А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей, страница 8

а) Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелвть кровь случайно взятого донора. б) 1!айти вероятность того, что переливание можно осуществить, если имеются два донора; три донора. 2.38. Во время испытаний было установлено, что вероятность безотказного срабатывания реле при отсутствии помех равна 0,99, при перегреве — 0,95, прн вибрации — 0,9, при вибрации н перегреве — 0,8. Найти веро- ятностьР~ отказа этого реле при работе в я<арких странах (вероятность перегрева равна 0,2, вероятность вибрации 0,1) и вероятность Рз отказа при работе в передвижной лаборатории (вероятность перегрева 0,1, вероятность вибрации 0,3), предполагая перегрев и вибрацию нева висимыми событиями.

2.39 (см. 2.38). Найти границы, в которых могут изменяться вероятности Р~ и Рз в предыдущей задаче, если отказаться от предположения о независимости перегрева и вибрации. 2.40'. Имеется нять урн. В (-й, 2-н в 3-й урпах находится по 2 белых и 3 черных шара; в 4-й н 5-й ур ках — по 1 белому и 1 черному шару. Случайно выбирается урна и нз нее извлекается шар.

Какова условная вероятность того, что выбрана 4-я или 5-я урна, если извлеченный шар оказался белым7 2.41. В стройотряде 70% первокурсников и 30% сту дантов второго курса. Среди первокурсников 10% деву шек, а среди студентов второго курса — 5 % девушек. Все девушки по очереди дежурят на кухне. Найти ве- 43 ) $( 4 4. Схема Бернулли г роятность того, что в случайно выбранный день на кухне дежурит первокурсница. 2.42'. По каналу свяви передается одна иэ последовательностей букв АААА, ВВВВ, СССС с вероятностями Рь Рм Р» (р» + р»+ р» = 1). Каждая передаваемая буква принимается правильно с вероятностью а и с вероятно- 1 стями — (1 — и) и — (1 — а) принимается за каждую з двух других букв.

Предполагается, что буквы искажаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что было передано АААА, если принято АВСА. 2.43'. При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание туберкулезом у больного туборкулеаом равна 1 — 5. Вероятность принять здорового человека за больного равна а. Пусть доля больных туберкулезом по отношению ко всему населени»о равна (. а) Найти условную вероятность того, что человек здоров, если он был признан больным при обследовании.

б) Вычислить найденную в п. а) условную вероятность при следующих числовых аначениях "): 1 — 5 =0,9, а=0,01, т =0,001. 2.44'. Отдел технического контроля (ОТК) проводит сортировку выпускаемых заводом приборов. Каждый прибор независимо от остальных имеет дефекты с вероятностью р. При проверке в ОТК наличие дефектов обнаруживается с вероятностью с»; кроме того, с вероятностью 5 исправный прибор при проверке может вести себя как дефектный. Все приборы, у которых при проверке обнаружены отклонения от стандарта, бракуются. Найти вероятность 9о того, что незабракованный прибор имеет дефекты, и вероятность д~ того, что забракованный прибор имеет дефекты.

При каких условиях до) 9~1 2.45', В урне находится 3 черных и 2 белых шара. Первый игрок по схеме выбора без возвращения извле-. кает 3 шара. Обратно он возвращает черный шар, если ореди вынутых шаров больше было черных; в противном случае возвращается белый шар. Второй игрок после этого извлекает один шар и по его цвету должен угадывать число белых шаров среди трех шаров, вынутых первым игроком. Найти условную вероятность того, что у первого игрока было: а) 0 белых, б) 1 белый, в) 2 белых шара,-если второй игрок вытащил белый шар. «) Эти значения првзедены з книге: Закс Л.

Статистическое оп«вязание,— Мз Статистика, 197Ь.— С. 49. 44 2.46'. Проведено 20 неаависимых испытаний, каждое нз которых заключается в одновременном подбрасывании трех монет. Найти вероятность того, что хотя бы в одном испытании появятся три «герба». 2А7'. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна И0. Каковы вероятности того, что сообщение ив 10 знаков: а) не будет искажено, б) содержит ровно 3 искажения, в) содержит не,более трех искажений) 2.48'. Испытание ваключается в бросании трех игральных костей.

Найти вероятность того, что в пяти неаавнснмых испытаниях ровно два раза выпадет по три единицы. 2.49'. Найти вероятность того, что в 2я испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха р и неудачи д = 1 — р появится т + п успехов и все испытания с четными номерами закончатся успехом. 2.50'. Из множества Я= (1, 2, ..., )У) случайно и независимо выбираются два подмножества А~ и А» так, что каждый элемент из о' независимо от других элементов с вероятностью р включается в подмножество А, и с вероятностью д=.1 — р не включается.

Найти вероятность того, что А~ 0 А» = И. 2.51'. По той же схеме выбора подмножеств яз Я = =(1, 2, ..., !»), что в аадаче 2.50, независимо выбираются г подмножеств Аь А», ..., А„г~ 2. Найти вероятность того, что выбранные подмножества попарно не пересекаются. 2.52' (см. 2.50). Из множества 8 (1, 2, ..., )»') независимо выбираются г подмножеств Аь А», ..., А,.

Механизм выбора состоит в следующем: любой элемент множества 8 неаависимо от других элементов с вероятностью р; включается в ъшожество А~ и с вероятностью о» 1— — р~ не включается (1 1, ..., г). Найти вероятность того, что подмножества Ан А», ..., А, попарно не пере- сека ются. 2.53 (см.

2.50), Из множества Я= (1, 2, ..., У) случайно н независимо выбираются подмножества Аь ..., А,. Механизм выбора такой же, как в задаче 2.50. Найти: а) Р(1А~ П...ПА,! =4); б) Р(!А~0...СА,1=я), где !В! обозначает число влементов множества В. 2.54. Кая«дую секунду с вероятностью р независимо от других моментов времени по дороге проезжает авто- машина. Пешеходу для перехода дорогн необходимо 3 с.

Какова вероятность того, что подошедший к дороге пешеход будет ожидать воэмояспости перехода: а) 3 с; б) 4с;в) 5с? 2.55. В одном из матчей на первенство мира по шахматам ничьи не учитывались, и игра шла до тех пор, пока один иа участников матча не набирал 6 очков (выигрыш — 1 очко, проигрыш и ничья — 0 очков). Считая участников матча одинаковыми яо силе, а результаты отдельных нгр независимыми, найти вероятность того, что при таких правилах в момент окончания матча проиг- — равший набирает й очков, к = О, 1, ..., 5, 2.56. Обрабатываемые на станке детали сортируются по раз»«ерам на две группы. Каждая очередная деталь независимо от предыдущих с равными вероятностями попадает в первую нлн вторую группу.

Пусть в начал ~ смены для каждой группы деталей приготовлено по ящику емкости г. Какова вероятность того, что в момент, когда очередную деталь будет некуда класть, в другом ящике будет л» деталей? 2.57 . По каналу связи передаются сообщения нз ну-. лей и единиц. Из-за помех вероятность правильной передачи знака равна 0,55. Для повышения вероятности правильной передачи каждый знак сообщения повтор~пот и раэ. Полагают, что последовательности нэ и принятых знаков в сообщении соответствует знак, составляющий з ней большинство.

Найти вероятность правильной передачи одного знака при и-кратном повторении, если я =5, 2.58' (см 2.57). Подобрать и так, чтобы вероятность правильной передачи знака была не меньше 0,99. 2.59'. По каналу связи передается 1000 знаков. Каждый знак может быть искажен незавн"нмо от остальных с вероятностью 0.005. Найти приближенное значение вероятности того, что будет искажено пе более трех знаков. 2.60'. В таблице случайных чисел цифры сгруппированы по две. Найти приближенное значение вероятности того, что среди 100 пар пара 09 встретится не менее двух раз.

2.61». Пусть $. — число успехов в я независимых испытаниях Бернулли с вероятностью успеха, равной 1/2. а) С помощью теоремы Муавра — Лапласа найти приближенные значения б) Вычислить те же вероятности, что в п. а), с погрешностью 10», используя уточненную формулу Стир-. линга.

Сравнить результаты пп. а) и б) и нстолковать их. 2.62 . Решить предыдущую аадачу, полагая я=128. 2.63'. Найти приближенное значение вероятности того, что число «девяток» среди 10000 случайных чисел заключено между 940 и 1060. 2.64'. Из таблицы случайных чисел отбирают числа, делящиеся на 3, до тех пор, пока не наберется 1025 таких чисел. Найти приближенное значение вероятности того, что потребуется таблица, содержащая не меньше 2500 чисел.