И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными, страница 4

И те и дру~ие становятся красвымн условиями, заданнымн на границе цилиндра 1(. 3 а м с ч а н и е 2. Когда мы рассматривали уравнснве теплопроводности или уравнение колебаний в изотрошюй среде, в зти уравнения входили выражения дга д'и дггг дг г дг (20, 1) дк,' дх,' дх; ' дх, 'дх1' Так бывает всегда в линейггых уравнеюшх второго порядка, написанных для однородной изотропной среды двух илн трех измерений, гютому что выражения (20,1), называемые опсраторамп Лапласа, примененными к функг~ии и, нлн просто лаггласианагги, суть единственные, с точгюсюю до постоянного множителя, линейные комбинации вторых частных произвогагых от и, которые остаются инвариантнымн при любом ортогшалыгом преобразовании, т. е. нри повороте ортогональных координатных осей в двумернои или в трехмерном пространстве.

2 2. Задача Коши, Теорема Ковалевской 1, Постановка задачи Коши. Пусть лег~а следуюпшя система уравнений с частными проязвогшыми относич елшго неизвестных функций и„и„..., и по независимым псремшнгым 1, Х„х„..., х„: М '' дсгг,д й, д ь»' г (1,2! ~-ь,+... +й„=й ~и; Ф»(ит; у,у=1,2, ...,Ф). $2) зАдАКА коши. ТвоекмА ковхлввской 23 Как видно из написанных уравнений, здесь для каждой из неизвестных функций аг существует свой наивысший по- рядок и,. производных от этой функции, входшцих в рассмат- ринземую систему. Независимое переменное 1 играет особую роль среди прочих независимых переменных, так как, во-первых, среди производных наивысшего порядка л, от каьклой функции ис, вхоляших в данную систему, должна солержаться пронздии; водная ', и, во-вторых, система разрешена относительно дг"' этих нроизволных.

Обычно в физических задачах роль ( играет время, а х„ х,....,х„ — пространственные коорлинаты. Число уравнеш~й равно числу неизвестных функции. При некотором значении с =-г', задюотсв значения (кна- чальные значенияа) неизвестных функций и, и их производ- ных по 1 до норялка лг — 1. Пусть нрн 1= 1, —,А' = ~4 '(х„х„..., х„) (й = О, 1, 2,..., ц — 1). (2,2) до; (со Все функции ег (х„х„..., х„) заданы в сшнои н той хге рй области сг, пространства (х„ х„ ..., х,).

Производной нулевого порвлка от фушпшп и, мы с ~итасм саму фуасцню ил Задача Когаи состоит е л.оли чтооы нанти реьяенле аисте.и ы (1,2), удоолет вор гаогкее гсри 1 = 1, начальным услоеилш (2,2). Решение ишется в некоторой области О пространства (1, х„., х„), прнлегаюнгсй к области бе на гннерплоскости 1=1„где заланы условна (2,2). Частным случаем залечи Копи являегся задача об определении колебаннй неограниченной однородной сшнбоаны но начальным условиям, упомяну таз в нрсдыдугцся парю рафе; определить решение уравнения д'а д'а д'а дх' дх~ ь если при с'=г, заланы и(с„х„хе) = у™ (х„х,„) (неча чьное отклонение), и1((т, х„х,) =~"'(хн х,) (на ильям скороьгьр аз!дениз.

кльссивнкзння узлзнзпий ) гл. асан гч'= 1, л, = 1, л =- О, сформулированная прсгкде "з аз ю Ко!и! сй!р!!огас ! ся з следу!ошу!о ззлзчу: найти такое рсгпыюе и су) обык!гозс!юого дифференциального уравнения -"----з )г, и), гг. ры а(1„)=.:-и,..=)тз ззлзча годробно нзу кается в тсорви с!г!ь!ггнозснпых л нфф еренннал ьных уравнс!гвй. 2. Фунггнпя г*."1з, хз,...,з„) от т ггозн!лекс! ых нсременсь!х нззыьзс;ся аналитичссзт! в окрестности толки з з,', -г...,,х„,, сслн она рззлзгзсгся в с!сивиной рял Г-1;„сз,...,хм)=— ',.го..,з„, схолаза!йск псн твиста.го то мзль!х,:'-„—.","'1. Ле!-ко доказатгч о что при атом Ггз„з.., .з,) имеет н !о те лн е)г,...,зм про!кгвсдныс всех !!г!1!!!!нас!и и Т~ усть !у) ! йг,„х„..., х„) — начальные данные ззд! !и „гт Колю лля о!стены 11,2) (схз формулу !2,2)).

Взедех! сокрзпзенныс о!з! значения дт! прон!водных згпх !)!ункинй в некоторой зз.- Ф,.„и Гз !. ! !!=1,2,...,Ю, !з, +й, +...+и,,= — !с== лг). Имсс! ксс о сг!еду!Г!гпн! фу!нгзмснтзлг,нзя ! с! р нз 1)г!саг!сг!ской. К!сии ие фунниии Р'! зна- ,О лго;!;ны в нсзо!о1:г и окнсстностн зо !кп )гс, х„...,х,.„... , сгн , р „;,;,, .. ) и асс !у!ум!слил су,. и!идити*сны в оирссгл- О 6 ность того!и 1х;, х,,..., х,,), лго зсгдсли! гсвг!!и из!вел! анг!лига!тес!.гсг!с гл*тсние в нсноторои о!греги!ности кожи 2) ЗАЛАЧА КОИ!И.

ТХОРРИА КОВЛЛВВСКОЙ 25 о о о о (г, х„х„..., х,) и лриглоом единственное в класса алалитичестсих фг!ниц~и. ° р произвольных лннейеох систем. Залача Конон лля таких систем легко сводится к залаче Копии ллн линейных систем первого порялка с поо!Опгыо приема, ко~орый мы, лля простоть! изложении, проилл!острируем на примере одного уравнения второго порядка д'о! доа — — ~' а,,(У, х„х„..., х„) — —,— + +~~'.ао ('х ..), + =! 'у д,(г„х„...,х„) — +п,(у, х„... х!) — + 1 + с(г, х„..., хо) и+У(о, х„..., х„), (З,2) где а! = а г, Ьс, с, у — аналитические функции своих аргумен- ТОВ В ОКРЕСТВОСТИ ТОЧКИ (!", Х, ...,Х,).

Залача Кощн лля зтого уравнения состоит в нахожленпи рещення, уловлстворяюще! о слелучощио! на !альпыи условиям: и (С", х„..., хо) ==!у, (х„..., хо), (4„2) где !й, и !(о, — аналитические функции в окресжиыти !очки о о (х„х„..., х„). Без сп.раничення общности можно считать, Ч10 таК КаК СЛУЧай ПРОГЫВОЛЬНЫХ с, Хн ... „Х„Сна!О!оСЯ КвтОМУ о о о заменой нсзавнсимь!х переменных„ которая пе меняет вил уравнения.

Кс!и функция и(г', тп ..., Х„) уловлсгворяет !р,овиенгио (3,2) и начальным условиям (4,'2), го о !еви.що, !!о функции 26 ввелвние. кл»ссиФиклция унлвнш!ий [Гл. ! уловлетворшот ураш!ениям и п ;,„— ! + ~ аы —,' + ~~' д!и! + д,и, + си + ~, !=ю ! — ! (5,2) ди» да„ вЂ” — (й=-1,2, ..., ), (5,2)' д! дх» дл д! ло (5,2)" и начальным условиям и (О, х„..., х„) —..— 1!, (х„..., х„), (6,2) (6,2)' и,(О,х„...,х„)=1!,(хо...,х„), и»(О, х„...,х„)= — ' дто (Х1 ° - ° х ! х» (6,2)" (А=-1, ...,и).

ди "~ — дт ди Полставляя —, вместо и, в правую часть (5,2)', получим: ду» д-"л др дн1 илн — ~и — — 1! =-О. д! д! дху, д! [ " дх») (!,2) Понтону величина дл и —— * дх» не зависит от 1 во всей области О, Докажем обратное утвержле!ше: если функции и, и„ и„,, и„уловлетворшот уравнениям (5,2), (5,2)', (5,2)" или, короче, (5,2) в некоторой области 0 пространства (~, х„ х„..., х„), прилегающей к области с!, пространства (х„ х„,х„), и начальным условиям (6,2), (6,2)', (6,2)" в области б„то во всей области 6 функпия и(1, х„х„..., х„) уловлетворяет уравнению (3,2) и начальным условиям (4,2). Действительно, иа соотношения (5,2)' следует, что ашоту в области б задача коши. ткогкмл ковалинской э 2) По условию (6,2)" при 1= — О в области 6 дп ил= —.

дха Поэтому из (7,2) следует, что при всех 1 в области 6 (8,2) а дх да дп Подставляя и, = — и и = — в (5,2), мы получаем, ~то о дт а дх уравнение (3,2) удовлетворяется всголу в 6. Игак, мы пок, вали, что система (5,2) эквивалентна уравнению (3,2), если при 1=-0 дл дхл ' При произвольных же начальных условиях системз (5,2) в некотором смысле богаче решениями, чем уравнение (3,2), ~ак как произвольные начальные условии дли решения а, и„, и„..., ич не обязательно должны быть связаны соотшнпсдп пнями и = —.

дха 3 ад а ч а 1. Покюкнте, что задачу Коши для любой системы (1,2) можно свести к задаче Коши для ш когорой системы перегд о порядка вида (1,2). *) Сгрого говоря, нз предыдущих рассуждений слелуст го,око, что дп пг, —— дхл не зависят от Г па каждом отрезке прямой, параллелыюй осп Ой да целиком лежщцем внутри 6. Следовательно, аа — — =.0 втой час~я дхл области 6, которая покрывается целиком лежащими внутри 0 и пересекающими 6 отрезками прямых, параллельных оси Л Ио щк как рассматриваемые функции аналитичны, то по известной гсорсме теории аналитических фушсций отсюда слелует обращение их в пуль во всей обаас~и 6.

Очевидно, задачу Коши для уравнения (3,2) можно свести к задаче Коши для системы (5,2) указанным способом, ке предполагая анадг~тнчности коэффициентов уравнения и начальных функций. осли область 6 выпукла но г, т. е. праман, параллельная оси г, пересекает границу 6 не более чем в двух точках.

введгш1Р. клхссяФикхпвя уРАВнений (гл. г 3 а д а ч а 2. Покажите, что залачу Коши лля нелинейной системы первшо порядка вила (1,2) можно дифференцированием уравнений системы, введением новых неизвестных функций и дополнительных уравнений свести к задаче Коши для квазилинсйной сисгс и» уравнений первого порядка, т. е. для системы, лвнсйцой относительно всех производных. 4.

Таким образом, залача Кошп лля линейного уравнения второго порядка (3,2) свелась к задаче Коши лли линейной системы (5,2) первого порядка. Совершенно так же можно любую систему вада (1,2) свести к системе уравнений первого порядка, разрешенной относительно производных по .* ог вссх неизвестных функций. Позтому мы докажем теорему Ковалевской для произвольной линейной системы, которую можно записать в ниле (1,2), если мы докажем ее для произвольной линейной системы первого порядка вида Р/ » Л' — — ио --„-+ ~~',Ьииу+сг (9,2) г=~ л=-~ г=-~ (ю': — -- 1, 2, ..., И) с аналитическими козффициентами прк произвольных аналитических начальных условиях иг(0, х„ ...,х„) = дарг(х„ х„ ..., х„) (10,2) (8=-1,2,..., М).

Случай л1обых аналитических функций лг легко сводится к ел у чаю, когда все м, (х„..., х„): — О, Для етого вместо прежних неизвестных функций иг (г, х„..., х„) мы авелем новые неизвестные функции и, (т„ х„ ..., х,)= иг(1, х„ ...,х„) — уг(х„ ...,х„). (1 1,2) функции ог будут удовлетворять системе уравнений: оь, 'с ч ' ед""т ти х ~ и О:.А+к 'у/+ аг; — -+ б,о + +~сг+ ~~' ) а(~л — ~+ т бг м ~, (12,2) = ь=-, э 21 залаял коши. теОРКИА кавллевскоЙ вполне аналогичная системс (9,2), и начзльюам условиям о,(0, х„хы ...,х„)=0. (13,2) Доказав существование реп~ения задачи Коши лля системы (12,2) с пулевыми нзчалью,нш условиями, мы докажем тем самым и разрешимость исходной зада ш.