Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике

В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике, страница 28

DJVU-файл В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике, страница 28 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2660): Книга - 4 семестрВ.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, стра2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 28 - страница

Доказать, что при всех 1 > О, х е Я" Гж 1К Задача Коши ~2 )и(г,х)) < М(1+ 4а Й) ч ехр 1+ 4аздз 13.24. Пусть и(х,1) — решение задачи Коши из = а Ьи, и)з=о = ио(х), где ио(х) — финитная непрерывная функция. Доказать, что для лю- 1 бых Т > О, 4 < —, существует М > 0 такое, что )и(х,1)) < Ме ~*~, х б Л", 0 <1 < Т. 13.25. Пусть ио Е С(Я") и )ио(х)) < Мзед*~, где 4 > О. Доказать, что при 0 <1< —,, х б Я, функция ь,о= ' .1'"(о ч(-яьф'-*)а оо) В" принадлежит классу С и является решением задачи Коши 1 из = азии, 0 <1 < —,, ' иЬ=о = ио(х). 13.26. Доказать, что если условие задачи 13.25 вьпюлняется для всех Б > О, то функция (10) принадлежит классу С" при 4 > О, х Е В" и является решением классической задачи Коши из = а Ьи, 1 > 0; иЬ=о = ио(х). 13,27. Методом обобщенных функций решить задачу из = ази„, 1 > О, х > 0; иЬ=о = ио(х)~ и),-о = О, где ио(х) Е С(х > 0).

Ответы к 3 13 135 ц 1+ез+ — гз 2) гз+е ззшх; 2. 3) (1+8)е 'созх; 4) сЬгзшх; 2 5) 1 — созФ+ (1+41) ~~зехр 1+411' 6) (1 + 1) ~1~ ех 1+1 7) х(1+41) зУзехр1- * 1; ( 1+41) ' 8) (1+1) '~зз1п — * ехрЕ— 1+1 ( 4(1+С)1' 13.6. 1) е' — 1+е з'созх зшу; 2) 1+ — зшхз1пу(2зшг — созг+е з'); б И. Задача Коган дав уровненив тепмопроводности 167 3) в1пв+ ехр ~ — г: (1+4$)г ~~ 1+48 )' 4) -+ 1 р ! ( х у ) ехр 1 ху / й(х +уг) ( г/1 + Р 1 + гг ( 2(1 + Вг) ) 13.7. 1) — созх(е г' — 1+ 2в) + сову созве 4г; 1 2) е' — 1+ зш (х — у — л) е в', 1 . сов 2у г хг \ 3) — вш 2в+ — ехр ~ — $ — — г; Д+ 1 1+ ) )г 1 4) — соз(х — у+ з)(1 — е з') + ехр — ); й1+ 121 ( 1+ 12г )' ашв ху ! 1(хг + уг) 5) соз — ехр !-т— Л+4Р 1+4гг ( 1+4гг н ( ) г 13.8.

1) е "'соз ~,' хв; 2) (1+41) н~гехр~ — ~~ ); 3) (1+41) <н+г~1гехр! — ( ) (2 хв 1+ 4г 'ча=г " '--( — '-(.:,-Й 13.9. 1) д'(х,1); 2) б'(х — хо, Ф вЂ” Фо); ) ~г 4) ( —,, — — ") б'(х,в)+б(х,в); 4аг(г — го)г 6) —,*,', (п+2- ~*~, )б(х,1)+~~(х'); с г-гг 7) ( б'(х, т) дт; 8) / б'(х-хо,т)дт; о о 9) ~ — — ~ б'(х — хо,й)+ б(х — хо,й); Г 1х — хо!г п1 4аггг 211 с 10) ~ьэ(т) Г(х,й — т) дт. о 13.14. 1) 6(1)ж — *; 2) В(Цф — "*; Га. 1У. Задача Когаа 168 Ф вЂ” — Ф вЂ”; 4) 9(С)е' 'Ф вЂ”; — ехр — — + (х + 1) Ф— — ехр — + хф— 3) В(С) 5) 9(С) 6) 9(С) 13.15.

1) 9(С вЂ” 1)(е~ — е); 2) 9(С вЂ” и) зшС; 3) 6(С вЂ” 1)(С вЂ” 1)х; 4) В(С вЂ” 2)(е' г — 1)е*; 5) 9хС Ф( — )и; 6) чсС (Ф( — ) — Ф( — )]ю . я о 13.16. У к а з а н и е. 11ля доказательства см, задачу 13.13, для нахолспения решения см. текст перед задачей 13.5. ц В(С)( +1), 2) В(С)( г+ гС+2агС+ гСг). 3) 6(С) [хз+ х~+ 6С(х+ 2хг) + Сг(12+ х)]; 4) 6(С)(хгСз + — Сг + е*+с) 5) 6(С)(- СССг + е сяЬ х); 6) 6(С)(2з/С+ (х+ 2агС) е*"' '); 7) 9(С)[С(пС вЂ” С+ (хз1пх+ 2Ссозх) е 8) 6(С)[хсоях+ 2зшх(е С вЂ” 1)]; о) 9(С) е*(ес 1) + С е-* С(4ю) + хф ~ 10) 6(С) (2-х)еч+(х+2С-2)е*+с+х, Ге ч СС46+(хг+2С)ф( х )). 13.17.

У к а з а н и е. См. указание в ответе к задаче 13.16. 1) 6(С) [хг — уг + ху(ег — 1)]; 2) 9(С) [(хг+уг)(С+1)+4агС+2агСг]. 3) 6(С)(хгу +2С(х+у) +4сг); 4) 6(С)(Се*сазу+е*""+г' '). 5) 9(С)хе" созе; 6) В(С)(хуС+ созуе ' '). 13,18. У к а з а н и е. См. указание в ответе к задаче 13.16. 1) 9(С)[хегсозз+е гхуе'(е' ' — 1)]; 2) 6(С) созз[ху(1 — е ') + (хг+ уз + 4С) е г]; 3) 9(С) [хуг з!и С+ х(уг + 2агС)(гг + багге)]; 4) 6(С)[х+ уз+ гз+2а'С(1+3г)+ (хг 2уг+гг)(е' — 1)]; 5) 6(С)[з1п3х соз4уе4'(е з'+ я1пге')].

В/Э. Задача Коши для уравнениатспвопроводности 169 13.19. У к а з а н и е. См. указание в ответе к задаче 13. 16. 1) ВЯ'((1+ й)!х)2+ па21(2+ 1)~; е' п е) )(~)(к (о-:-~)ааз ч(е-~у)*.)); в=1 и е' — 1+екр па21+ ~„хв 2=1 2па21+ 2 хв ехр па21+ Я хв соз 2а~п$+ 2 хв екр 2 хз 3) 9(й) 4) 9(1) 5) 9(й) 13.20. 1) 2ее — 1; 3) е" — е'+е "созх 2) атее + сок х; 4) е'+ -еззшх; 2 2 1+ 4а22 6) /' и)($ — т) е"е(т+ — / ио(4) екр ~сс — ~ ((В.

Г (* — 6+ 52)21 2а1/н2 4а21 о — ОО 13.21. 1) — 9(8 — 1)(е" ' — 1) + 9(1) есеф~ — ~'; с ) «-и — )+() ("*"); ~, а1/21 / 4) 9(2 1)(2 1) ее+ 9(2) ев-) е(1+2+ )ф *+ ач/Б 5) 9(1 — 1)(1 — 1) е* + + 9(2) е 2' 2 — екр — + (х — 22) Ф ™ е 6) е(Й)[(*~а) '+ "/Ф) ~)ю]. ,ватт/ 13 22. 1) 9(й)(2х — х + 2(е — х + (х + й)~) е ); 2) 9(Е) Ев+Е(а +Ь.)-с) ) 1 Ест Дт /~-т о 3) 9(й) ((1 + х + 71) е*+' — (1 + й) с* 1; 4) 9(2))х($+1)ев+ешзЬ(х — 21)~; 5) 9(1)(созх+зшез)пх)е'; 6) 9(й)(1 — х + (х + $ — 1) е + (х + й) з!п (х + й) + 21 сов (х + й)~. 170 Га 1К Задача Коши 13.2Т.

— 1,о)~ *р ( —," ) — *Р (-," )) ЫР. о 3 14. Задача Коши для других уравнений и задача Гурса 1. Задача Коши для уравнения Шредингера. Для уравне- ния Шредингера постановха классической задачи Коши »с — — з~1и+ У(х,1), иЬ=о = ио(х) (1) и обобщенной задачи Коши ис = Ыи + Р(х, 1) (2) аналогична соответствующим постановкам для уравнения теплопро- воцности (см. с. 159 и 161).

Фундаментальным решением уравнения Шредингера является функция е'(х,г) = „ехр ~ — — — ). о(Г) /а!х!~ яий (2~(Я)" (, 41 4 )' Для задачи Коши (1) справедливы результаты, аналогичные тем, которые сформулированы в задачах 13.1-13.4. Будем говорить, что функция и(х, 1) принадлежит классу,У, если она удовлетворяет оценке (и(х,1)! < с(1+(х!), х Е В", 1> О, при некоторых с и Л. 14.1. Доказать, что если ио(х) Е Я(В"), то функция и(х,Г) = 1 /е Ы '<*'У>/«о(С)е'аУ)йСйу (3) — .)- У является решением задачи Коши ию = зЬи, и(с=о = ио(х); (4) и(х,1) Е Соо (1 > 0); и(х, 1) Е 5~(В") при каждом фиксированном1 > 0; для любых а и )3 функции хдР и(х,1) равномерно ограничены по хЕВ",1>О.

14.2. Пусть и(х, 1) — решение задачи Коши (4). Доказать, что для любого Т > 0 функция»(х, 1) = и(х, Т вЂ” г) является решением задачи Коши », = — 1Ь», 0 < 1 < Т; «(ьт = ио(х). 14.3. Пусть и(х, 8) и»(х, г) — решения задач ив = 1и *, и!ю=о = ио(х); (5) »а = -1»яю 0 < Г < Т, 4с=т = »о(х), б Ц. Задаче Кочбн дня других уравнения и эадочг Гуров 171 причем и(х, Ф) В,У, а функция и(х, Ф) находится с помощью формул задач 14.1 и 14.2. Доказать, что / ио(х) и(х,О) дх = (б и(х, Т) ио(х)дх.

и' и' Указание. В равенстве Т б О и(х, б) оэб (х) (иб (х, б) — ъигэ(х, б) ) б(х й = О, о -б где функция ~рб(х) та же, что и в задаче 6.5, интегрированием по частям избавиться от производных функции и(х, Ф) и перейти к пределу при 5 — ~ оо. 14.4. Доказать единственность решения задачи Коши (5) в классе,У. У к а з а н и е. Воспользоваться результатом задачи 14.3. Решение задачи Коши (1) единственно в классе,У (для и = 1 см. задачу 14.4). В задачах 14.5 — 14.10 рассматриваются решения только из этого класса, причем существования ии не требуется.

14.5. Пусть ио(х) 6 С"+'(В"), )х!н+з)ио(х)) < М, )х!н+')Рнио(х)! < < М для всех а, )а) < и + 1. Доказать, что решение задачи Коши (4) существует и выражается формулой (3), которую можно записать в виде эъ ч.,г= ' . (-'— "')~.,(о (н ")и. 14.6. Пусть ио(х) 6 С (В'), а > 2, ио(х) = 0 при )х/ > 1 и )ио()(х)) < М, г < а. Доказать, что решение задачи Коши (5) принадлежит классу С (б>0) и Б — и(х,б)~ < СМ(1+/х/) +" н, т = 0,1,...,а — 2, д' длявсекхЕВ', $>0.

14.7. Пусть ио(х) 6 С'"(В~), )и~~"~(х)) < С(1 + )х!)», г < а, а > 2, Л < а — 5. И пусть и»(х, $) — решение задачи Коши иб = (иню и!б=г = иО(Х) Е(Х вЂ” й), где функция е(х) та же, что и в задаче 6.4. Доказать, что решение задачи Коши (5) существует, выражается формулой 172 Га. 1у'. Задача Коши и(х,С) = ~ иь(х,С) и !и(х, С)( < С1 (1+ /х!) з для всех х Е В', С > О. У к а з а н и е. Используя результат задачи 14.6, показать, что )~ < С1(2+!й!)" С1(1+ф)»" (2+(Йо" — (1+ ~х Ц) — 2 — (1+ Щ)»-2 14.8. Пусть ио(х) е С'(В') и / (хио(х)(дх < оо. Доказать, что н1 решение задачи Коши (5) существует и выражается формулой С»-41С(зуО (+ ) + ( )) + 1 -ус/4 / Р(д / су С С5 2 ~/я Я1 о 14.9.

Пусть ио(х) = е"~*~, где а — действительное число, х Е В". Доказать, что при о > О существует решение задачи Коши (4), а 1 при а < О решение существует только при О < С < — —. Найти это 4а решение, Результат этой задачи сравнить с результатом задачи 14.7 при п = 1 в случаях а = О, х1. 14.10. Решить задачи: 1) ис =Си +Схз; и!ь»о = х ' 2) ис = Си , О < С <— 1 4 3) ис = Сш»и + х соз С вЂ” уз зш С; и(ь»о = хз + уз; 4) ис =СС1и+бх+У +Сзз и(с-о = С(х +У +з ); 5) ис = СЬи; и(ь»о = е >'~, х е В".

14.11. Найти решение обобщенной задачи Коши (2) для следую- щих Р б У'(В"+'): 1) б(С) В(х); 3) В(С) В(х+ хо), и = 1; 4) В(С вЂ” Со) ° 6(х), и = 1, Со > О. 14.12. Найти решение обобщенной задачи Коши и, = Си„+1(х,С) +ио(х).В(С) при С > 0 для следующих у и ио (у = 0 при С < 0 и задается только для С > 0): 1) у = В(х) ио = В(х); 2) 1 = В(С вЂ” 1) ио = В(1 — !х(); 1 3) ~=В(С-я) зшС, по =х; 4) ~= —, ио =созх; 5) У = В(С вЂ” 1)(е' — е), ио = х зш х. Доказать, что функции и(х, С), найденные в задаче 14.12, 3), 4), 5), являются решением классической задачи Коши.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4990
Авторов
на СтудИзбе
468
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее