего прострзнства к телу 6, а и — коэффициент внутренней теплопрояодностп тела. Эти коэффициенты считаются известными. К такой математической задаче мы придем, если будем изучать температуру внутри тела 6 при условии, что нам известна температурз и, среды, окружающей тело 6. Тогда, составляя бзланс количества тепла, проходящего через произвольный участок границы 6, мы соглзсно формулам (1,1), (1',1) найдем, что: 1.

Количество тепла, проходящего за промежуток времени (1„1,) ~срез площадку Ь' от окружающего пространства к поверхности тела, равно ') ') ') л, (и, — а) Ю Ж. з 2. Количество тепла, переданного аз это же время внутрь тела от куска Ь' на его поверхности, рвано 1, 14 ВВалгнин. клАссиьнкАпия уРАВнений (гл. Так кзк (1н 1„) и 5 произвольны. то должно быть ди й,и+й — =й,ин В частности, если и, О, то вто условие обращается в условие ди (г —,-+ й,и == О.

Допустим, что темпсрзтурз в кажной точке (хн х„х,) внутри тела 6 установилась, т. е. что онз не меняется при дл увеличении 1. Тогла — '-=.. О и уравнения (5,1) и (7,1) обрадг тятся соответственно в уравнения (8,1) Для опрслелсння и(х„ х„ х,) теперь нс кало уже залавзть никаких начальных условий. Достаточно зещзть ол щ граничные условия, которые должны быль иеззввсимыеп от времени.

Физически вто легко преаставпть себе тзк. с.слн грзпичные условия не зависят от Времени, то, кзкую бы па еальную темперзтуру мы ни азлалн, температура и(г, х„ х„, х,) в кзжлой точке (х„ х„ х,) тела стремится к некоторому пределу и(хн х„хз) прп 1 сю. Прслельнзн фунюгия и(х„х„х,) уловлетворяет стапнонзрпым уравнсппям (8„1) и про;кним, не вавнсюшии от г', грани льным услоюгям.

Взлача опрелелене1Н рещсния какого-нибуль иа уравнений (8,1) по его значениям нз грзещпе рзссматривземой области называется зада гкй Дирихлг илн первой краевой задачей. !)зряггу с распространением гснлз а пространстве часто «рпхслнгся рзссм.лрпнн~ь изменение температуры Влоль стержня нлп в г1лзсз нике. 1гслн прн эгон толнп1на олнородного стсрзкня такова, ~го тсен1срззуеру в точкзх олпого и того зке нопсрс нкпо сс ~синя новое считать спиваковой, н пс нропсхолпт ~сплогФмснз со ср, нп1 ~срез боковую поверхность стергкпя, то теуюсрзтура и б)лет зззнссть только нт времени г н олной орос грзнственной ю;орлюьмы хс урзвнс- ОПГ1ЛЬЛГННЯ.

ПГИМИ'Ы нис, которсм1у б)1тет подчинена фупкпия и(1, 1) в этом случае, прп соотнс1с1ьуюпгсм выборе сююип измсрсюы нмсе1 впд 6,1) Тому ме ураю1синю (9,1) уловлсгворяла бы гемперзтура и((, хо х„х,) ннузри трехмерного тслз, сслн бы о1ю зависела только от одной пространственной координаты, иапрямер от х, = х. Тзк будет, если температура телз во В1сх ТО1ках катклой 11лоскостн х, =сова( ОдннзкОВ11. Аналг1гнчио, изучая р,1снрострапснне тепла в олворолной теплоизолиронан ° ной плоской пластинке, мы придем к уравпюппо (10,1) Вт Дхь Вх" 1 2 3. Пример 2. Уравнения равновесия и колеб з н я я м с и бр з н ы. Мембраной мь1 называем натяиузую пленку, которая сопротивляется растяме1юн1 и не сопро11юляется изгкбу, т. с.

изменению формы, нс вь1зываюпгсму изменения пло1цали произвольно взятого у:1асгкз мембраны; работа ннеюней снвы, вызывакнней изл.епенпс плопюди некоторого у В1стка, г1ро1юринональна этому изменению. Иолозсятельный коэффиниеит пропорпионзльносп1 1 нс згапсит ни от формы э го1 о участка, нн от его пиппксния. Он называется нагла мгнигз1 мембраны. Заметим лчя аальнснюего„ что работа внутрснняк свч упругости равпз по абсолкл ной величю1е работе инсю1ннх сил, вызывавн11их нзяснсние плопгадн, я прогию1по1ютюы сй по знаку 1)усть а состоянии ггпггоя мсмс1ранз рзг1юло1кгиа в пло- СКОС1И (Х,, т,) 1 имсст форму нскотор11й ПлОСКОВ Обазс1И Гг с граннпся Е.

((редполо~ким, что нз ыс1нбрану действует неко1орая сила, плотность которой в точке (х„ х,) равна у(х„ х„) (си, ююску на стр. 10) и направленно которой пер 1еидикулярно к и:ю. скости (х,, х,). Под действием этой силы мембрана нро гнется и примет форму нско11рой поверхпосан, )рав11снне кОтОрОй мы ззнюпсм в виль' п ==и (х„х„).