А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Вероятностная мера Рс на (г(, М(В)) с Ре(В)=Р(ш: б(«!)ЕВ), ВЕМА), $4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. 1 называется распределением вероятностей случайной величины Е на ()(, йу(тс)). Определение 3. Функция Рс(х) = Р(ы: С(ы) (~х), хЕтт, называется функцией распределения случайной величины Е. Для дискретной случайной величины Е мера Рс сосредоточена не более чем в счетном числе точек и может быть представлена в виде Рс(В) = ~~~ р(хь), Рн»~еа) (3) к Ре(х)= ) Ге(у)ду, хЕВ (интеграл понимается в смысле Римана, а в более общем случае — в смысле Лебега; см. далее $6). 2. Установление того, что некоторая функция С =С(ы) является случайной величиной, требует проверки свойства (1) для всех множеств В Е уг. Следующая лемма показывает, что класс таких «пробных» множеств может быть сужен. Лемма 1.
Пусть и — некоторая система множеств такая, что о(в) =Я(В). Длл того чтобы функция Е=Е(ы) была Я-измеримой, необходимо и достаточно, чтобы (ы: ((ы) ЕЕ) ЕЯ длл всех Ееег. Доказательство. Необходимость очевидна. Для доказательства достаточности опять воспользуемся принципом подходящих множеств (5 2). Пусть У вЂ” система тех борелевских множеств 0 из Я(В), для которых С '(О) Ейг. Операция «взятия прообраза» сохраняет, как нетрудно проверить, теоретико-множественные операции объединения, пересечения где р(хь)=Р(б=хь)=ЬР4(хь). Очевидно, что верно и обратное: если Рс представимо в виде (3), то Е является дискретной случайной величиной.
Случайная величина с называется непрерывной, если ее функция распределения Ре(х) непрерывна по х Е Я. Случайная величина Е называется абсолютно непрерывной, если существует неотрицательная функция 1 = (4(х), называемая плотностью, такая, что 216 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и дополнения: (6) ~- (В.) =Е-'(В.). Отсюда следует, что система У является в-алгеброй.
Значит, йг с у с М()() и о(4;) С в(У) = У С М()7). Но о(ег) = М()7), следовательно, .У = МЯ). П Следствие. Для того чтобы функция С =С(ы) была случайной величиной, необходимо и достаточно, чтобы для любых х Е )г (ы: с(ы) <х)еМ или (ы: с(ы) (х) ЕЯ. Доказательство сразу следует из того, что каждая из систем множеств 4 =(х: х<с, сЕ)г), в2=(х: х <с, сей) порождает о-алгебру М()г), т. е. о(4) =о(в2) = М(Д) (см. 5 2). Приводимая ниже лемма дает возможность конструирования случай- ных величин как функций от других случайных величин.
Лемма 2. Пусть у= р(х) — борелевская функция, а С=с(ы)— случайная величина. Тогда сложная функция П=уо~, т.е. функция г)(ы) = у(С(ы)), также является случайной величиной, Доказательство следует из того, что для В е М()7) (ы: тр(ы) ЕВ)=(ы: уК(ы))ЕВ)=(ы: ~(ы)Е~р (В))Е.М, (7) поскольку у '(В) ЕМЯ). П Таким образом, если С вЂ” случайная величина, то такие функции, как, скажем, С", с+ = гпах(с, О), с = — т!п(4, О), ф также являются случайны- ми величинами, поскольку функции х", х+, х, ~х( являются борелевскими (задача 3).
3. Отправляясь от заданной системы случайных величин (4„), можно строить новые функции, например, 2 (~„(, )пп С„,!пп С„и т. д. Заметим, $4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ! 2)7 что эти функции принимают свои значения, вообще говоря, уже в расширенной числовой прямой А' = [-оо, оо]. Поэтому целесообразно несколько расширить класс Уг-измеримых функций, допуская, чтобы онн принимали также значения ~со, Определение 4. Функция Е=Е(ь7), определенная на (П,,уг) н принимающая значения в )г = [ — оо, со], называется расширенной случайной вели чикой, если для любого борелевс кого множества 8 е М()г) (о-алгебра йу()г) = а(М(Р), хоо)) выполнено условие (!).
Следующая теорема, несмотря на ее простоту, является ключевой при построении интеграла Лебега 8 б). Теорема 1. а) Длл любой (в том числе и расширенной) случайной вели чины Е = Е(ш) найдется последовательность простых случайных величин Е!,Ез, таких, что ]Е ]<]Е] и с„(ш) Е(ш) при п- со длл всех шей.
Ь) Если к тому же Е(ш) > О, ш е(), то найдется последовательность простых случайных величин с!, сз, ... таких, что с„(ч7) ! с(ш), л- оо, для всех шей. Доказательство. Начнем с доказательства второго утверждения. Положим для и = 1, 2, ... с и†! чь(~) 2 2ч 1!ь-! ( ь ! (ь7)+п1!С(м)>ч)(ш). ь=! Непосредственно проверяется, что построенная последовательность Е„(ы) такова, что Е„(ш) 1с(ш) для всех ш е Й. Из этого утверждения вытекает также справедливость первого утвержденна, если только заметить, что с может быть представлена в виде Е=с+ -Г. С) Покажем теперь, что класс расширенных случайных величин замкнут относительно поточечной сходнмостн.
С этой целью заметим прежде всего, что если Е!, Ез, ... — последовательность расширенных случайных величин, то функция зцр С„, !п1 Е„, !пп Е„н !!гп Е„также являются случайными величинами (быть может, расширенными). Следует это непосредственно из того, что (ик зцр с„>х)=о (ап с„>х)6эг, ь (ип !п1 й„< х) = Ц (ап Е„< х) е,У' и н !пп Е„= )п1 зцр Е„, 1пп Е„=зцр !п1 Е . е>л ь 218 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Теорема 2. Пусть Сн Сз, ... — последовательность расширенных случайных величин и С(ог) =(пп Ел(ог), огЕЙ. Тогда С'=Цш) также является расширенной случайной величиной.
Доказательство сразу следует из сделанного выше замечания и того, что (ог: с(ог) < х) = (ик (пп сл(нг) < х) = =(ис )НП С,(ОГ)=1!Ш С„(ОГ))П(!ПП С„(ОГ)<Х)ла =Йг)(1)гп 4л(ог) <х) =(1пп сл(ог) <х) е.уг. 4. Остановимся еще на некоторых свойствах простейших функций от случайных величин, рассматриваемых на измеримом пространстве (й, .уг) и принимающих, быть может, значения в расширенной числовой прямой )( = [ — оо, оо[ '). Если с и т) — две случайные величины, то с+а), с -т), ст) и с/т) также являются случайными величинами (в предположении, что они определены, со ах т.е. не возникает неопределенностей типа оо — оо, †, -).
' оо' 0) В самом деле, пусть (С„) и (г)„) — последовательности случайных величин, сходящиеся к с и г) (см. теорему 1). Тогда 1л ~т)л б~т), ьлт)л - ьт). 4 Г)л + ((Ч„=о)(Ш) 1 ч Каждая из функций в левых частях этих соотношений является простой случайной величиной. Поэтому в силу теоремы 2 предельные функции С ш т), Ст) и С/т) также являются случайными величинами. 5. Пусть С = С(ог) — случайная величина. Рассмотрим множества из Уг в)ша (ин Е(ог) Е В), В Е йу()с).
Они образуют сг-алгебру, называемую сг-алгеброй, порожденной случайной величиной С. Будем ее обозначать Уга нли а(~). Если р — некоторая борелевская функция, то из леммы 2 следует, что функция т)= роС также является случайной величиной, причем ре-измеримой, т. е. такой, что (он т)(ог) Е В) Е ЯО В Е йй(В) (см.
(7)). Оказывается, что справедлив и обратный результат. ') В лнльнейшем принимаютсн обычные соглашения относительно арифметических опеа ранна а й: если о Е л, то о ш оо = шоо, — = О; а . оо = со, если о > О, и о оо = -оо, если мое о < О; О ° (шсо) = О, оо + оо = оо, -оо — оо = — оо $4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ! щв Теорема 3. Пусть г) =П(ш) — ле-измеримая случайная величина, Тогда найдется такая борелевская функция р, что г!= рос, т, е, П(ш) = у!(С(ш)) для каждого ш Е Й. Доказательство. Пусть Ф вЂ” класс всех йге-измеримых функций п=п(ш), а Фе — вге-измеримых функций, представимых в виде рьг, где р — некоторая борелевская функция.
Ясно, что Ф4СФ4. Утверждение теоремы состонт в том, что на самом деле Фг = Фе. пусть А е Уе н !)(ш) = (д (ш). покажем, что т! е Фс. Действительно, если А е.тгс, то найдется В е йу(В) такое, что А = (ш: с(ш) е В). Обозначим 11, хЕВ, хв(х) = ~ Тогда гд(ш) = Ха(((ш)) Е Фг. Отсюда следует, что н любая простая Уг-нзл мернмая функция 2 с!!д,(ш), А; е Уе, также принадлежит классу Фе. !=! Пусть теперь и — произвольная вге-измеримая функция.
По теореме 1 найдется последовательность (Пл) простых Уе-измеримых функций и„ =п„(ш) таких, что т)„(ш)- !)(ш), и - оо, ш ЕЙ. Как только что было установлено, существуют такие борелевскне функции рл = рл(х), что г1л(ш) = у!л(4(ш)). Пр» этом Ч!л(((ш)) л !1(ш), и -+ оо, ш Е Й. Обозначим В =(х Е В: !цп ч!„(х) существует). Это множество является л борелевскнм. Поэтому функция й гп рл(х), хЕВ, О, х1еВ, также является борелевской (см.
задачу 6). но тогда, очевидно, г)(ш) = 1нп у!„(с(ш)) = Щ(ш)) для всех ш е Й. сле- довательно, Фг = Фг. С) 6. Рассмотрим измеримое пространство (Й, Я) н некоторое конечное нли счетное Разбиение У=(Р!, Рт, ...) пРостРанства Й: Р; Е.йг, ~ Р; =Й. ! Образуем алгебру л~, содержащую пустое множество !В н множества ви- да г Р, где слагаемые берутся в конечном нлн счетном числе.
Очевидно, а что система л~ является монотонным классом, н поэтому, согласно лемме 2 з 2, алгебра лФ является в то же самое время н о-алгеброй, обозначаемой о(У) и называемой о-алгеброй, порожденной разбиением У. Ясно, что о(У) С,уг, 220 ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Лемма 3. Пусть 4=4(ю) является а(У)-измеримой случайной величиной. Тогда с представима в виде (8) где х»еп, й>1, т.е. с(ю) принимает постоянные значения на элементах разбиения О», й < 1. Доказательсгпво. Возьмем некоторое множество О» н покажем, что на нем о(У)-нзмернмая функция 4 принимает постоянное значение.
С этой целью обозначим х»=зцр (с: 0»й(ю: Ди) <с)=э]. Поскольку (ю: Е(ь) <х»)=() (ип Е(м) <г), где объединение берется по всем рациональным г < хю то О» й (ип с(м) < х») = З. Пусть теперь с>х». Тогда 0»й(ин ~(м) <с)фе~ и так как множество (ю: 4(ш) <с) имеет внд ~ О, где сумма берется по конечному илн счетному набору индексов, то 0»й(ю: ~(ю) <с) =О». Отсюда вытекает, что для всех с > х» О» й(ю: ~(ю) > с) =И и поскольку (м: с(м) > х») = О (ип с(м) > г), где объединение берется по всем рациональным г>хю то 0»й(ин ~(ш) >х») =а. Таким образом, О» й (ю: С(и ) ф х») = ю и, значит, О» С (ю: 4(м) = х» ), что н требовалось доказать. П 7.
Задачи. 1. Показать, что случайная величина С непрерывна, если н только если Р(С =х)=0 для всех х е)с. 2. Если ]с] является Уг-измеримой, то верно лн, что С также Я-измерима? 3. Доказать, что функции х", х+ =гпах(х, О), х = — гп1п(х, О), ]х] = =х++х являются борелевскнмн. 4. Если с н и —,Уг-измеримы, то (ю: Дю) =пйг))еле. 55. СЛУЧАЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 22! Б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
