Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике

В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике, страница 20

DJVU-файл В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике, страница 20 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2660): Книга - 4 семестрВ.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, стра2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 20 - страница

Ц / /(у) 8„; ~е-о|=и 2) Р е ш е н и е. В силу формулы (7) и определения двойного опоя (см. 17) 112 Гм. П1 Обобщенные фуннцнн (1 * — „двн,тд = (У(У) — „ЬвеТ), СС(0 д(У+ 0) = = (л» ( — >н(б >г)>е»>>)) =-1 л>) 1 ~д"„, >е>) Ф- и" !С!=д — — (л*-онч >* ~е> = — > > е~>>,~) !С!=д ~ ~Я" ~!С!вд 3) / )у)~аЯг = / )х — у)~ддг = )е-г/юя !г/=д ген = О (!х)г+Кг — 211)х! совд) Я~в1п де(д>(у> = 4хЯг()х!г+Дг).

оо 4) ™Ге 1~ !*0' — е (л+<е<!'11; 5) 2™ вшф~+)х)~)вшщх!; )х! 1 + ()х! — В)г ' )х- и! "' )х-у! 8) ~с>(у) — — сСЯ„; / и(у) — !и — й„. д 1 д 1 8.33. 1) Не существует; 2) д(С вЂ” )х!) —; 3) — д(С) (д(х + С) (х + С)г + д(х — С) (х — С) г — 2д(х) хг). 8.34. Р е ш е н и е. В силу задачи 6.27 1(у,т) = СС(т) 1(у,т) и д(С,С) = п(С)сС(агСг — Яг)д(С,С), так как тС(т) = 1 в окрестности вирр )(у> т) С (т > О) и д(С) и (азгг — )С!г) = 1 в окрестности впрр д(С > С) С С Г (à — область агСг — !Яг > О, С > О). В силу формулы (5) (д е 1> и>) = 1пп (д(б С) 1(у, т), ССг((, С у т) гг(( + у, С+ т)) = = 11ш (су(С)сС(а С вЂ” !Я )д(С,С) сС(т)1(у,т), пг (С, С; у, т) >С>(ф + у; С + т) = 1пп (д(С, С) ° )(у, т), 8(С) 8(т) х х сС (аг Сг — )С )г) дг Я > С; у > т) у>(С + у > С + т)) = = (д(С> С) 1(у> т)>п(С) с1(т) и (агСг — !С)~) Вг((+ у, С+ т)), так как СС(С) 8(т) и (аггг — !б!~) н>Я+ у, С+ т) Е У(В'"+').

С б. Пряиое произведение и свертка обобщенных функииб 113 Следовательно, 2) В(аС вЂ” ]х!)(С вЂ” — *); 3) В(аС вЂ” ]х!) (У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 8.35, 2).); 4) — В(аС вЂ” ]х!) —; а 5) В(С) (В(х + аС)(х + аС) — В(х — аС)(х — аС)]; 6) ад(С)'рв(х+ аС) + ы(х — аС)]; 7) В(аС вЂ” ]х!). 8.37.

Ц В(С)е'+' ', 2) В(С)х(ее — Ц; */(г /е) 3) В(С) — /т е * /гв(я = В(С) Ф( х ). 8.35. Ц Р е ш е н и е. В силу формулы задачи 8.34, ассоциатив- ности прямого произведения и формулы (Ц (да]и(х).В(СП 'р) = = (]д(С,С) ° и(у)] В(т),е/(С)е/(т)е/(а~Сг — ]С]~) ув(С+у,С+т)) = /(д(С С). и(у) в/(С) г/( в С' ]С! ) р(С+ у С)) Далее, в силу задачи 6.27 д = т/(С) д, так как зпррд(С, С) С (С > 0].

Следовательно, (д а (и(х) ° Ю(С)], вр) = = (дЯС) и(у)ве/(а С вЂ” ]С! ) вр(к+Свг)) = (д(х,С) ° и(х),аз), так кекс/(агСг ]с]г) вр(х+Р С) к Я()вСгаог). 2) В силу формул (2) и (6) и формулы задачи 8.35, Ц д*и(х) ВРВ(С) = дв — (и(х) б(С)) = — (д(х, С)*и(х)) = „' аи(х). 8.36. Ц Решение. В силу формулы задачи 8.35, Ц (1, вр) = (В(аС вЂ” ]х!) ° ав(т),т/ (а~С~ — ]х]г) вр(х, С + т)) = =/ 'в."в(//в~ в-1 Овыв-.'- ~ю а) в.= е'-ф/а =//вьв>(вьв'-ас / ~ов,)в,вв'. о е- ф/а 1 = В(аС вЂ” ]х!) / ы(т) вСт; о Гл.

1П. Обобгионнвле вбунниии 114 8.43. Р е ш е н и е. В~~~~ (х) = У-зуг * В = У' г~г ь В = фг ь В = (Угуг * В)о = = ~,( 'в', / л ) = —,(гвв*в /'-) = в (в(*в — '). о 8.44. Р е ш е н и е. ВсзУг1(х) = Узбг з В = — з ув гввх — ~с(( = В(х) — 1У вЂ”. В(х) 4х Гх 8.45. Р е ш е н и е. 'в*в = в-ч ' в = Аг* ° в = вв г * с = — [ — / — и).

щг) в в б УВ(х) У(0 бх ]С г/й г/х — С 8.46. — / — в(~г. В(х) У(с) сУй о 39. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста Операция преобразования Фурье Р[иг] на функциях ьг из 5л саределяется формулой Оператор Р[вво](с) = / евввлбвво(х) в(х. (1) Преобразование Фурье Р[У] произвольной обобщенной дгунннии У из Я (л") определим формулой (Р[У),з) = (У,Р[д)).

(2) Р [У) = — „Р[У( — х)), У Е 5л (3) (обратное преобразование Фурье), является обратным для операто- ра Р, т,е. Р г[Р[У)) = У, Р[Р г[У)) = У, Справедливы следующие формулы (У, д б,Р ): РоР[У] = Р[(зх)~У), Р[РоУ] = (-гс)'"Р[У), Р[У(х — хо)) = ец" свР[У]г Р[У)(с+ со)] = Р [У(х) ей* вв)](с), (4) Р[У(сз)] = — „Р[У]Н, с ~ О, Р[У(х) . д(у)) = Р[У) Ю. Р[д](О), Р[У ь д) = Р[У] Щ (У или д финитна).

Преобразование Фурье Р, по переменной х обобщенной функции У(х,у) е,г'(В"+ ), где х 6 Я", у Е В, определим формулой б 9. Преоброзоеоиае Фррье обобоееимех хрнхчиб 115 (Р*йх,и)И6и) рЫ и)) = (У(х и) РМЫ и)Пх р)) (5) яе( Во+ й$ ) 9.1. 1) Пусть у(х) Е С" (В'), Й > О, и ~ [у1о1(х)] Нх < со, а < Й; доказать, что Р[/] е С[В'] и [(]~]Р[Щ)[ < о; 2) пусть у(х) е С (В ), Й > О и ]х] +];0 у(х)] < Ь, ]а] < Й, 1 > 1 целое; доказать, что Щ] ~ С'-'(В") и ]5]']РдРУ](Д] < 5, Р] <1- 1. 9.2.

Показать, что у = Р е[Р[у]], где Р з определяется формулой (3), для следующих у: 1) у(х) Е С(В"), [х["+Щх)[ < а, [Я"+']Р[у](с)[ < а, е ) О; 2) у (х) Е С~(В~), / ф"1(х)] Нх < со, а < 2; 3) /(х) б Со+~(Во), [Ро/(х)]]х[о+з < о, ]а] < и+1. Проверить, что случай 3) вытекает из случая 1). 9.3. Д Рыа =ро1+~д1Р[Рд(* )В я 9.4. 1) Доказать, что если у Е,уе то и Р[у] Е 5е 2) доказать, что операция преобразования Фурье непрерывна из .У' в Уе т.е.

что из уь — ~ у, Й вЂ” о оо, в 5е следует Р[~ре] — > Р[~р] в .К У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 9.3. 9.5. 1) Доказать, что если у Е .уе', то и Р[у] Е .у"; 2) доказать, что операция преобразования Фурье непрерывна из .зе' в У", т. е. из уе — + у, Й вЂ” + со, в 5е' следует Р[Я вЂ” ч Щ] в .У'; 3) доказать, что если у — функция медленного роста, то Р[Щ) = 1ип / у(х) еча=1е(х в зе'; 1 ~<л 4) домазать, что если у е Ез(В"), то Р[у] е Ьз(В") и Р[Щ) = 1иц 1 У(х) еде'*1е(х в Ьз(В") Ячоо )е(<л (теорема Планшереля); 5) доказать, что если у и у Е Ьз(В"), то справедливо равенство (2 )"У,р) = (Р[У],РЫ); б) д~~ азатз., что ~ ~ ~ ~„(Во), з Р[~] ~ Р„(Во) П С(В-) выражается формулой 116 Гл. П1 Обобщеииме фрикции г'[1Я) = 1[ 1(х) едбо~дх, ]]г'[1]]]с 1д ~ < [Яс,~д.р К[1(С)] — о О, ]Я вЂ” + оо (теорема Римана-Дебета), У[1 о д] = К[1'] е[д],,(,д е ь,(я"); 7) доказать, что если 1 Е .о" и ~р б,д; то Ю Ю=ЮЛРЫ 8) пусть 1 е Ь|(В~) — кусочно непрерывная функция такая, что (1'(х)) — также кусочно непрерывна; доказать формулу обращения р / У[1](С) ч*аС ХбЯ~ 2 2я 9.6.

Доказать в оо(Д"): 1) Р[б(х — хо)] = еде*о). 2) Р[б] = 1; 3) 1[1] = (2я)"б(с); ) Р [б(х — хо) + б(х + хоЦ 2 ] — — соя хо,'„и = 1. ~б(х - хо) - б(х + хо) 1 ] оозшхос, в=1. 2$ 9.7. Доказать в до'(Д"): ц у[раб] ( да.

2) о'[ о] (2 )о( о)!а112об(~) 9.8. Вычислить преобразования Фурье следующих функций (и = 1): 1) д( — ]х]); 2) е '*; 3) е'*; 4) е "; 5) 1(х)=0 при х<0, 1(х)=й, й<х<й+1, й=0,1,... 9.9. Доказать (и = 1): 1) Е[д(х)е "] = —,, а> 0; 2) Р [д(-х) е"] = —, а > О; а+ зб' 4) г[ ]=2яе Щб а>0; 1оо+хо1 «-1 ~ 5) г" д(х)е "— ~= ., а>О,о>0, Г(а) ~ (а+ Що ' 9.10.

Воспользовавшись формулой Сохопкого (см. задачу 6.20) и результатами задач 9.5 и 9.9, 1) и 2), доказать: Ц .д'[д(х)] = хб(с) + б,У -; 2) Р[д(-х)] = тб(с) — 1.У -. 4' б 9. Преобразование Фурье вбобеаенных еЬрннчиб 117 9.11. Вычислить преобразования Фурье следуюших обобшенных функций (л = 1): 1) о®, йье1,2,.,.; 2) д(х — а); 3) 818пх; 4),У-; 5); 6) )х); 7) 8(х)хь, й=1,2,...; 8) )х~ь, й=2,3,...; 9) х"Пз-, й=1,2,...; 10) хьб, й= 1,2...; 1Ц х"б<~)(х), пь ) й; 12) йз —, где Я вЂ” определена в задаче 6.25; 1 1 г ) хг 13) Я вЂ”, где 88 — определена в задаче 7.10; 1 1 хз ~ хз 14) 2 аьб(х — й), ~аь~ ( С(1+ ~й~) 15) 8<111>(х) (определение дробных производных см. в 3 8).

9 12 Доказать, что У~Я вЂ” ~ = — 2с — 21пф, 11 )х~1 где 1 ее с = / Ии — 1 — 8и — постоянная Эйлера, и ./' и о 1 а Я вЂ” (х е Д~) определена в задаче 7.26. ~х~ 9.13. Доказать, что У~Я вЂ” ~ = — 28 1п)Я вЂ” 2хсо, 1 МР где обобщенная функция,У вЂ”, х Е Д, определяется формулой г !х!г' ( 1 ) у 81(х) — 81(0) Г ~(х) 3в! <1 /е$)1 1 ОО о 1 и 78 — функция Бесселя. 9.14. Решить в г" интегральное уравнение ( и(() сов ох е)х = 8(1 — х). о 9.15. Вычислить интеграл вшах вшвх хг о 118 1"л.

Ш. Обобщеннме фвнннии У к аз ан и е. Воспользоваться равенством Парсеваля и задачей 9.8, Ц. 9.16. Доказать, что 9.17. Доказать: 1) КЯ= — ' ~~В' [х[Й [Я ' 2) Й[[х[-Й) 2и-Йяибз ~ У [Й[Й-и ясли 0(ь(п Г(-Й) Указание. Воспользоваться формулой (2) при / = [х[ в я (яй) н ~р = е ~~! /з. 111 2яй' 9.18. Доказать, что Р Н = —, ь = с + 46. Ы 9.19. Вычислить преобразование Фурье обобщенной функции 1 4яй н' — бв, и = 3, определенной в з 6.

9.20. Методом преобразования Фурье доказать в 5~'(ВЙ), что: 1) у = себ(х) + сйбй(х)+ ... +с„Йб~и ц(х) — общее решение уравнения х"у = О, п = 1, 2, ...; ~п-1 ~и-1 н-1 2) ~ айх" + Я ЬЙВ(х)хи " Й+ ~ сйб<Й "')(х) — общеереше- Й=О Й=О в=и~ ние уравнения х"у<"'1 = О, и > пй. У к а з а н и е. Воспользоваться задачами 7.23, 2) и 7.24. 9.21. Доказать в 5" (А"+Й(х, Й)), где (х, Й) = (хй, ..., х„, $): 1);[6(.,Й)[= (В б(4); 2) Р,[ ' ~ = — Е,[у(х,с)]; 3) У~[9(ай — [х[)) = 29(4) вш —, а > О, и = 1; а41 4) Г, [Дх) 6(С)! = ЩЯ) б(Й), У' Е 5н (Д"). 9.22. Доказать в 5' (В"+и): Ц П,ПР.Щ,„У=й.[(1 ) ВдУ); Р [11оПВУ) ( ®ив [РРУ) 9.23. Доказать, что в,У'(Вз) й -1 Гйгй~ -айсвю1 б(Й) -ий/(Йа~б ) 2а/Д У к а з а н и е. Воспользоваться формулой (3) и задачей 9,8, 2).

б У. Преобуаеоеание Фурье обобиеенньга функций 119 Ответы к з9 2) г/к -«*/(аа*). а 9.8. 1) 2 —; 4) / г((а -гг)/4) 3) / -г((~-а)/4, 9.24. Доказать, что в Я'(Д"+г) Р-г [8(1) -а')4)'е1 9(1) ( 1 )" -(а)'/(аа'г) 2ас/В У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 9.23. 9.25* Доказать, что в 5а'(гьз) Р( ~ [д(г) — ) = — д(аФ вЂ” ]х[). У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 9.8, Ц.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4995
Авторов
на СтудИзбе
467
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее