И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными, страница 9

В 1йбсь -. П !псь иощроил новый ирююр системы вида (11!,4), ю торап о.жадает ! с!р!щ;!альиым рещснисч звлачи Коли с !!улсиьщк и !чал!,ньяи условк!ц!н ири х — — О, причем кг!аффкщ!с!г!ъ! си. ! .ги.! щюют непрерывные гаса!иыс произвогыыс л!обого поря!и,,! ! в н ей плоскости кь). Еднис ! вынес гь р! щ! ния задачи 1(оип! в классе аост ! ! очно гладких фупкю!П лок;юз !в лля г!шерболических уравнений и гнперболи !сонях с!!с!ем с произвольным числом нсзакискмь!х гкрсмениых (с! т!ккх системах речь булег ндгн позже), а таккге дли ии!р!!кыю !с.ыс з эс!люжических (см.

() 5) уравнений и систем; поскелпсму вопросу !к!сея!цека обпьчрпзя литер!а ту 1!а. 'г(ктсрес)!!оп!и1! п.ю ы ииос о ед!щствеппости реще!!кя задач ! Коли а облас!н нсщю.п!гц !ссккх, но иост!!тси!но гладких функций сиж!з!! с щщр,«оч о т!и!, единственным ли способом мо!юю просп!ккт!, лощзго во гладкое дейсзвителы!сс рощею!с (а„..., и 1 сис!емы (13,3) предыдущщо параграф !, задгкщ е в щ ж:горой дсйсгщ;телы!ой области пространства (х,„..., х„) щ одну сторону и па самой достаточно глады!й поверхности 5. и!юве нс пмскнцсй характеристическо!.о на пракления.

1(ейстинт!. !и!о, з,!ла!ис фуню!пй и, по олпу сторону поверх!ю, !и 5 н и,! саьюй атой !юкерхиости определи!ет зн !'!ения !в в!! Й по!сс(!хиос си 'амик фуикщ!и с; и их пронзвсдиых, ихоски!!их к услокия )йгии!, ! акгн! образом, гмюрОс о ирою!л*ь" и!и функций л! зс! поверх!юс!ь з сводится к нг!хождыипо рещсщы !кюбсценной зздз !и )х!зип! в области, лехсзщей г!и дру. ую с горину поверхности 5. Ка!с сказано вып!е, вопрос и ельщстве!щости етого решения ке выяснен д! сна пор гн'ли 'с ! ь!о.

То пю твк жс до спх пор остается нсрсаеиныч полн! с!ью во.н!ос ! том, мо!кпо лк разными способами продолжить досж!точно гладкое лейстщ тельное ре!ление (и„..., ц ) сне!емы (13,3), залвщюс к кекоторой дейстннтелык!й об !з!:ги п!юсзрзнгтва 1!! ..., х„), лсж!щей по одну сторону досзв- ! С:н. Л. Ц. З! ! ю к и с„ух1Н 3'З(1Р43), стр. З-ВЬ.

в ) Р1!Е, Ььй Л ац, ро!с!!. Ьс!. З !1ЙПЛ!, 53 — 57. 4) о ядгпгствюиоств гыиюпи задачи г.ггьпи 37 тггчно глзгоп1й поверхности 5 я пз самой этой повсрхгюсги, я в том случае, есги поверхность 5 ввлг|сгся характсрист;гческой дчя лаиюй системы и данного репгс~ нгг. „г(ггя всех ураггнелнй, которые мы оудем рассматривать, гзкое вродолжение всегда возможно о гспь лгпог ими спггсобагггг. Вопрос о нссюиствснностн продолжения рсчнеггггг~ системы (13,3) за характсрнспгку эквивазигтси вопросу о сугцссгивапии мизгпх рсисиий ггбггб.ггенггггй задачи Киви, есги условия Коги!, зздзииглс нгг характер!готике, тггыю я что они Во. обще допускают х:гя бы оаво тгиюс рсчосчис. Мы внделп, что для етого згадггюыс иа характеристике фуикии а, и ос провзводиыс должны, всгосбггге говоря, уловлсзвсюягь нскг~горьи ггоогнои~енгггггг.

сдтв условия заведомо выполпюотся, есл г су~гГсствуют фуи.цпн ио ..., и; удовлегяорякицис ггадвннгяьг ур,инсипи ~го одну какую-либо стс|рону харииерв:гипг. Если пнтересовагьсп толью юилитичсскии регпеиими, то вопрос о сдггпсг вен и'стн ггрггдолхгеиггя зз хзраггтерясзчгку, каь вообще за лгобую иовсрхносггь зз.иниого в (и Ы1)-мгриой области регленгггг всегда рииасгся в том сщкле, 'гго т,гкос прови лжение елиюгвсппо, так как из:игв ~сскагг функция и+ 1 независимых переменных вполне опрслеиюгся сгюимн зна ияиямп в кзк у~одно малой об.исти (а+ 1)-го вамерсн~ггь 3. В и. 3 3 3 мы ниле.и, что сслгг пгзггерхность 5, ва которой з.гдаются условия Коми, ни.ле нс имеет х,грактсрнсгп геского и игрзвлегогя, то зги условна Квин вместе г ур,гниениями спсземы (г,3) слинсгвеиным огф зом Оггредслгггот иа 5 .гнзчеии всех функций иг и всех ггт лрггювггдиых до гюрядка и,.

