Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике

В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике, страница 39

DJVU-файл В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике, страница 39 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2660): Книга - 4 семестрВ.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, стра2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 39 - страница

о е 19.21. Доказать, что для всех и Е С'([О, 1]) справедливо неравен- 1 ство / (и' + 2хе) г(х+ ся(0) + оз(1) > — —. Имеет ли место знак 270 о равенства для какой-либо функции? 19 22. Доказать, что для всех функций е Е Сг[0, 1[, о(1) = 0 имеет 5 2(0) 1,2 место неравенство ~ се)х < — + — + — ~~ о' гзх. Найти функцию из 24 4 4х' е о этого класса, для которой достигается равенство.

19.23.ха* ~ Г )))Г +) ) +2 х* х * )х), О= хЕЙг)гЭ) ),9 = (О < хг < гг, О < хз < )г). 1Е.Г4. Н. 11 ) )')Га~ )'+Г)*Г.)Х[. хЕЙ) Ох)<1) 1)х)<1 = (х1 х2). 19.25. Найти )п1 ) [8гаг)с[2))х, где х = (хг,хз), хг = хЕН)Ох)<1) )х)<1 = [х[ сову, хз = [х[ вшго, с))) ) — 1 = ~о(я — )р)(2я — )))), 0 < г)о < 2)г.

19.26. Найти 1п( / [8гаг) о[~ Ых на множестве функций е )х)<1 ч Н'([х[ < 1), х = (хг,хз), х1 = [х[ сов))х, хз = [х[вгп))), удовлетворяющих условию с[),) 1 = рз, — )г < со < )г. 19.27. Может ли заданная на окружности [х[ = 1, хг — — сову, хз = в1п )р, функция ф(у) быть граничным значением какой-либо функции из Н'([х[ < 1), если: хх а) г()()р) =в)ко)о, -з. «о < гг; б) г))(у) = ) 2 "сов2~"з); х=е в) У)фР) = 2: 19.28.

Пусть г',) — квадрат (О < х, < 1, 0 < хз < Ц. Доказать, что для любой у Е Н'(г )) имеет место неравенство 238 Гл. К Краевые задачи дае уравнения эааииеничеснога виню /~' А/! Л'~, Я Я и установить, что постоянная в неравенстве точная. 19.29. Пусть се — куб (О< хе < 1, 0 <хо < 1, 0 <хз < Ц. Дока- зать, что для любой функции у е Й (()) справедливо неравенство 1!У1Й, < —, 11~ас(У1Й,.

19.30. Пусть с) — кольцо (1 < 1х! < 2). Найти ~ е 1 ~ ек $У) +4ен*~. ~ У Н1, *=(*,*в. ген'Оз> ( у~м..=о ~<!е!<з ф=з 19,31. Пусть ьг — квадрат (О < хг < 1, 0 < хз < Ц. Найти функцию, дающую минимум функционалу ы ~~и ~ ) ~4« * « * ]а-:-2~« * з„)м~ «ен' ~ з ~о о в классе функций и е Н (Я), и!«и«о = и1,,=о = и1«,= = О. 19.32. Пусть Се — круг (1х! < Ц, х = (хм хе). Доказать, что для любой функции и Е ЙЯ) справедливо неравенство 11.1!., < —,', 11в-«-11'. 19.33.

Доказать, что для всех функций и Е Сг(0 < хг < 1, 0 < < хз < 1), удовлетворяющих граничным условиям и1*,=о = и1*;о = О, и1„=з = хз, и!ее-з = хз, справедливо неравенство 11 //(О~ад ) дх~с(*~ > —. оо Имеет ли место равенство для какой-нибудь из этих функций? 19.34. Доказать, что для всех функций и Е С'(!х! < 1), х = = (хз, хз) имеет место неравенство 2 / хзхзи(х)дх < — + / (Огас(и)зах. 1е~<г ~«|<г 19.35. Доказать, что для всех функций и Е Сг(1х! < 1), х = = (хы хз, хз) имеет место неравенство / 1( ы )'+ ) ы -й. 3е3<з Имеет ли место равенство для какой-либо из описанных выше функ- ций? З 1У. Ворнавионнне метноды 19.36.

Показать, что для всех функций е Е С1(~х~ < 1), х1 = = )х! сову, хз = )х~ вша, удовлетворяющих условию э~~,~-1 — — 8!п1р, где х = (х1, хз), справедливо неравенство / (2~х~~э+ (Ога«с)~) «х > — и. 1*)<1 Имеет ли место равенство для какой-либо из описанных выше функ- ций? 19.37. Доказать, что для всех функций н Е С'(О < Х1 < 1, 0 < < хз < 1, 0 < хз < 1), х = (х1,хз,хз), удовлетворяющих граничным условиям М)~~=о = Х2хз) н)~2 — о = Х1хзг н)~1=8 = Х1хз~ и~„=1 — — хз + хз + хзхз, и(*,-1 — — х1+ хз + х1хз, н~;1 = х1 + хг + х1хг справедливо неравенство 111 Ц/ ~бга«и~' «Х1 «хз «хз > —.

ооо Имеет ли место равенство для какой-либо из описанных выше функций? 19.38. Показать, что для всех функций э б С1(~х~ < 1), х = (Х1,Х2,хз)~ х1 = ~х) соз~о 81пр, х2 = ф зшф зш9, хз = )х) с08д удовлетворяющих условию е(~,~ 1 = созд, спревелливо неравенство ( [2э+ (Огайо)~( «х > —. /о/<1 Имеет ли место равенство для какой-либо из описанных выше функ- ций? 19.39.

Пусть (~ — квадрат (О < х1 < 1, 0 < хз < 1). Доказать, что для любой функции о Е Й~Я), удовлетворяющей условию 81пзх1 зшяхзе(х) «х = О, справедливо неравенство !ИЙ, < —,, 1!а 1 1Й,. 19.40. Пусть Ц вЂ” куб (О < Х1 < 1, О < хз < 1, 0 < хз < Ц. Дока- зать, что для любой функции с Е Н'((~), удовлетворяющей условию 81пях1 8ших2 81пяхзю(х) «х = О, Ц справедливо неравенство !И~с~, < —, ~~Ига«СП„. 19.41. Пусть Я вЂ” куб (О < х1 < л, 0 < хз < к, 0 < хз < я). Среди функций и Е Н' Щ), принимающих граничные значения 240 Гл. 1г.

Краевые задачи длл уравнения эллипгпичеенвео глина и!*,=о =и!*э=о =и'!в;о =и!э,= =и!„=. =О, найти ту, которал дает минимум функционалу Е(и) = ~(8гаг(и) дх+ 0вшхг в!пхзи(хг,хз, Я)г(хг Ихз. о оо 19.42. Пусть ч) — шаровой слой (1 < !х~ < 2), х = (хг, хз,хз). Среди фушгций и Е Н Я), принимающих граничные значения и!!,! з — — О, найти ту, которвл дает минимум функционалу Е(и) = / [(8гаг)п) + 2и~ г!х + ~ из г!Я. г2 )э!=г Ответы к 2 19 19.20.

— 1+ — с)г ~х — -). 2г/е / 1з е+1 2 в 19.21. Да, для — — — (и+1). 6 9 19.22. — х + —. э х+! 2 19.23. — —. 8 19.24. — —. 64' 19.25. 144гг Я й з 1 19 26 16я~ й — з г 19.2г. а) Нет; 6) нет; в) да. 2(1 ! 4 2(1+ !и4) в!в х г с!г хэ 19.31. — в!пхг в!пхз — 2 19.33. Да. 19.35.

Да, для функции ! ! 12 — 1 4 19.36. Да, для гз!пгз+ —. 16 19.37. Да, для хгхз + хгхз + хзхз. гэ — 1 19.38. Да, для гсовВ+ —. 6 19.41. — з!пхг вшхзвй (с/2хз). чГ2с!г (~/2я) 19.42. — + — — —. !х!э 5 17 б 9!х! 18 Глава Ч1 СМЕШАННАЯ ЗАЛАЧА з 20.

Метод разделения переменных 1. Ъ'равнения гиперболического типа. Изложим кратко существо метена Фурье или метода разделения переменных, рассматривая задачу о колебаниях струны, закрепленной на концах. Эта задача сводится к решению уравнения дги г дги — =а— дгг дхг (1) при начальных условиях и!1=о = ио(х), — = и1(х) ди дг 1=8 (2) и граничных условиях и(л-е = О, и! — 1 = О. (3) Будем сначала искать частные решения уравнения (1), не равные тождественно нулю и удовлетворяющие условиям (3), в виде и(х, 8) = Х(х) Т(1). (4) Подставляя (4) в (1), приходим к уравнениям Та(8) + а ЛТ(1) = О, (5) Х" (х) + ЛХ(х) = О, (6) где Л = сопзг, причем для получения нетривиальных (не равных тождественно нулю) решений вида (4) необходимо найти нетривиальные решения, удовлетворяющие условиям Х(0) = О, Х(1) = О.

(7) Мы приходим к задаче Штурма-Лиувилля (6), (7) (см. с. 184). Собственными значениями этой задачи являются числа Лз = ( — ) (к=1,2,...) (и только они), этим собственным значениям соответствуют (нормированные) собственные функции Г2 . лйх Хз(х) = ~( — 81п —. При Л = Лг уравнение (5) имеет общее решение Га 'гГ1. Смешоииая задача Йяак . Ьгок Тк (1) = а» соз — + Ьк з1п —, г поэтому функция Ьгак .

»такт . Ьгх ик(х,1) = Хк(х)Тк(1) = (аксая — +Ькз!и — ) зш— 1) 1 удовлетворяет уравнению (1) и граничным условиям (3) при любых ак и Ь». Решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2), (3), ищем в виде ряда Ьгак . Ьгакт . »лх и(х,1) = ~~~ 1ак соз — + Ь» згп — ) з1п —. (8) ! Кка Если этот ряд сходится равномерно и его можно дважды почленно дифференцировать, то сумма ряда будет удовлетворять уравнению (1) и граничным условиям (3).

Определяя постоянные а» и Ь» так, чтобы сумма ряда (8) удовле- творяла и начальным условиям (2), приходим к равенствам Ьгх ио(х) = ~~г а» зш —, к=г ш(х) = С вЂ” Ь»з1п —; йха . »ях 1 () »=1 формулы (9), (10) дают разложение функций ио(х) и иг(х) в ряд Фурье по синусам в интервале (0,1). Коэффициенты этих разложений вычисляются по известным формулам 2 г . Ьгх ак = — ) ио(х) з1п — г1х, -1) о (9) В задачах 20.1, 20.2 нужно найти с помощью метода Фурье колебания струны, предполагал, что внешние силы отсутствуют. 20.1. Решить задачу о колебании струны 0 < х < 1 с закрепленными концами, если начальные скорости точек струны равны нулю, а начальное отклонение ио имеет форму: 1) синусоиды ио(х) = Аз!и — (и целое); ! 2) параболы, осью симметрии которой служит прямая х = —, а Л вершиной — точка М ~-, Ь); 3) ломаной ОАВ, где 0(0, 0), А(С Ь), В(1, 0), 0 < с < 1.

Рассмотреть случай с = — . 2 20.2. Решить задачу о колебании струны 0 < х < 1 с закрепленными концами, если в начальном положении струна нахацится в покое (ио = 0), а начальная скорость иг задается формулой: 243 З" 30. Меепод рездееения переменных 1) иг(х) = ие = сопз$, х б [0,1[; (ио если х б [а,Р], 2) иг(х) = ~ ' ' где 0 < а < Р < 1; О, если х б [а,13), к(х — хо) Асов, если х б [хо — а, хо + а[, 3) из(х) = 2а 10, если х 6 [хо — а,хо+а), где 0 < хо — а < хо+а <1.

Уравнение (1) описывает свободные продольные колебания стерж- ня. В задачах 20.3, 20.4 требуется найти продольные колебания стержня, применяя метод разделения переменных. 20.3. Решить задачу о продольных колебаниях однородного стержня при произвольных начальных данных в каждом из сле- дующих случаев: 1) сдин конец стержня (х = 0) жестко закреплен, а другой конец (х = 1) свободен; 2) оба конца стержня свободны; 3) один конец стержня (х = 1) закреплен упруго, а другой конец (х = 0) свободен. 20.4.

Найти продольные колебания стержня, если один его конец (х = 0) жестко закреплен, а к другому концу (х = 1) приложена сила Р (в момент времени 1 = 0 сила перестает действовать). 20.5, Найти силу тока 1(х, 1) в проводе длины 1, по которому течет переменный ток, если утечка тока отсутствует и омическим сопро- тивлением можно пренебречь. Предполагается, что начальный ток в проводе (при 1 = 0) равен нулю, а начальное напряжение задается ях формулой и[е-о = Ед з1п —.

Левый конец провода (х = 0) изолирован, 21 а правый конец (х = 1) заземлен. Задача о нахождении вынужденных колебаний однородной струны 0 < х < 1, жестко закрепленной на концах, под действием внешней силы с плотностью р приводится к решению уравнения о"'и з д~и —, = а' —, + я(х, 1) (11) (у = р/р, где р — линейная плотность струны) при граничных условиях (3) и начальных условиях (2).

Решение задачи (11), (2), (3) шпут в виде суммы и = и+ее, где и — решение неоднородного уравнения (11), удовлетворяющее граничным условиям (3) и нулевым начальным условия и[и=в = О, Гл. И. Слвогаввох зодочо (13) ! дй(г) = — 1 д(С,Б) 81п — г1С (Й = 1,2, ...). о Решая уравнения (15) при нулевых начальных условиях ТЙ(0) = О, Тг,(0) = 0 (Й = 1,2,...), (16) находим ТБЯ, а затем определяем о с помощью формулы (12).

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее