И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными, страница 5

Для сокращения записи мы будем с штать, чта уже исходные функции и,. (К х„..., х„) удовлетворя~от начальным условиям иг (О, х„..., х,) == О. 5. Дачсаягем сначала единственность решения зада ш Каши для системы (9,2) при начальных условиях (14,2) в классе апалнти шских функций вбитая точки О с координатами ) = — О, х,=0,...,х„==О, г. с.

докажем, что нн в какой окрестности этой точки нс сугцес.гвуст двух различных апалитических рсц1сю~й сисгемгя (9,2), удовлетворяющих пря т = О одним и тем же начальным условгшм (14,2). Аналитические в окрестности начала коардюгат фунююи и, (1, х„..., х„) вблизи начала разлагаются в степенные ря.гы по У, х„..., х,. л ц л„ Коэффициент и,.„л, а„при г 'х,'... х„" в разложении функция иг(1, х„...,х„) равен л1л,~ ... л 1( Оге,о„ц 0 л„ Мы докажем единственносгь решения залечи Ковш, если покажем, чга начальные условна (14,2) апрелелягот единственным образом коэффициенты разложения функций и, удовлетвораощих системе (9,2), а степенные ряды по 1, х„...,х„ или, что все равно, если мы покажем, что эти условия единственным образом опрелелюот значения всех производных от иг в точке О с координзтах.и 1= — х, = — ...

= — х„ †-- О. Будем определять эти производные последовательно, Начальные условия определяют единственным образом значения в точке О всех производных вила (15,2) Все эти пранзводныс равны нулкз, так как тожлсствз (14,2) можно дифференцировать па х„хм..., хгн Допустим, что зо введение. кллссифнклция хвавнений (гл.

г рещющс зала ~и 1(ощн существует. Полстзвнм вместо и в ураву ненни (9,2);рунюгпгк составляюнгие это рспгспнс. Проднффсрщнггрусм все полученные тождествз й, раз по х.„и, рез но л,, и„рзз по х„. То~да в левых частях получатся произнодныс вила дл». ~ дтгзха' ... дх', ' (16,2) з в правых — производные по хп к„..., хн от щ:известных ф)нкцнй н коэффициентов уравнения, т. е. если ~игпьц одиозна що определенные в точке 0 уравнениями и начальными условиями.

Полученные тожлества определяют в точке О значсюж производных вила (16,2) (одно дифференцирование по У). Пролифференцнрусм каждое из тождеств (9,2) один раз по 1, lг, рзз по к,,..., Й„раз по х„. Тогла в правых частях получатся выражения, составленные из производных от иг внлз (16,2) п (!5,2) и производных от коэффициентов а(,~, Ь, и с. В левых жс частях получатся произволныс вила д~+ 'и; (!7,2) (двз дифференцирования по г).

Так кзк мы уже доказали, что производные нилз (!6,2) и (!5,2) единственным образом опрслелжгжся в точке О уравнениями (9,2) и начальными усъжнямп (14,2), то отсюда слелуег, что единственным образом онрслелюглся и все произволные (17,2) в то ~ке О. Продолжая зтот процесс, мы нзйлсм, таким обрззом, что все г1ронзнолные от и, опрелелюогся в точке О сдинствегщым об(разом уравнениями (9,2) и начальными условиями (14,2).

Но значения всех производных аналнти гсской фуньцкн и б П„...,х„) в фиксированной точке О однозначно онрсл щног зпзчеппя коэффицяснтов степенного ряла по 6 х„...,х„, в который эта функция рвала~ветен в окрестности О, п по. точу вполне определяют значения самой агой фупкшщ в не ко~оров окрестности точки О. Таким образом, лвз зпзлнгичсскнх рсщения системы (9,2) с одними и теми жс напальными условнхмн (14,2) обнззтсльно совпадают в некоторой окрссггюсзн на гала координат. Тем самым показана единственность ч 2! ЗАДЛЧЛ КОШИ.

