А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей, страница 13

Показать, что распределения случайных величин Цт — за[ и пип Цт, $т) совпадают, т. е. что для любого г Р([йт — $л[ - Н = Р(штв Ць ~л) < 1). 3.32*. Найти распределение суммы двух независимых слагаемых $т и $т, если слагаемые распределены: а) покааательно с одним и тем же параметром а) б) по закону Пуассона с параметралти Хт и Хз 3.33 . Случайные величины $т, ..., $„независимы и распределены показательно с одинаковым параметром сл. Найти плотность распределения величин: а) т)т = шах(зт, ..., з„), б) т)2 = штп Цт, 3.34'. Случайные величины $т и йз независимы и имеют гамма-распределения: 5т — с параметрами ()т, а), $л — с параметрами (Х, 5).

Польауясь формулой 1 „,(1 )в тат г(а) г((т) Г(а+ (т) л а найти плотность распределения случайной величины ь!+ьь 3.35'. Случайные величины $ь ..., $„независимы( случайная величина $т имеет гамма-распределение с па -о раметрзмв ()., а,), т = 1, ..., и, Найти плотность рас- пределения случайной величины $т + ... + $„, 3.36. Случайшые величины фт, ..., $ независимы и имеют гоказательное распределение с параметром Найти плотность распределения суммы $т+...+ 5„. 3,37'.

Найти плотность распределения случайной во- личины т) —, если йт, йт независимы тт равномерно 4т + $л' распределены в отреаке [О, 1].: 3.38. Случайные величины $т, $м ..., 3„, п > 2, неза- висимы и имеют показательное распределение с плот- 1 ностыо е * (х)0). Обозначим т) =, + +„. Найти 'а плотность распределения т). 3.39. Величины зт, $т независимы; РЦт =0) =РЦт = =1) 1/2, зл равномерно распределена на отрезке [О, 1]. 11айти закон распределения величины $~+ 5ь 3.40. Пусть случайные величины 5 и т~ пезависпмьт, $ имеет функцию распределения г'(х), а т) равномерно распределена в интервале [а, Ь]. Покааать, что $+ т) Р (а — а] — г" та — Ь) имеет плотность Ь вЂ” а 3.41'. Сумму двух яезависимых равномерно распреде.

ленных па (О, 1, ..., 9) случайных однозначных чисел а и т) можно записать в виде 5 + т) = 10ьз + ьт (О < ьт < 9). Найти законы распределения ьт и ьь Зависимы ли ~т и ьт) 3.42'. Произведение двух независимых равномерно распределенных на (О, 1... 9) однозначных чисел ~ и т) можно записать в виде 5т) =10т~т+ ьт, где целые числа, принимающие значения от 0 до 9.

Зависи- мы ли ~т и ~~7 3.43. Случайная точка А =($ь $м $л)~Лл имеет рав. номерное распределение на сфере ха+уз+я' 1. Найти РаспРеделение нРоекЦии (Ет, $т) точки А на плоскость (х, у) и проекции ет точки А на ось х. 3.44. Ввеств на сфере в качестве координат широту и долготу, считая их изменяющимися в отрезках [ — я/2, я/2] и [ — я, я] соответственно.' Найти плотность ут(х) Распределения широты 4 случайной точки, имеющей рав- номерное распределение на сфере.

3.45. Пусть $т, $м зз — независимые случайные вели- чины, имеющие равномерное распределение на множе- стве целых чисел от — я до в, Подберем многочлен вто- рой степени А (х) = аьхт+ сттх+ аь принимающий прп 7! х= — 1, О, 1 значения 5в 5м 5з соответственно. Найти ве ть Р„того, что числа ас, аь ат целые. 3.46. переговорному пункту с двумя кабипами под и клиента: 1-й и 2-й клиенты запялп соответственно кабины № 1 и № 2, а 3-й клиент остался ждать. Предполагая, что времена ть тм тэ разговоров клиентов независимы и распределены показательно с параметром Х, найти: а) вероятность того, что 3-й клиент попадет в кабину № 1; б) плотность распределения времени ожидаиия 3-го клиента; в) вероятность того, что 3-й клиент закончит разговор раньше 1-го или 2-го клиентов.

3.47. В переговорном пункте телефоны-автоматы расположены в трех залах: в т-м зале и, автоматов (1= 1, 2, 3; п п1+пэ+пз). После перерыва посетвтели одповремекко заняли все автоматы. Введем события А~ (посетитель, вакончивший разговор первым, находился в 1-и аале), т 1, 2, 3. Найти вероятности событий Аь э= 1, 2, 3, если времена разговора посетителей являются независимыми одипаково распределениыми случайными величинами с непрерывной функцией распределения.

3.48. Случайная величина 3 с равномерным распределением на (О, 1) записывается в виде бескопечной деО~ сятичиой дроби: $ = ~ $„10 ", где 5„— целые, 0 ~ 3„~ 9, а т Доказать, что случайные величины 5ь 3м ... независимы. 3.49'. В схеме Бернулли с вероятностью успеха р обоэпачим через т, (Й = 1, 2, ...) номер испытакия, при котором происходит Й-й успех, и положим т~ = т~, т, = — (Й = 2, 3, ...). Найти совместное распределение величин ть т,. Являются ли эти величины независимыми? 3.50'.

В полиномиальной схеме с исходами (1,2,..., /т')' вероятность )-го исхода в каждом испытании равна ре 1=-1, 2, ..., Х Положим з 1, если в г-и испытапии появился 1-й исход, 0 з протпвпом случае. Являются ли независимыми случайвые величины: а) е. ь е,, (з,$, / — фиксированы); б) е.

<, з,,~ (зФг); в) е1, „зэ,„..., е.,; Л г) ~~~~~ е,тст, ~е,дсы ..., Дз„эсы если с„с„...,ск— ь-1 а=1 ь=т кекоторые постояпные? 3.51'. Игральную кость бросают до того момента, ког- да впервые выпадает меньше пяти очков. Обозначим че- рез 0 число очков, выпавптих при последнем бросании игральной кости, и через т — число бросаний кости.

Най- ти совместное распределение 8 и т. Являются ли случай- ные величины 8 и т зависимыми? 3.52'. В ?т' ячеек независимо бросают частицы; для каягдой частицы вероятность попадания в 1-ю ячейку равна р» 1/У (1 1, 2, ..., )т'). Обозначим через т~ ( < тт (,...с т номера бросаний, при которых частицы попадают в пустые ячейки; положим т1 = т~ 1, тз — (Й ~ 2) и обозначим через О„помер ячейки, в которую попадает частица при т„-м бросании. Найти: а) совместное и одномерные распределения величин ти тз; б) совместное и одномерные распределения величии тм тз, ..., т (являются ли эти величины независи- мыми?); в) совместное распределение 8ь 8э, ..., 8, 3.53'. В схеме размещения частиц, описанной в зада- че 3.52 (с р~ чь 1/?т'), зайти совместное распределение 8„..., 8..

3.54'. Из урны, содержащей М белых и?т' — М черных шаров, ко схеме случайного выбора без возвращения вы- нимаются все в1ары. Пусть 51 — число черных шаров, извлеченных до появления 1-го белого шара, К вЂ” число черных шаров, извлеченных между () — 1)-и и ым () 2, ..., М) белыми шарами, 5м+1 — число черных втаров, появившихся после последкего белого. Найти: а) Р($1 Й); б) Р(31 = Й, $э = )); ) Р(5~ Й1, 5э=йм, $~, = Ймт,). 3.55'. Дана функция распределения Р(х, у) пары слу- чайных величин Э, т). Найти Р(х~ < а ~ хм у~ ~ т) ~ ут), х1 ( хм у1 с уэ. 3.56. Двумерное распределение случайпых величия $, ц задаво функцией распределепия РД(~х, т)» у) = г (х, у) О, если ппп (х, у) ( О, ш)п(х, у), если Ов ппп(х, у) я" 1, 1, если ппп(х, у) ) 1.

Найти Р((ь — 1/2)э Р(т) — 1/2)' ~ 1/4). 3.57. Построить пример непрерывной в точке (хм у(>) двумерной функции распределения У> „(х, у), для которой одномерные функции распределения г'>(х) и У„(У) разрь>вны в точвах хо и уа соответственно. 3.58. Построить такой пример непрерывной во всех точках двумерной функцив распределения >>ь (х, У) чтобы функция распределения УР, „„(х, у), где 5> = ь+ р р> =$ — т), имела точки разрыва. 3.59. Доказать, что двумерная функция распределения Г> „(х, у) непрерывна в точке (хе, уз), если соответгтвугощие одномерные функции распределения г>(х), 1''>(У) непрерывны в точках хе и уа соответственно.

Пусть $(, ьм ..., $„— независимые одинаково распределенные случайные величины. При кахгдом ы(их) располояч>м числа $,(е>), >(=1, ..., и, в порядке возрастания и порепумеруем их заново: $(» ~ 5(з> ~... ( 5(„>. Полученная последовательность случайных величин называется аа)нлационныл> рядом, а сами случайные величины 5(А> — членамн вариационного ряда. таким образом, в частности, Е(» = щ>в $ы 5(„> = п>ах Еы Задачи 3.60— >а>РАА >АЬАРР 3.66 связаны с вариационным рядом. 3.60. Случайные величины 5(, 5ь ..., $„ (п 2) независимы и одинаково распределены с функцией распределения г'(х).

Найти: а) функцию распределения б) функцию распределения 5(А>; в) двумерную функцию распределения ь(», ь( >. 36! По независимым одипагово распределенным случайньы> величинам 5>, ..., С„, имев>щпм функцию распределения г'(х) и плотность р(х), построен вариационный ряд $(» < 5(з> ~... ~ 5( > Найти: а) плотность распределения 5( >; б) совместную плотность распределения 5(» и $( > (>(( и>), 3.62. Случайные величины $>, ..., 5„$,+> независимы и имеют одну и ту же непрерывную функцию распределения.

Пусть $(>, - Ь(з> ~... ( $(Р> — вариационный ряд величин 5>, ..., 5>. Найти Р(5>А> (: (5(» с(» »)) 1 = 1 й Р($~~ ~ 2( ), Р($~~> 'х $(>>). 3.63. Случайные величины 5>, ..., 5„независимы и имеют одинаковое распределение с плотностью р (х). Найти п-мерную плотность р„(х>, „х„) распределения членов вариационного ряда 5(>„$,з>, ..., $(„>.

74 3,65*. Случайные величины $>, с> ..., $„независимы и имеют показательное распределение с параметром ои Р(5(<х) 1 — е-*, хупО, > 1, ..., п, а Ц((, ~ 5(» ~... ~ $(.> — значения $>, ..., $„, располо>кенные в порядке неубываиия (вариационный ряд). Показать, что случайные величины Д> $(>„Д =Ь вЂ” $((-», 1=2, ..., п, независимы и что Р(Д,(х) =1 — е "" '+"*, 1 1...„п.

3.65*. Случайные величины 5>, $м ..., 5 независимы и имеют одно и то же показательное распределение с параметром ). Доказать, что случайные величины п>ах($„$„..., $„) и $~ + + + — + ... +— одинаково распределены, 3,66. Пусть 5. — ($.л, ..., 5„л)„ и — 1, 2...,, — после- довательность независимых векторов, у которь>х коорди- наты гР,>, ° ° ., $,А — независимые случайные величины, имеющие одну и ту же непрерывную функцию распре- деления У(х). Положим Аа ($ж(~- тп(п $~,(, 1 1> ..,, 5). >лхи~я Доказать, что при й аь 2 Р () А- ~;Ь-, 3.67. Случайные величины ~>> фм ... независимы и имеют одну и ту же непрерывную функцию распределе- ния.

Доказать, что события В.-(((„~щ(п(5>, ..., 5„>)), и 2,3, ...; независимы. 3.68. Пусть выполнены условия задачи 3.66. Найти Р(5 А), 3.69. Случайные величины $ и р независимы. Дока- вать, что если функция распределения $ непрерывна, то функция распределения $+ р тоже непрерывна. 75 3.70*. Случайяая величина 5~ распределена по закону Пуассона с параметром ),0 Р(ь =И= —,е ' 5=О 1 7'1 -ю а случайная величина $1 распределена по закону Пуассона с параметром 711)),1. Доказать, что при любом целом й Р(51 -'= й) ) Р($з:~ И.

3.7!. Функции распределения Р1(г) и /71(1) удовлетворяют условию Р1(1)~рт(1) для любого 1. ГГоказать, что можпо так задать па одном вероятностном простраистве случайные величипы 51 и $1 с функциями распределения 771(1) и Гз(7) соответстве~ио, что Р($~ ) 51) =1. 3.72.