Если гке гговерхнггсгь 5 вбиин то гьн Л явгищся характеристической, то условия Коин, згыгюгнгче нз пей, аод" аг пускают разлн гине системы знвчепяй — ', которые мо. ут д(,"' удовлегворягь системе (7,3), сели они допускакгт хотя бы д'"Яг одну такуго систему иичси,й — — - (мы приили здесь, что д..'' уравнением поверхности 5 служит урамснггс с,=-б). Повтому мс|гут сугцсствовз гь таг ие фунютия когорьгс удовлстворюот )равно'иям (7,о) гк,о га в нсьг. горой к"л|сг г, игу гри гго ~ сгрогг н,гхолнтю,' кусок ха(ьгк г сГмгс гп гсгьгггГ гкюсрхиос г п, яввдеьюьп ььллссььььььгльдьья углвнвний причем производные — на втой поверхности имеют разрыв и"'л; а1„' и, первого рола. Прн подходе к 5 с разных сторон вти произяодпые прноляжюотся к разным значениям, которые удовлеьнорюот олновременно уравяеььььяьь 17,3) ььаь ювсрхностн 1'.счи бы ьюяерхность 5 не болг хараьстогнььсья: сскоьЬ, то прсд" лг взводные — ' не кегля бы иксы на яей разрывов первоьо дЕ"' о рода при непрсрьнпнстя козффпниентов уравнений (7,3) и ненрерыююь.ти всех др)ьгих проьюводных от функций и; вила д"ььь ьь1,',мььЕ"'...

д("' й, + 1г, +... + й„= — 1г -- пн ьг, ~ лн Аналогичььые утверждения справедливы и для нелинейных систем. П ример. Рассььогрььхь уравнение д'-ьь †, =- о, дх Ьт (11,4) для которого харюььернсьиками слу.кат линия х =-- сола!, у = сопв1. О ьевндно, уравненпо (11,4) удовлетворяет всякая функция нида Бее дальнейшее будет поспьшено главным образом урвонениям двух типов: нлн будет рассматряваьься ално ураьне- ЬШЕ аГЛОРОЗО ПОрядха С ОдьЮй НЕНЗВЕСтНОЯ фуЬьЬШИЕй ЮШ будет рассматриваться а стена льобого повадка с любык ччс- где у(у) — любая фуньььььья, ььььсьоььььья ясюлу производную.

1: частности, можно прельюлоя:ить, что функьшя и =/(у) ь якова, что ее вторая пргнгзволная непрерльяна есьоду, аа исключением одной точки, где она имеет разрыв первого рода. Ч огда мы получим решение уравпеншь 111,4), у котороьо вьорые частные производные имеют разрыв ььсрного рода на характеристиьье. й 5) НРИНРляниь к кхноничггкону виду в то ~хе бо лом неизвестных функций, Оо с частныии Оронзволныии только ло с)ауы независимым неременньзи. Такие уравненнз нонводвтсв к некотоооь у нростому «кановическоиуя Бнху. Это ноиВеление Овнсзно з слелуюОН1х трех 1 арРграфзх, й 5.

Йрдведеиие к каиовическоыу виду в точке и классификации уравнеиий второго иоридка с одной неизвестной сбуикциетй $. Рассмотрим лине!юсзе уравнение второго Нора.,ка +С(х„..., х„)««+АЙ(хо ..., х ) =-0 ((,5) , одной неизвестной функцией и Мы считаем здесь А, = — А,г ))се функции А,, тз«„С, «' действительны, о~и онрслелсны в некоторой области О нространства (х„ ...,х,). Сделаем замену незаВиси«1ых переыенных, НОло~кнн Е„=хаыхг (й==), 2, ...,и), (2,5) где а„г — некоторые постовнн"зс.

Мьд предполагаем, что нреобразование (2,5) нее«обое, г. е. Нто онрелелитель ( аз«( не Равен ИУлкз. "Рогла ИРеобРазование от х к Сь Р обе стоРоны одиозна и!О. Уравнение (),5) в Независимых гтреыенных 'с„..., '«„заницзетсв так: П П Х ~ Е А,.аьгаи ) — "" +,, — ба) (55) Мы выписали здесь только члены с произаолными второ~о норнлка от неизвестной функции и. Из равенства (3,5) видно, что козффициеиты при нроизволных второго порвана от и ь) Чтобы бып, увереявымн з законности вере«ода ог вронззолиых но незазиснмыи переменныи х, (т=-(, ..., л,, з врозззолвыи вс независимым переменным «,()= — (, ..., Н1 но обы ~нын нрзззлзм.

аостзжчно вредно«охооь, ~го Фузкен и кисет неврсрывз е ирен«- водные ло второго воралха зк)нычнтезьно. 66 ваада..ииа!. кллскды нклюгн кааананий (гл. при замене незлннсимых персмснньах заданной фора!улой (2,5), нзчсяиотся солар!пенне так аке, как измснюога! козффнциенгы квадратичной формы (4,5) Л, сг!.а;г прп замене ха на С„, даьасмой формулами х === ~„п .- (гт =.— 1 „, л). (5, 5) '.-! Козффаюиепты Лг! формулы (4,5) мь! считаем гюстоянньгян и пенными значепйпы козффююснтон Л! (х„...,х„) ураенеипя (1,о) Р какой-ниг)удь точке (ха, ..., хд) попас гн Сл 11 алгебре доказынается су!цестаоваюас ! ако! о действительного пеоссбого преобразовав!я (5,5), к!морос привозит всякую форму (4,5) с дсйстнитсльнымп кочффицнснгамн Л! к инду и где гл ==.и.

! Су!цестьует много нсособых дейстантслын,!х преобразований (5,5), приводя!цих форму (4,5) к аиду (6,5), но !испо членон с полоакительныаги и чнс,ао членов с отрицательными знаками а форме (6,5) опрс!юлил! ая цсклю игольно фора!ой (4,5) и не зависит ог ныбора нсособого прсобразоваюю (5,5]. (Зыгон инерции каадрати гиь!х форм "),) Определите:аь ! Л ь — )с,„ будет иметь только лействительнаае корни ),.

'1нсло членов а !6,5) с полон!итог!!.н!.лаан знакамн и число членов с отрю!агельныкк зпакамн равно числу пололпагслыгых н соответственно числу отрицательных корней ) етого определителя. 1'слн мы найдем некоторое преобразование (5,5), приводвцсс форму (4,5) к аиду (6,5), то преобразование (2,5) с катрю!сй, тренк!юннроаанной и обратной к (и,„), приведет л! См. А. 1'. К т рп в, Курс льмюсй алгебры Фа!!ма!гиа, !959 а! р х ьф,! а,ь йскю!и гю лилсююй ах!со!!с, ! ос!сан!- наг, Г!51, с!р. 1:, к 51 пгеезе'дГееиг к еехееоееее'егекокек зеегез В го'екее урзвневеее (1,о) к виду Ае, (хо ..., х,);-„- .,— +...

= О, (7,5) е', г= — г Л„(х„...,х„)=-)-1, если 7=2==. т, х),г(х,",...,х,',)=О, если гчг=у или если г=у) т. Мге вьцеисзли здесь только члены со стзрщнми производными от функции л. ()еел (7,5) уравеесещя (1 5) называется его какокаегескалг лпдот и глоещг (х„..., х„'). о е Такгем обрззом, зля кзжлой точки (х„...,х,) области О мгькио указать такое неособое преобразовзнве (2,5) неззниснмых переменных, которое прнволит урзвнепие (1,б) к кзеюиическому виду в этой точке. Для каждой точки (х,", ...,х„') имеется, вообще говоря, свое преобразование (2,5), приводящее уравнение (1,51 к каноническому вееду в этой точке; в других точках это преобразование можне не приводить урзвнение к кщеоническому виду 1)римеры покззывтот, что, коглз число неззвискмых переменных болщис двух, вообще говоря, нельзя укзззть не только линейного преобразования неззвисимых переменных с постоеенными коэффициентами, но и нщгзкого лругого неособого нреоберззовзния нсременньех, которое приводило бы лзниос линейное уравнение второго порядки к каноническому виду лзже в магг угодно лгалогу облаотигь Б слу щс ке двух ееезеевгеснмых переменньех такое нрсобоззовзнис существует гери вссьмз общих предположениях о козффнниенгзх урзщщння (1,5), кзк будет покзззпо в следующем пзрзе рзфс.

Клзссификзегии урзансееий вгорого порядка основана на возможности приведения урзвненеа (1,5) к кзнощечсскому нилу в точке. 2. Урзвпенис (1,5) называется зллилтггчгсгги.ег в то еке (х„...,хе), если в урзвисе~нег е7нй вмс Л„(х,,..., х„) =1,..., л) отлеечны от пуля и имеент олин знзк. Уравнение (1,5) ещзегвзется гилерболичггкилг в точке (хе хе) сслге в урзиеееееии (7 5) в" с Я ( е;. х ее 'ееег олин и тот еке знак, зз егсеелееечсе~еееее одного Л„, коеорое нмсст еерггтеевоееолохгееый знак, еереечеее лг=а. Васдсню..

кльссквакадпя хгавньаий (гл. Ур:аншш (1 б) нззыаг с|с» ультригииерболичесаплг в зо1ке (х,',..., х,",), если а уравнении (7,бз) имссгся больше з з одного ёолвкнгслььшо Л„(х„...,х,',) и больше одного от- рицательного А, (х",, ..., х,",) и т=.. и.