А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 36

DJVU-файл А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 36 Теория вероятностей и математическая статистика (2654): Книга - 3 семестрА.Н. Ширяев - Вероятность-1: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 36 (2654) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Н. Ширяев - Вероятность-1", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 36 - страница

Вероятностная мера Рс на (г(, М(В)) с Ре(В)=Р(ш: б(«!)ЕВ), ВЕМА), $4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. 1 называется распределением вероятностей случайной величины Е на ()(, йу(тс)). Определение 3. Функция Рс(х) = Р(ы: С(ы) (~х), хЕтт, называется функцией распределения случайной величины Е. Для дискретной случайной величины Е мера Рс сосредоточена не более чем в счетном числе точек и может быть представлена в виде Рс(В) = ~~~ р(хь), Рн»~еа) (3) к Ре(х)= ) Ге(у)ду, хЕВ (интеграл понимается в смысле Римана, а в более общем случае — в смысле Лебега; см. далее $6). 2. Установление того, что некоторая функция С =С(ы) является случайной величиной, требует проверки свойства (1) для всех множеств В Е уг. Следующая лемма показывает, что класс таких «пробных» множеств может быть сужен. Лемма 1.

Пусть и — некоторая система множеств такая, что о(в) =Я(В). Длл того чтобы функция Е=Е(ы) была Я-измеримой, необходимо и достаточно, чтобы (ы: ((ы) ЕЕ) ЕЯ длл всех Ееег. Доказательство. Необходимость очевидна. Для доказательства достаточности опять воспользуемся принципом подходящих множеств (5 2). Пусть У вЂ” система тех борелевских множеств 0 из Я(В), для которых С '(О) Ейг. Операция «взятия прообраза» сохраняет, как нетрудно проверить, теоретико-множественные операции объединения, пересечения где р(хь)=Р(б=хь)=ЬР4(хь). Очевидно, что верно и обратное: если Рс представимо в виде (3), то Е является дискретной случайной величиной.

Случайная величина с называется непрерывной, если ее функция распределения Ре(х) непрерывна по х Е Я. Случайная величина Е называется абсолютно непрерывной, если существует неотрицательная функция 1 = (4(х), называемая плотностью, такая, что 216 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и дополнения: (6) ~- (В.) =Е-'(В.). Отсюда следует, что система У является в-алгеброй.

Значит, йг с у с М()() и о(4;) С в(У) = У С М()7). Но о(ег) = М()7), следовательно, .У = МЯ). П Следствие. Для того чтобы функция С =С(ы) была случайной величиной, необходимо и достаточно, чтобы для любых х Е )г (ы: с(ы) <х)еМ или (ы: с(ы) (х) ЕЯ. Доказательство сразу следует из того, что каждая из систем множеств 4 =(х: х<с, сЕ)г), в2=(х: х <с, сей) порождает о-алгебру М()г), т. е. о(4) =о(в2) = М(Д) (см. 5 2). Приводимая ниже лемма дает возможность конструирования случай- ных величин как функций от других случайных величин.

Лемма 2. Пусть у= р(х) — борелевская функция, а С=с(ы)— случайная величина. Тогда сложная функция П=уо~, т.е. функция г)(ы) = у(С(ы)), также является случайной величиной, Доказательство следует из того, что для В е М()7) (ы: тр(ы) ЕВ)=(ы: уК(ы))ЕВ)=(ы: ~(ы)Е~р (В))Е.М, (7) поскольку у '(В) ЕМЯ). П Таким образом, если С вЂ” случайная величина, то такие функции, как, скажем, С", с+ = гпах(с, О), с = — т!п(4, О), ф также являются случайны- ми величинами, поскольку функции х", х+, х, ~х( являются борелевскими (задача 3).

3. Отправляясь от заданной системы случайных величин (4„), можно строить новые функции, например, 2 (~„(, )пп С„,!пп С„и т. д. Заметим, $4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ! 2)7 что эти функции принимают свои значения, вообще говоря, уже в расширенной числовой прямой А' = [-оо, оо]. Поэтому целесообразно несколько расширить класс Уг-измеримых функций, допуская, чтобы онн принимали также значения ~со, Определение 4. Функция Е=Е(ь7), определенная на (П,,уг) н принимающая значения в )г = [ — оо, со], называется расширенной случайной вели чикой, если для любого борелевс кого множества 8 е М()г) (о-алгебра йу()г) = а(М(Р), хоо)) выполнено условие (!).

Следующая теорема, несмотря на ее простоту, является ключевой при построении интеграла Лебега 8 б). Теорема 1. а) Длл любой (в том числе и расширенной) случайной вели чины Е = Е(ш) найдется последовательность простых случайных величин Е!,Ез, таких, что ]Е ]<]Е] и с„(ш) Е(ш) при п- со длл всех шей.

Ь) Если к тому же Е(ш) > О, ш е(), то найдется последовательность простых случайных величин с!, сз, ... таких, что с„(ч7) ! с(ш), л- оо, для всех шей. Доказательство. Начнем с доказательства второго утверждения. Положим для и = 1, 2, ... с и†! чь(~) 2 2ч 1!ь-! ( ь ! (ь7)+п1!С(м)>ч)(ш). ь=! Непосредственно проверяется, что построенная последовательность Е„(ы) такова, что Е„(ш) 1с(ш) для всех ш е Й. Из этого утверждения вытекает также справедливость первого утвержденна, если только заметить, что с может быть представлена в виде Е=с+ -Г. С) Покажем теперь, что класс расширенных случайных величин замкнут относительно поточечной сходнмостн.

С этой целью заметим прежде всего, что если Е!, Ез, ... — последовательность расширенных случайных величин, то функция зцр С„, !п1 Е„, !пп Е„н !!гп Е„также являются случайными величинами (быть может, расширенными). Следует это непосредственно из того, что (ик зцр с„>х)=о (ап с„>х)6эг, ь (ип !п1 й„< х) = Ц (ап Е„< х) е,У' и н !пп Е„= )п1 зцр Е„, 1пп Е„=зцр !п1 Е . е>л ь 218 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Теорема 2. Пусть Сн Сз, ... — последовательность расширенных случайных величин и С(ог) =(пп Ел(ог), огЕЙ. Тогда С'=Цш) также является расширенной случайной величиной.

Доказательство сразу следует из сделанного выше замечания и того, что (ог: с(ог) < х) = (ик (пп сл(нг) < х) = =(ис )НП С,(ОГ)=1!Ш С„(ОГ))П(!ПП С„(ОГ)<Х)ла =Йг)(1)гп 4л(ог) <х) =(1пп сл(ог) <х) е.уг. 4. Остановимся еще на некоторых свойствах простейших функций от случайных величин, рассматриваемых на измеримом пространстве (й, .уг) и принимающих, быть может, значения в расширенной числовой прямой )( = [ — оо, оо[ '). Если с и т) — две случайные величины, то с+а), с -т), ст) и с/т) также являются случайными величинами (в предположении, что они определены, со ах т.е. не возникает неопределенностей типа оо — оо, †, -).

' оо' 0) В самом деле, пусть (С„) и (г)„) — последовательности случайных величин, сходящиеся к с и г) (см. теорему 1). Тогда 1л ~т)л б~т), ьлт)л - ьт). 4 Г)л + ((Ч„=о)(Ш) 1 ч Каждая из функций в левых частях этих соотношений является простой случайной величиной. Поэтому в силу теоремы 2 предельные функции С ш т), Ст) и С/т) также являются случайными величинами. 5. Пусть С = С(ог) — случайная величина. Рассмотрим множества из Уг в)ша (ин Е(ог) Е В), В Е йу()с).

Они образуют сг-алгебру, называемую сг-алгеброй, порожденной случайной величиной С. Будем ее обозначать Уга нли а(~). Если р — некоторая борелевская функция, то из леммы 2 следует, что функция т)= роС также является случайной величиной, причем ре-измеримой, т. е. такой, что (он т)(ог) Е В) Е ЯО В Е йй(В) (см.

(7)). Оказывается, что справедлив и обратный результат. ') В лнльнейшем принимаютсн обычные соглашения относительно арифметических опеа ранна а й: если о Е л, то о ш оо = шоо, — = О; а . оо = со, если о > О, и о оо = -оо, если мое о < О; О ° (шсо) = О, оо + оо = оо, -оо — оо = — оо $4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ! щв Теорема 3. Пусть г) =П(ш) — ле-измеримая случайная величина, Тогда найдется такая борелевская функция р, что г!= рос, т, е, П(ш) = у!(С(ш)) для каждого ш Е Й. Доказательство. Пусть Ф вЂ” класс всех йге-измеримых функций п=п(ш), а Фе — вге-измеримых функций, представимых в виде рьг, где р — некоторая борелевская функция.

Ясно, что Ф4СФ4. Утверждение теоремы состонт в том, что на самом деле Фг = Фе. пусть А е Уе н !)(ш) = (д (ш). покажем, что т! е Фс. Действительно, если А е.тгс, то найдется В е йу(В) такое, что А = (ш: с(ш) е В). Обозначим 11, хЕВ, хв(х) = ~ Тогда гд(ш) = Ха(((ш)) Е Фг. Отсюда следует, что н любая простая Уг-нзл мернмая функция 2 с!!д,(ш), А; е Уе, также принадлежит классу Фе. !=! Пусть теперь и — произвольная вге-измеримая функция.

По теореме 1 найдется последовательность (Пл) простых Уе-измеримых функций и„ =п„(ш) таких, что т)„(ш)- !)(ш), и - оо, ш ЕЙ. Как только что было установлено, существуют такие борелевскне функции рл = рл(х), что г1л(ш) = у!л(4(ш)). Пр» этом Ч!л(((ш)) л !1(ш), и -+ оо, ш Е Й. Обозначим В =(х Е В: !цп ч!„(х) существует). Это множество является л борелевскнм. Поэтому функция й гп рл(х), хЕВ, О, х1еВ, также является борелевской (см.

задачу 6). но тогда, очевидно, г)(ш) = 1нп у!„(с(ш)) = Щ(ш)) для всех ш е Й. сле- довательно, Фг = Фг. С) 6. Рассмотрим измеримое пространство (Й, Я) н некоторое конечное нли счетное Разбиение У=(Р!, Рт, ...) пРостРанства Й: Р; Е.йг, ~ Р; =Й. ! Образуем алгебру л~, содержащую пустое множество !В н множества ви- да г Р, где слагаемые берутся в конечном нлн счетном числе.

Очевидно, а что система л~ является монотонным классом, н поэтому, согласно лемме 2 з 2, алгебра лФ является в то же самое время н о-алгеброй, обозначаемой о(У) и называемой о-алгеброй, порожденной разбиением У. Ясно, что о(У) С,уг, 220 ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Лемма 3. Пусть 4=4(ю) является а(У)-измеримой случайной величиной. Тогда с представима в виде (8) где х»еп, й>1, т.е. с(ю) принимает постоянные значения на элементах разбиения О», й < 1. Доказательсгпво. Возьмем некоторое множество О» н покажем, что на нем о(У)-нзмернмая функция 4 принимает постоянное значение.

С этой целью обозначим х»=зцр (с: 0»й(ю: Ди) <с)=э]. Поскольку (ю: Е(ь) <х»)=() (ип Е(м) <г), где объединение берется по всем рациональным г < хю то О» й (ип с(м) < х») = З. Пусть теперь с>х». Тогда 0»й(ин ~(м) <с)фе~ и так как множество (ю: 4(ш) <с) имеет внд ~ О, где сумма берется по конечному илн счетному набору индексов, то 0»й(ю: ~(ю) <с) =О». Отсюда вытекает, что для всех с > х» О» й(ю: ~(ю) > с) =И и поскольку (м: с(м) > х») = О (ип с(м) > г), где объединение берется по всем рациональным г>хю то 0»й(ин ~(ш) >х») =а. Таким образом, О» й (ю: С(и ) ф х») = ю и, значит, О» С (ю: 4(м) = х» ), что н требовалось доказать. П 7.

Задачи. 1. Показать, что случайная величина С непрерывна, если н только если Р(С =х)=0 для всех х е)с. 2. Если ]с] является Уг-измеримой, то верно лн, что С также Я-измерима? 3. Доказать, что функции х", х+ =гпах(х, О), х = — гп1п(х, О), ]х] = =х++х являются борелевскнмн. 4. Если с н и —,Уг-измеримы, то (ю: Дю) =пйг))еле. 55. СЛУЧАЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 22! Б.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5119
Авторов
на СтудИзбе
445
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее