Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике

В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике, страница 27

DJVU-файл В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике, страница 27 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2660): Книга - 4 семестрВ.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, стра2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 27 - страница

Решение зависит только от !х/ и г; подстановкой из(е,в) = еи(е,в) свести задачу к задаче Коши для уравнения колебаний струны и воспользоваться формулой (12).); 14) д(а$ — !х)) 12.61. Указание. Воспользоваться формулой (10) и задачей 11.18. 1) Р е ш е н и е. из = 1'~ + 1'~ + Уз, где !о> !ц К~ = дв У = 4'в д(1) = ( (*!) ~акр( — (*, )) — акр( — (*~,(*!))1; Ъ;"' = д * [и1(х) . 6(1) — -'и,(х) . Ю(1)~ = (1 — -') 4'; 158 Гз.

1К Задача Коше сг 3) В(1) е'( — 1+х+$) — х — — + 2; 2 4) в(в) — '(В- 'г в,-з)в — '+' *""в в' )а — 1 2аг+ 1 2аз+ 1 аф 1, +.(.—.в),— "(. г -з)). Ь 12.62. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 11.21. ц В,") (в()вх-Р) — в в( 'вз:*х)~ ... з в(в-)*р; с-(х( ) "' '*" ) ()в.('О- )з е)В+ о -.'- г ) Св (гвв'-(*-О')вг х-с с с ( с-г сг) з) в(в) (г -юг - .в - /в.(з)в — Сх) а- в) '(' В ~ а~; о о 4) —,~Ю( +1)+В(х-1)+ в(с) Г в )) в(* - З) (в.

(гввх:С') — в '("' в )) В -с ! l 12.63. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 11.22. ц -', -'в(в — )*рв -'вр — ),))(г,(Ввз:,з)в,-'з( ' с-)х) г) -',в(в-)*)).-' ) () в.(вг(в-~~-Р)в,; о с з) вр)(зв г) в( С) - в (зввх:С')а) -с У(') = б'х (ио(х) б'(с)] = — х (б(х) . б(1)) = — = Ь б(ас — )х)) )' Ь(х-ас) ~ — 2. б' где 4'(х, 1) определяется формулой задачи 11.18; сг 2) д(1) (е' — 1) (х + 1 — 3) + 31 — х1 + — + 2 + В(х + 1) ес — В(х — 1) — д(1 — )х)) е(' х) ~з; Га.

1У. Задача Коши 160 ив ш а~Ли+ Дх, В), и)а=о = О. является решением задачи Коши 6 ив — — а~А«, 0 <1< —,; 4 =о = ио(х). Решения задач 13.5-13.8 можно нахсцить по формуле Пуассона, но иногда удобнее применить метод разделения переменных или восполь- зоваться результатами задач 13.1-13.4. 13.5. Решить задачи (и = 1): 1) Ш = 4«аа + в+ е', и«-о = 2; 2) ив = и„+ Звз, и!с=о = ьйп х; 3) ив =и„+е сснх, ип=о =созх; -в 4) ив =и„+е'вшх, «и=о = зшх; 5) ив=и**+вше, и!с=о=е *; 6) 4ив = и„, 1= = '**; 7) ив=и„, и!с=о = хе *; 8) 4ив = ишо и!с=о = зш хе * .

13.6. Решить задачи (и = 2): 1) ив = Ли+ е', и!1=о — сов х вш у; 2) ив = Ьи+вш$вшхвшу, «и=о =1; 3) ив = Ьи+совФ, «4=о = хуе * 4) 8ив = Ьи + 1, ««=о = е (~ ">; 5) 2«в = Ьи, и!г-о = сов ху. 13.7. Решить задачи (и = 3): 1) ив = 2Ь«+Всовх, 2) ив = ЗЬ«+е', 3) 4«1 — — Ьи+в1п2в, 4) ив = Ьи + сов (х — у+ в), 5) ив=Ли, и!с=о «и=о и!о=о ив=о и~с=о сову сов в; в1ц (х — у — «); о 4 вш2в+е * сов2у; е -(а+з- ) .

сов(ху) вша. 13.4. Пусть ио Е С (В"), а ряд,> — „, Ь~ио(х), 4 > О, и все раз=о ". ды, полученные из него почленным дифференцированием до второго порядка включительно, сходятся равномерно в каждой конечной области. Показать, что функпия а $ и(х,$) = ~~~ †, Ь ио(х) в=о 41о. Задача Коши длл уравнения теилоироводноееаи 161 13.8. Решить задачу Коши 14!=о = ио(х), х Е В" и! — — Ьи, для следующих ио. и 2) ио = е !и!'; 1) ио=соз л,хь; к=! 3) иода ~~ха)е ~в~; д=1 5) ио = ехР— 2 хд 4) ио = ьйп 2 хд)е ~*~; ь=! Если решение и(х, 1) классической задачи Коши (1), (2) и функцию Дх, 1) Е С продолжить нулем при $ < О, то и и(х, $) удовлетворяет в В"+! уравнению (в обобщенном смысле) и! — — а~Ли+ Дх, 1) + ио(х) б(Ф).

(4) Обобщенной задачей Коши для уравнения теплопроводности с источником Р(х, $) 6 У'(В"+'), Р = 0 при 1 < О, называется задача о нахождении обобщенной функции и б У, обращающейся в нуль при 1 < 0 и удовлетворяющей в В"+! уравнению теплопроводности и! = а Ли+ Р(х,1).

(5) Если существует свертка б'в Р, где б'(х,!) = „екр ~— б(!) ( !х!д ) (2а!/я!) ( 4адз) — фундаментальное решение оператора теплопроводности,то а Под род. В.С. Вдвдимировд есть решение обобщенной задачи Коши (5) . Это решение единственно в классе обобщенных функций и(х, 1), для которых существует свертка б'в и. Свертка 1е = б'и Р называется обобщенным о!силовым иошенииалом с нлоелносо!ью Р. В частности, если Р = ио(х) б($), где ио 6 У'(В"), то свертка Ъ'!~! = б(х,1) *ив(х) б(1) = б(х,с) * ио(х) (если она существует) называется обобщенным иоверхносн!ным елеиловым нотенииалом с ила!анас!лью ио.

Тепловой потенциал 1е удовлетворяет уравнению (5). Обозначим через М класс всех функций, локально интегрируемых в В"+', равных нулю при Ф < 0 и ограниченных в каждой полосе О<1<Т, х6Вн. б И. Задача Коши дав уравнения тепаопроводнооти 163 13.13. Показать: 1) если 1 Е Сз(1 > 0) и все ее производные до второго порядка включительно принадлежат классу М, то У = б'* 1 Е Сз(Ф > 0) П 0 С' (Ф > 0) удовлетворяет при 1 > 0 уравнению У, = азЬУ + Дх, г) и начальному условию У~ = 0; 2) если иа(х) — непрерывная и ограниченная функция, то УКО = 4 в ио = С (г > О) й С(г > 0) удовлетворяет уравнению У, = азЬУ® и начальному условию 60 !в=+а = иа(х)' 3) при выполнении условий 1), 2) функция и = У+У~о1, где У, У<а1 определяются формулами (6) и (7), есть решение классической задачи Коши (1), (2).

У к а з а н и е. Требуемые свойства непосредственно вытекают из формулы (8). 13.14. Найти решение обобщенной задачи Коши ив = и„+ ио(х) . б(1) для следующих ио.. 1) В(х); 2) 9(1 — х); 3) 9(1 — (х!); 4) 9(х)е *; 5) 9(х)(х+1); 6) 9(х — 1)х. Показать, что найденные функции и(х, г) при 1 > 0 принадлежат классу С и удовлетворяют уравнению ив — — итп а при 1 — + +О непрерывны во всех точках непрерывности функции ио(х) и в этих точках удовлетворяют начальному условию и~~-ве = ио(х) .

13.15. Найти решение обобщенной задачи Коши ив = и„+ 1(х, 1) для следующих 1: 1) 9(1 — 1)е', 2) 9(1 — и) соз1; 3) 9(1 — 1)х; 4) 9(Ф вЂ” 2)е', 5) 9(г)д(х); 6) 9(Ф) ° 9(1 — ф). Показать, что найденные функции и(х,1) принадлежат классу С(Л~), удовлетворяют начальному условию и~~-а — — О, а в точках непрерывности функции Дх, г) принадлежат классу С . 13.16. Решить обобщенную задачу Коши (8) для уравнения теплопроводности (х Е В ) с нижеследующими данными и проверить, что полученные решения являются решениеями классической задачи Коши (1), (2): 1) ушд(г)х, ио=х; 2),1 = 9(1) х, иа —— хз; 3) 1 = 9(1) 2х1, ие = ха+ха, а = 1; 4) у = 9(1)Зхзгз иа =е', а=1; Гя.

уу. Зодочо Коши 164 ио = !х!" и = ~,х»', »ьа в ио = ехр ~ ~: х» »»а в ч ио = Е х»ехр~ х х» »»и »=1 3) У = В(1) е, 4) У=О, сов 2 х» ехр ~ х» 5) г'=О, 5) ~ = 9(Ф) ~Л, ио = ойх; 6) У='— '; в(г) ,Л' ио = хе'1 7) у = 9(1) 1пг, ио — — хв1пх, а= 1; 8) у =9(1)хсозх, ио =хсовх, а=1; 9) у =9(1)е*, ио= В(х)х, а=1; 10) у =9(1)хе*, ио =9(х)хг, а=1. 13.17.

Решить обобщенную задачу Коши (8) для уравнения теп- лопроводности (х Е 1» ) с нижеследующими данными и проверить, что полученные решения являются решениями классической задачи Коши (1) (2): ц у — 9(1) хуе', ио 2) У=В(1)(*'+У') " =*,+У ' 3) У =9(1)4хУ, 4) У = В(1) е ов У 5) ~=0 ио =х сову; ) у 9(1) ху ™о — сову. 13.18. Решить обобщенную задачу Коши (8) для уравнения теп- лопроводности (х Е 1»~) с нижеследующими данными и проверить, что полученные решения являются решениями классической задачи Коши (1), (2): 1) у = 9(1)хуе*, ио =хезсозг; 2) у = 9(1) ху сов г, ио = (х + уг) соз з, а = 1; 3) у =9($)хугсовг, ио=хуггз; 4) У = 9(1)(хг — 2уг+гг)ес ио = х+уг+гз.

5) у = В(1) созгз!п3х сов4уез', ио = з!п3хсоз4уе4', а = 1. 13.19. Решить обобщенную задачу Коши (8) для уравнения теп- лопроводности (х Е В") с нижеследующими данными и проверить, что полученные решения являются решениями классической задачи Коши (1), (2): ц 1 = 9(1)(х(, 2) У = В(1) Е х» »»а 9 е8. Задача Коши доя ураонения шеноонрооодноетн 165 Уравнение ие — а и„— Ьи, — си = У(х, 1), где а,Ь, с — постоянные, 3 заменой э(у, $) = е "и(у — 61,1) сводится к уравнению теплопроводности. и1е=о 1, 6=0; с=2, 6 1, Ь=О; с~О; с=О; сф1; с=1; а=2, 6 ио = е; е.

13.20. Найти решение задачи ие — а и„— Ьио — си = У(х, е), = ио(х) со следующими данными: 1) У=1 из=1, с=1; 2) У=с', ио=созх, а=сея 3) У=е, иошссих, а=Я, =0; 4) Уш1з1пх, ио=1 а=с= 5) У=О, ио=е *; 6) У = ш(1) 6 С' (Ф > 0), ио Е С и ограничена. 13.21. Найти решение обобщенной задачи Коши ие — ази„— Ьи, — си = У(х,$) + ио(х) Ю(1) со следующими данными: 1) У ш 9(1 - 1),, = 9( ), 2) У=9(1 — 1),,=д(1 — х), 3) У=9(е — 1)е', но =9(1 — )х(), 4) У = 9(1 — 1)ее, ио =д(х)е*, 5) У = 9(1 — 1) е*, ио — — хд(х), =с= — 2; 6) У = 9(1) 9(х), ио = х. Исследовать гладкость полученных решений, как и в 13.14, 13.15. 13.22.

Решить обобщенную задачу Коши ие — а и„ вЂ” Ьи, — си = У(х, 1) + ио(х) 5(1) с нижеследующими данными и проверить, что полученные решения являются решениями классической задачи Коши ие — ази — Ьие — си = У(х, 8), иЬ о — — ио(х): 1) У = 9(г) хз, но=ха, а=Ь=с=1; 2) У= —, 3) У = 9(1) 1ее, ио = хе*, а=2, 6= — 1, с= — 2; 4) У=д(1)хе*, ио =хе'+з)ех, а=с=1, Ь= — 2; 5) У=9(г)е*созгз1пх, но =е'созх, а=1, Ь= — 2, с=2; 6) У = 9(1)х, ио = х зшх, а = 6 = с = 1. 13.23. Пусть и(х, г) — решение задачи Коши ие = а сЪи, и~е=о = ио(х), где ио Е С(Н") и (ио(х) / < Ме ~~*~, Б > О.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5142
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее