И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными

ЛЕКЦИИ ОБ УРАВНЕНИЯХ С ЧАСТ Н ЫМИ ПРОИЗВОД,Н ЫМИ издлннн тгктнгг„ доноднггннон Долугцвла Мгг т тер гтот выстави а средкто слсцгигс ага оаравоеалив рнуОр в какестее уееблеКи даю государствелльх уливерситетов ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТГЛЬСТВО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ мооыгга 1дсг Гээгаиоэ ээа Кэа Геоигаеэюч. йссипвя ой 7равпеиияэ с эстинл ировэвовнииь.

Редэктсри А. Гэ. !пеев н Д. 6. Ь'олисаиааоа. Корвекгор .7. О. Г тес!со. Ггээээп опии реэаэтпв С. ГС дэта коэ. Сдэээсэ в паоор 267эр эОО! г. 77сдп. к печ. В/Ь'|7! !96! г. Буэз а 64к!эЭВ'Л„„ Ф; з гсч л 72,6. 7г л ви нс и я. 2О,В. рч. ° азд, г. 26,63.

тпраэк 22 ООО э!з, ! остдапстоопвос эз иэ' иь тпо физО, о.ьытеиатич ской зи~е(ээтт!эээ. Лйо ьс э. 6 7 1, 2!сии с«вй просп'кт, !6 !!ерзая 66рззионпя типот! афня инсан Д. Д 76дэнова э!ос.ьияг1 с тп гс)эоэтсэ о1 о созна!» Озс Ль эсь иь 2!Сзй, Вэ яс;вя, 26. Отпечатано с готэ в!як ьи!трсэи в ! О гни Л477С. Ввк эй! !. О!отказ, О. Переяславская, 46 ОГЛАВЛЕИИЕ Предисловие к третьему изданию Из предисловив к первому изланию , Из предисловчя ко второму издшншо Глава !. Введение. Классификация уравнемий ..., .. 7 1.

Определения. Примеры ............... 7 2, Задача Киши. Тсорема Ковалевской....,.... 22 б 3. Обойце~ие залзчк Коши. Понятие о характеристике 33 4. О елинствеяшгсан решения задачи Коши в области неаналнтнческнх фушгпнй ...,... 49 б б. Приведение к каноническому виду в то ~не и клзсснфнкацня урзвненнй второго порядка с ошюй неизвестной функцией б б. Приведение к каноническому виду уравнения с частнымн производными второго порядка во лвум независимым церемонным в окрестности точки...... 03 б 7.

Прнвслснпс к кшшничсскому виду системы линейных уравнений с частнымн и!юнзвчнп1ымл первого порялка йо двум независимым перехгениах| .....,... 73 Г л а в з П. Гиперболические уравнения Гаахеа ! зядлнл еоп!гч я ОБлАсти нвлнадитн нсянх дикций б 8. Корректпосгь постановки задачи Коши......, 84 б 9, Понятие об обойменных решениях ........ 88 $10. Задача Коши лля шшерболических систем с лвумя независимыми израненными.....,........ 92 б 11.

Задача Копи для волноньно уравпения. Теоремз о единственности решения 102 б 12. Формулы, лаюшнс рсшспяе задачи Коши для волпошзго уравнения . 107 б 13. Исслсловацие Фортгул, лшоших решение палачи Копн 1!3 !4. Преобразования Лореипа ........... !!8 б 15. Магематнческие оспсшы специальной теории относи гель яостн 128 Я 10. Обзг р основных факгов в теории зал;шн Ксчпн и нскогорыс исследования для общих гиперболических уравнений 131 огллнлтник Нзззхл ьолгьли|я оггшп|чи|ных тгл й 17. Бпстси|е 145| 18 Г;пис.|геиюсть решения смен|ми|ой задачи....

148 !9. Непрсрызная ланкс|жюс|ь решения от начальных |'слояпй . 151 б 20. Мех|од Фурье лля урзш|спкя струны ........ 157 б 21. Обшпй метод Фур|с |прсзззр|пельнсе рассмотрение! 1бЗ 5 22. Обкп|е сяонсткз собсп|еи|ых фупкш|й и собстненных анзчеп|п| . 1б8 3 23. Обое||ояание мс|о:з Ф|.рье............. 191 б 24. Прнмспе|ие ф гки,п Грина к задаче о собсткенных шы |спи|х и к оиюжнтнио ме|олз Фурье ..

„... 203 б 25. Изучси|с колебаннй мембраны .......... 215 б 2б. Лепилин|санные снеленпя о собст|екпых фулкпиях и о разрешимости смешан|юй задача длн гиперболических урзянсл кй . . 225 Глава 18, Эллиптические уравнения.....,...... 237 27. Вееденнс , 237 28. Спейс |но максимума и минимума и с|о еле |станк... 239 5 29. Решекие задачк Лкркхле ллт' кру|а . . ., .

. . . 244 5 30. Теоремы обоснопкых снойс||жх | арми|ячеек||а фуниий 253 б 31. Докататех| с|ко сушестяоьанпя решения задз |и Дпрпхле 2б2 32. Внс|шшя зала ш Бнжжле........, .,... 272 й ЗЗ. В|ораз ц|зеязх вада |а ............., .

276 б 34. Теория нотою|нала . 280 б 35. Решение красных задач с помошыо потенпиалоа... 297 б Зб, Метод сеток лля приближенно|.о решеиж залачи Лкрнхле . 315 б 37. Обзор некоторых рсзультзтоп для более обших эллиптичесиа урзш.'еисй . 324 Глаза !ТХ Параболические уравнения.......,... 337 б 38. Первая красная аалз |а. Теорема о максимуме и миикмухш .

337 5 39. Реже|ее пср|юй красной зада |и лля прямоугольника ме«|хи| Ф| рье . 340 й 40. Зала а Копн| . 344 б 41. Обзор нско|орьж ззльпск|них исследоканнй урззнепий параболнчссило |и|а .........,...., 349 йополпение . . 353 б 42. Рсшспне псряой краской эздз и| лля ураш|ения теплопрозотис|к истом и сс«ж............. 353 9 43. Заме ши|я о меюде се||ж ........,.... Зб7 ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАИИЮ В настоящее издание внесен ряд изменений и дополнений; наиболее значительные из нцх относятся к Я 9, 1Б, 24, 26, 29, 30, 37, 41, 43.

Добавлены также новые задачи. Работу гю подготовке эгого издания провели О. А. Олейник и А. С. Калашников. Л. А, Чудов заново пшшсал З 43. Я очень нм благодарен. 3 мая 1050 г. И. 77аглроаасий ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Эти лекции я читал несколько раз для студентов-математиков механико-математического факультета Московского ~осударственно~о уюшсрситега. Прн аодгоговке к печаги н несколько дополнил их.

При работе над этой книгой большую почощь оказали ~цне К, С. Кузыхнн, А. Д. Мышкис, 3. Я. Шапиро, Б. М. Левитан и М. И. Вишик. К. С. Кузьмин предоставил записки моих лекций. 3. Я. Шапиро оказала особенно большую помощь: она проредактировала рукопись, целиком написала ьь 22 — 25 и некоторые части других параграфов. Без ее помощи вта книга еще долго нг была бы готова к печа гн. А. Д.

Мышкис и М. И. Вюпик прочи.галн всю рукопись н сделали ряд весьма ценных замечаний. Кроме того, А Д. Мышкис написал зз 34, 35 и часть 0 4. Ь. М. Левитан написал и. 3 нз з 26, Всем им я глубоко благодарен. И. Пешроасчгиа 0 апреля !050 г. из ИРедислОВия ко Втогоьгу издАнию ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ ИО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Вольшуго работу по Оодго1овке етого издаюпл провела О. Д. Олейник. В частности, е1о Заново написаны Я 23, 28, 42, 43 и некоторые части других параграфов„ добавлены новые задачи. Я очень благоларен Ольге Арсеньевне Олейник за все вто. Я такгке блаооларен академику В. И. Смирнову, А.

Д. Мы1пкису, О. А. Ладывхенской и Л. А. Чудову за их ценные замечания. гт'. Пглгролсмай 2 августа !953 г. СЛАВА ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ й Е Оггрелелеггии. Примеры Е Уравнение с чзстнь«ин нроизволпыии ог неизвестных фу«питий и,, и„..., ил нвзывастсв урзвнениеи а-го «Ю. ривка, если оно солер кит хогв бы ол гу оронзволнуго а-го парилка и не солержиг нроизволлых оолее выс««ко«о ««оргглка. Порялкои систены уравнений час~вюг««пр«лыволпыии вазы. ваегся наиболь«ггнй из «горвлков вхоли«цих в нее уравнений. Уравнение с чзсгныии пронзволныви наз««взегся линвйнылг, если оно линейно относительно всс» неизвестных функций и их произволных Уравнение с частныии ги«оизволныни вазы.

вается квазилинтнызг, если ««««««линейно относительно всех старших произволных от неьгиес«ных функций. Твк, нвг«риг«ер, уравнение ди д«1! «и д'и ° + «+" ="б дх дх' ду ду' — квазилинсйное уравненке второго пор«пи«а относительно неизвестной функции и. Уравнение д'а д«и —, +агх, у) --,; =-йа — линейное уравнение второго парилка относительно неизвест- ной функции и. А урввненке ~д ) +( — ~ =и — не линейное и ие квазелинсй««ое относительно этой функции, Рва«екав.и уравне«гня с ыстныив ороизволны «к казы. евегсв всякая система функцой, кагоров, булучи нозгсгав«ге««а 8 ВВЬДВНИС. КЛАССИФИКАЦИИ УРАВНЕНИЙ (гл.

' в уравнение вместо неизвестных функций, обращает это уравнение в тождество по нсзависимыи переменным. Лналогичио определяется рещещге системы. В этом курсе мы будем заниматься главным образом ли. нейньщи уравнениями второго порядка с ол,ной неизвестной функцией. Такими уравнениями являются, например, следующие: дл д "и д'"и д«а 1) —.=- — -+ — --+ ---- — «уравнение теплопроводдх«дх' дх' 1 '« Э настил; д«и дца д«и д«и +; +, — «волновое ураанениел 1 « з н + + « б «уравнение Лапласов. Многие физические задачи приводят к уравнениям с частныии производными и, в частности, к только что указанным уравнениям. 2. Примср !. Уравнение теплонронодности.

Пусгь мы имеем тело с!, теьпсратура которого в точке (х„ х„ х,) в момент т' определяется функцией и(1, х„ х„ х,). Будем прещюлагать,,что функция и(1, х„х„х,) имеет непрерывные производные второго порядка по переменным х„х„х, н непрерывную производную по Б Вывод уравнения, описывающего процесс распространения тепла, основан на следу1ощсм законе.

Пусть поверхность Ь расположена внутри тела 6; на поверхности Ь* определен непрерывно меняющийся векгор нормали и. Коли ~ество тепла а, проходящее через поверхность Ь' в сторону норнзлн п за промежуток времени ог т, до 1„определяется следующей формулои: н д.= — )" (Ц~~ „„е-„'.-'««)««(~,ц да Здесь — — производная в точке (х„ х„ х,) поверхности Я но направлению нормали и; внутренний интеграл берегся по новепхностн Ь'.

5 1) опгадглащи, пгимвгы Положительная функция л (х„х„х,) называется козффициентои внутренней теплопроводности тела в точке (х„х,„х,). Фора>ула (1,1) равносильна тому, что через бесконечно малую площадку г>5 за бесконечно малый промежуток времени г!! протекает количество тепла, раввос г)ту= — й (х„х„х,) ~~'- >15 г(!. В таком виде обычно формулируется физи >еский закон теплопроводности. Если площадка 5 лежит на границе тела и окружаю>цсй среды, то справедлив следующий закон, Пусть и(1, х„х„х,), как и прежде, обозначает температуру тела 6 в точке (х„ х„ х,)„ а и,(1, х„ х„ х,) — температуру в произвольной точке (х„ х„ х,), лежащей вне тела. Тогда количес>во тепла, входшцего н тело через площадку 5 на границе тела за вреьи от 1, до !м определяется формулой >)=~ ( ~~й,(х„х„х,)(и, — и) гЮ ~ Л, (1',1) где внутренний ингеграл распространен по рассма>рпваемой поверхности 5; функции и, и и определи>отса на 5 предельным перекопом снаружи, соответственно изнутри, тела.