ТЕОРЕМА КОВЛЛЕВСКОЙ 31 решения зала|и Коши лля системы (9,2) в классе аналитпчсскпх функций. б. В п. 5 мы показали, ч|о вачальныс услогн1я вполне определгпот козффпшкппы разлшкенпя функций и, в с;епенш|е ряды по 1, х,, х„. Йля доказательства сунгсс~вованпя решения задачи Коши нам лостаточно показать, ч~о стенспные ряды с коэффициентами, определенными в п. Б, скола ген в некоторой окрестности точки О. Б самом псле, если этп ряды схолятся, то прслставляемые ими аналитические функции и,(1, х„ ...,х,) равны нулю в точке О вместе со всеми нк частными производными по х„ х„ ...,х„ (см.(15,2)). Слсаовагельно, они тожлественно по х„ х„ ...,х„ равны нулю прн 1.-..= 0 и потешу эти функции удовлетворяют начальныя условпяч ()4,2). Что эти функции уловгетворшот системс (9,2), слсдует из того, что по самому способу построеяия этих функций в точке О левые части уравнений (9,2), если в югх нолставить определенные тагспм образом ип вместе со всеми нх произволными по 1, хп ...,х„, совпадают со зна юпнями в этой точке правых частей этих уравнений и соответстн)тощих их производных.

Следовательно, левые частя уравнений тождественно равны пряным в некоторой окрестности начала координаы 1лля доказательства сходимости степенных рялов, полученных нами лля функций и,, воспользуемся ягторолт жаалорамт. 7. Мажорантой (или ма корнрующсй фупкпней) лая функции ~у(1, х„...,хл), аналитической н некоторой окрестности точки (1', х„..., х„), называется всякая фупкшш ф(1, х„..., х,), аналитическая в этой окрестности, у которой все коэффициенты разложенпя в степенной рял по 1 — -1", х, — х„ ...,х,— х,', положительны или равны нулю и не мсныне абсолютных вели шн соответствующих коэффициентов разложения фупкнии у(1, х„..., х„).

,е Перенесем нзчало коорлинат в точку (1', х„..., х„) я ностройм для функция м(1, х„ ...,х„), а»алитпчсс«ой в окрестности начала координат, мажорапту специального вплз, которой мы булем пользоваться в дальнейшем. Пусз ь Ф 2! зллача !(Оши. тьогамх ковлгщвской но (й + /г, + ... + Ф, )! ! ! " — .=. †.- 1; т. е. козффициеиты нашего ряда положительны и не меньпге соответствугощих козффициентов ряла (19,2). Таким обравом, функция (20,2) также являегся мажорантой лля (18,2). Точно так же лля функции ~р(г, х,„..., х,) булет мажорзитой функция ('+х,зг — Л) ~1--'- — —, (21,2) — )-х,-)- ...+-г« 1 а где а имеет прежнее значение, а 0 « 'и «1.

Если злесь разложить опять ( — + х, + „. + х„) по степеням (, х„., х«н то иолучгггся рял, у которого ко- ж)хрициензы положительны и больше сгготггетствующих коэф- фициентов разложения по сте.юням 1, х„..., х„, функции (20,2), тзк как козффиписнты первого из згих рядов полу- ча|отся из соответствующих козффициситов второго рялз ум/ ! 1з, погкею!ем нз ( --у1, тле О (и (1. , а 3 а м е ч з н и е 1.

Пусть имеется стспешюн рвл з Ф„, схоляшийсн ири )з,1 ==ьг, +е.., )л,„! =лд„,+е, гле е ~ 0 — некоторос число. 11усть гт!з — наибо1ьигсе зизчснгге мопуля функции р (гы ..., з ), когда ло ..., г, принимают действительные и комплексные значеюгя, уловлсгворвющие усзовияч Можно показать (см. В. РК Смир и он, Курс высшей мзгематики, том 111, ~асти 2, ч 83, Физмзтюю, 19о8), чго функция будет мзжорзн!ой лля функции е(гг, ..., а„), Огсюла Зппп«л«к ввглгягс.

клхссиж канна хглвныгвй (гл. слсдуст, ч го фупкиия М« 'Р где 3== пйп (гг„..., г(„), также булат мажорзнтой для вм), 8. Переходим таперь к доказательству сунгествования регнюпгя задачи Коне для системы (9,2) при начальных условиях (14,2); назонам ее «задача Ь, а систему (9,2) будем называть «системой Ь. !(опустим, гго мы как-то мюкорировали коэффициенты си«асмы и нзчальпыс данные Коюп. Получим новую систему н новую задачу Кон и (назовем нх соответствснко «система 11», «зада и (Ь).

Покзхгем, что аназитическос реьчснке «заг!ахи 1Ь булат мгокорантой для аналитического рсглсния «задачи Ь. Если раюснне «задачи 1» прсдставляется в окрсстности начала степснным рядом и, =,",л«',н л Г'х',в... х,","й (22,2) 3 1тс1Оснис «задачи 11» рядом (23,2) то нзм надо доказать нор«вен«за« мсжду коэффикнен~ачи в! (24,2) Для слу ~зя !«, = — О втп нсравепства нано«реп«твенно выгскают кз ;ого, что накальные данные «задача 11» мажорнру~от начальные лаюгыс «залачв Ь.

Для случая !г, > О ковфьчгг!ванты а„",Л лм соогвстсгвенпо А«'~...„, получаютв~ ся при помгюги слохгсння и умнов(синя из козффиниснтоз л!", согмевтсз асино Аг', нмек~ггнх мсньнпй пнлскс Гам и значений в точка 0 ковффннпснтов системы 1, соответственно 11, н их прои«валави.. Понт«му легко убсдигься, что осли лля л, <' Гг Спрзвсалю:и исравенсгва (24,2), то они справедливы и аля !г,= гг. Опа ~ит, оии всрны лля всех коэффиввснтов разложений (22,2) я (23,2). Следовательно, из разрсюнмости «ззаачи !!» (сходимости ряда (23,2) слслует рззрсюнмость «задачи !» (сходимость рида (22„2)), 11о «задача 11» «н.жег бызь построена с боль- 5 21 злил !л кои!и. Ти!ог1:.йи! копхтсяскг!!! 35 июи степ!и! ю произ!изл;,, тзк как иы м<и!гсм !НЗоизаольно В!4- бирать мз кора!ыы л!ы коэффпцпси!ои и начальных дащьых «задачи (а. ))!,цбсрсм «вада !у 1)э настолько простой, ггобы ее решение мткно было просто найти.

Ллп этого подберем числа Л ~0 и а л() так, чтобы функция М +з, ф.. ).х„ при С! < д <' 1 была изжораитоп для всех коэффгщиеитов системы, кроме свобод!!ых члсиоа. Лля э!их же последних выберем общую мзлгорщыу вида М, — х, )-...-1-х„ '=)го !южно сделать, так как мажораита такого впдз сущест- вует у каждого коэффициента и лля построен!ни об!цен па- !кора!мы надо числам Л1 и М, прада!ь наиболыисс, а числу а — наимсньщее из всех их значений, сог!гвезству!пи!их раз- личным коэффициентам. К!!бр!!и таким образом числа Л, М, н а, нащппсм мьпкориру!ощую систему в иидс ,ч п Л Д(,!,.

М ! ~ -! с()т — — — — -(~ ~,— 'т~.г~,—,—.ч~, !р«!! 1 —- а где число и, О «я с 1 вь!берси возже, а ха =. - — '. М, М ' 11с фщгсирв! пока из !альных !!анин!х, будем искать ре- п!ение системы в виде с!', (1, х„..., ха) - Ьа(г, х„..., х„) —..=(!', — -(-х, +... -(- х„~ —.—.~У(а), гдс г-.— — + х, +... --!-х!с Подставив предполагаемое рва ') Безмо киосгь иь!сор! М, неззгиспмо ст М изм очси!* позсзиз для азльиейьче!о (срзааые с заисчзинсм '! в конце !ыс!оящего иарзгрзфз).

36 (гл. пньлсппг. класси'и!яхиня углп1Н нни гненис в систему (25,2), получим, что функция (у(з) дгипкнз удовлетворит ь уравнспи!о — „— - = — А (д)~ драп - — +РШ+«и), (26,2) (ли . г ш сИ где Л(в) —.— — —. Это уравнение с раздслгнонгимися пере- 1 —— и меннымв моною записазь в ниле Н! тЛ Ы) гГ т«! — — = Б(в) г(в. .- - (г+ ! — — Ролл(г) гл Я Выберем теперь положительное висло а настолько малым чтобы и некоторой окрестности то ~ни г=-О было — — М~Л(з) л О.