Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике

В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике, страница 38

DJVU-файл В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике, страница 38 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2660): Книга - 4 семестрВ.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, стра2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 38 - страница

диз )х — и) =и айВ Имеем «(х) = ., для внутренней задачи и «(х) 4я(йВ+ 3) язв йя ае '" для внешней. 4зг (сов й — йд вшйВ) 232 Гл. К Краевые задачи длл уравнемиа зллнпшичеепоео глипа 18.51. У к а з а н и е. Решение искать в виде потенциала простого слоя. оВ вшЙ!х! ! < аВ е' ~ ~ (в! (ЙВ сов Й — вшЙВ) ' ' )х! (юЙ — 1) ' 18.52. См. указания к задаче 18.37 и результаты задачи 18.28, 2). ц зо (вш!х! ! !1 2) я цг о!4) вш)х! !х! ( вш1 /' !*! 18.53. См.

указания к задаче 18.50. аВ вЬЙ!х! аВ е ММ вЂ” —, (х(<В; —, !х(>В. В зз Й!х! сЬ Й)х! — вЬ Й!х! а( — ) совд, !х > В. !х!/ ЙВ+1 сЬЙВ-.ЬЙВ 'о' ' оВз вЬЙ)х! оВз ежов-Н) 18.55. — ! „„, !х! < В; — —, !х! > В. 18 56. 1) (е (1 — — ); 2) 1 — 2е вЬ!х! З г вЬ)х! /х/вЬ 1 ~Р !х! ' 18.57. и(х,у) = ио —. ле(Йг) уо(ЙВ) Указание. о есть решение задачи Ьи — Йзи = О, г < В, 3 19.

Вариационные методы (П) Пусть в ограниченной области 4,) С В" задано уравнение Пуассона — Ьо=у, (1) а на гладкой границе à — одно из граничных условий о(г =у (1) Оп !г (.-'"-~™)! = (П1) где о Е С(Г). Функция и е Н" (с)) называется обобщенным решением задами (1) при граничном условии (1), если ее след на Г равен у и она удовлетворяет при всех о е Н Я) интегральному тождеству ~(3гв41 и ° 8габ о) 4(х = ~ )и бх. (2) е Я Считаем, что функция д является следом на Г некоторой функции из Н~Я), а у Е .ОзЯ).

Функция и е Н" Я) называется обобщенным 333 .4 1У. Варианионные методы решением краевой задачи (1) при граничном условии (П1) (или условии (П)), где д б 1з(Г) и у б Ьз(9), если при всех э б Н Я) она удовлетворяет интегральному тождеству ~(йгади ° ягабэ)дх+ ~оиэдЯ = / уэдх+ / дэаЯ. (3) Я Г Ц г Если функции у,д, о достаточно гладкке (например, непрерывно дифференцируемые), то обобщенные решения являются классическими решениями соответствующих задач. Важную роль при ксследовании обобщенных решений краевых задач играет следующая Теорема Р исса. Пусть на гильбертовом пространстве Н задан линейный ограниченный функционал 1(и).

Существует единственный элемент Ь ч Н такой, что !(и) = (Ь,и) (здесь через (Ь,и) обозначается скалярное произведение в Н элементов Ь,и). 19.1. Пусть и(х) — классическое решение задачи (1), (1). Показать, что если и ч С'(Ц), то и(х) является обобщенным решением задачи (1), (1). 19.2. Пусть и(х) — классическое решение задачи (1), (П1) (или (П)). Показать, что если и б С'(Ч), то и(х) юныется обобщенным решением задачи (1), (П1) (или (П)). 19.3. Если и(х) — обобщенное решенке задачи (1), (1) к и е б С Я) П СД), то и(х) является классическим решением этой задачи. 19.4. Если и(х) — обобщенное решение задачи (1), (П1) (или (П)) и и е С~(Я) й С (ф, то и(х) является классическим решением этой задачи.

19.5. Доказать единственность обобщенного решенкя задачи (1), (1) при д = О. 19.6. Показать, что если функция д является следом на Г некоторой функции из Н'Щ (в частности, д Е С'(Г)), то обобщенное решение задачи (1), (1) существует. 19Л. Пусть в области Я задано эллиптическое уравнение Ци) = — 41э(рйгади) + д(х) и = у(х), (4) где р ч С~Я), пппр(х) = ра > О,д й С(ьв), у ч Хз®). Принадлежащая пространству Н'(ьд) функция и(х) называется обобщенным решением задачи (4), (1), если при всех э(х) е Й1(9) она удовлетворяет интегральному тождеству /(рйгадибгайэ+ диэ) Йх = / уэдх Я Я и след ее на Г равен д.

Доказать, что пркнадлежащее Н" Я) классическое решение задачи (4), (1) является обобщенным. 234 Гл. К Крааеые ааоачи оая уравнения оааиппвическоео шипа 19.8. Показать существование и единственность обобщенною решения задачи (4), (1) прк д > О. У к а з а н и е. Воспользоваться результатом задачи 4.106. 19.9. Пусть в области ц задано эллиптическое уравнение Ь(и) = — ~~~ — (рб(х) — ) + д(х) и = Дх), (5) чука где вещественные функции р; Е С ф), р;.(х) = ру;(х) (з,д = 1,..., п) и для всех х Е (~ и любых вещественных (~ы ...,~„) справедливо неравенство 2 рб(х) Яр > 7а)Я~ с постоянной уа > О, д Е Сф), ьуэм У Е Ьз ф). Принадлежащая пространству Н~(с)) функция и(х) называется обобщенным решением задачи (5), (1), еслк при всех и(х) Е Й~ ф) она удовлетворяет интегральному тождеству / ~Я р; (х) и,.

и,. + дни) Ых = / ~и дх а и ее след на Г равен д. Показать, что принадлежащее Н1 ф) классическое решение задачк (5), (1) является обобщенным. 19.10. Показать существование и единственность обобщенного решения задачи (5), (1), если д > О. У к а з а н и е. Воспользоваться результатом задачи 4,112. 19.11. Обобщенным решением задачи (4), (1П) (или (П)) называется принадлежащая Н'Я) функция и(х), удовлетворяющая при всех и(х) Е Е Н~Я) интегральному тождеству /(рйгабибгади+ дни) ах+ ~ромина = / уидх+ ~рдийз.

г г Показать, что принадлежащее С'ф) классическое решение задачи (4), (111) (или (П)) является обобщенным. 19.12. Показать существование и единственность обобщенного решения задачи (4), (1П) (или (П)) в предположенкн, что у Е Ьзф), д Е Ьз(Г), п(х) > 0 на Г, д(х) > 0 в 9, причем либо о(х) Х О, лкбо д(х) р.- 'О. У к а з а н и е. Воспользоваться результатом задачи 4.117. 19.13. Пусть Хр(Я) и Й1Я) — подпространства пространств Ьз(Ц) и НгЯ), состоящие из тек функций из Ьз®) и Н1Я) соответственно, для которых ~~ах = О. Показать, что при д(х) ря О, 0 д(х) = 0 у Е Ьз®) существует единственное обобщенное решение залачн (4), (П), принадлежащее Йз ф).

У к а з а н и е. Воспользоваться результатом задачи 4.121. 235 З 1д. Вариационнме метподм 11Л1Й... уейщ !!У!!ьссос Кроме того, при любом тп 1!У!1'Й... уейс(я! !!У!!с~со> Рдм) с,сю =Е =Лс и 1пс со~ = рс. 1!У11й уел~о! 11УП„о, >1 11У11й сщ и ш1 з Низ+с~ с 1) ">гл' уен Кб ПУ1!й со) Рйи)ь,сю=л 19.14. Рассмотрим при У ч Ьз(~ с) Фунющонал Е (е) = ~(йгас(е)за — 2 /Уес(х Пусть р Е СД), д б С(сс), сг Е С(Г), пйпр(х) = ре > О, п(х) > О, д(х) > О и или д(х) ф О, или сг(х) ф О. Тогда (см. задачи 4.105 и 4.113) в Н Я) и Н~(с',>) можно ввести скалярные произведения, эквивалентные обычным, следующими способами: (У, д), = /!р(х)(дгас! У игас(д) + д(х) Уд] с(х, (*) (У,д)н =~(р(х)(йтас)У ангес)д)+дУд!с(х+ /рсгУдс(Я.

(ее) г Функция и ч Н~ Щ), на которой функционал ( ) !! !!Йс (У~ )ь2 рассматриваемый для е б Н'(Я), достигает своего минимального значении, есть обобщенное решение задачи (4), (1) при д ги О, если норма порождаетск скалярным произведением (*). Функции и Е Не(Я), на которой функционал Е(е) = !!е!1~нс — 2(У, е)в„ рассматриваемый длк е б Н (сУ), достигает своего минимального значении, есть обобщенное решение задачи (4), (П1), при д(х) = О, если норма !!е!!нс порождаетск скалярным произведением (е*).

Обозначим через Лс,..., Л„, ... расположенные в поркдке неубываник собственные значения, а через иы ..., и,„, ... — соответствующие собственные функции задачи — с(Ь (р(х) расс и) + д(х) и = Ли, х ч 9, и!г = О. Аналогично через рс, ..., и,„, ... и эс, ..., е,„, ... обозначим собственные функции задачи — с)1ч(р(х)Огас)п)+д(х)и=дн, хе Ю, Я+ .и)! =О. 236 Гв. К Краевые заЗачи овя дравпеиия эввиптпичееиоео гаипа на множестве функций э б Н~(Я), для которых э~г = д, где функция д(х) является следом на Г некоторой функции из Н'(Я). Показать, что функция и(х), на которой функционал Е(э) достигает минимального значения, есть обобщенное решение задачи (1), (1).

19.15. Рассмотрим при ( е Ьг(св), р б СЯ), д б С(ге), тшр(х) = = ре > О, д(х) > О функционал Ез(э) = / р~йгаг(э~~дх + / д(х) эзе(х — 2 / )э г(х Я Я Я на множестве функций э б Н'Я), для которых э~г = д, где функция д(х) является следом на Г некоторои функции кз Н~Я). Показать, что функция и(х), на которой функционал достигает минимума, есть обобщенное решение задачи (4), (1). 19.16. Пустьрсц е, у = 1,...,п, д,У вЂ” функции,введенныевзадаче 19.9. Рассмотрим функционал Ез(э) = / ~ ~ рцэепэ,,1 Ых + / дэзеЬ вЂ” 2/ ~э гГх Я на множестве функций э б Н'Я), для которых э~г = д, где функция д(х) является следом на Г некоторой функции из Н~ (Ц). Показать, что функция и(х), на которой функционал Ез(э) достигает минимума, есть обобщенное решение задачи (5), (1).

19.17. Рассмотрим при у' б Ьз®), д(х) б Ьз(Г), ег е С(Г), о > О на Г, о (х) ф О, функционал Е1 (э) = / ~бгаг(э~~с~х+ / оэ~г(Я вЂ” 2 / ~э дх — 2/ дэйв, э б Н'Я). О г Я г Показать, что функция и(х), на которой функционал Е, (э) достигает минимума, есть обобщенное решение задачи (1), (П1. 1918. Пусть у и Хзф), д(х) б Ьз(Г), р Е СЩ д Е С(ег), о б С(Г), пппр(х) = ро > О, д(х) > О, о(х) > О и или д(х) ф О, или п(х) ф О. Рассмотрим на Н'(й) функционал Ез(э) = / р~бгадэ~здх+/ дэз(1х+ / ггрэздя — 2 /~э(1х — 2 / рдэ(1я Я Я г а г Показать, что функция и(х), на которой этот функционал достигает минимального значения, есть обобщенное решение задачи (4), (П1) (или (П)).

Указание. См. задачу 4.117. 19.19. Рассмотрим при у б Ьз(ег), / у ах = О, рб СЯ), лип р(х) = = ре > О функционал 0 Е1 (э) = / р~бгай э~~Йх — 2/ уев Я Я з )Я. Ваэианионные негноды на подпространстве йг(4)) (определения множеств Хз((~) и Й'(с)) см. в задаче 19.13; см. также задачи 4.118 — 4.120) пространства Нгф). Показать, что функция и е Й'Я), на которой этот функционал достигает минимума, есть обобщенное решение задачи (4), (П). 19.20. Найти функцию ее, реализующую минимум функционала 1 1 ( [о) +нз)ггх+2/ идх в классе Йг(0,1).

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5119
Авторов
на СтудИзбе
445
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее