А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Найти Р (ро(п, Л>) = 0) при произ- сольных п, Х 1.52. По У различимым ячейкам размещается случайно п неразличимых частиц. (Элементарнымн событинми являются наборы чисел (г>, гп ..., г»), где г»вЂ” число частиц в й-й ячейке, й = 1, 2, ..., Х) Найти веронтности событий: 1) )ло(и, >1')) 0' 2) )ло(п, У) 1, 1.53. В первом ряду кинотеатра, состоящем ле Л' кресел, сидит п человек. Предполагая, что все возможные размещения этих п человек в первом ряду равновероятны, найти вероятности следующих событий: а) А„» = (никакие 2 человека не сидят ридом); б) В.,»=(каждый из п человек имеет ровно одного соседа); в) С„= (из любых двух кресел, расположенных симметрично относительно середины ряда, хотя бы одно свободно).
1.54. В зале кинотеатра в первых двух рядах, каждый нв которых состоит гз >с> кресел, сидит и человек. Найти вероятности следующих событий: а) в первом ряду никакие 2 человека не сидят рядом; б) во втором ряду каждый человек имеет ровно одного соседа; в) в первом ряду нз любых двух кресел, расположенных симметрично относительно середины ряда, хотя бы одно свободно. 1.55 . Из всех отображений множества (1, 2, ..., п) в себя случайно выбирается отобра>пенне.
Найти вероятности событий: 20 а) выбранное отображение каясдый чз и влементов переводит в 1; б) элемент 1 имеет ровно й прообразов; в) элемент ! переводятся в В г) выбранное отоораженне элементы 1>, 16 . °, 1» '(1 < с> < 1>«... 1,.-и) переводят в элементы Ро Ь ...
..., у, соответственно. В задачах 1.56 — 1.60 рассматрнва>отса взаимно однозначные отобра>кения множества (1, 2, ..., и) на себя. Такие отображения называют падсганоекани степени п. Множество всех подстановок степени и обозначают Я . Если злементы 1>, !о, ..., 1о'и(1, 2', ..., и) Различны и подстановка и ив Я„переводит !> в 1>, 1о в 1о, ° °, 1э-> в 1> н й в й (с> -» со -' 1о -1.... -» >„> -» >э =» 1>), то говорят, что элементы с>, >и ..., с, образуют цикл длины й. !.56'. Из мнонсества Б„случайно выбирается подстановка.
Найти вероятности событий: а) выбрана тождественная подстановка б) выбранная подстановка злемепты "(й < 1> «... с,) переводит в злементы )>, Ь . °, 1> соответственн(>; в) злемепт ! в выбранной подстановке образует единичный цикл, т, е. ! г) элементы 1, 2, 3 образу!от цикл длины 3: 1- 2- 3- 1 нлн 1- 3- 2- 1; д) все элементы образуют один цикл. 1.57. Найгн вероятность Р„того, что в случайно выбранной подстановке степени п найдется хотя бы один цикл единичной длины, Найти )пп Р„. 1.58". Из множества Ю„случайно выбирается подстановка и. Доказать, что если Х> — длина цикла подстановки и, содерясащего элемент 1, то Р (Х> = й) — прн любом й = 1, 2, ..., и.
1 а 1 59 . Из множества Я„случайно выбирается подстаповка. Найти вероятность того, что злемепты 1 и 2 лежат в одном цикле. 1.60. Обозначим символом [1">2"о... п "1 (см. [91) множество подстановок, у которых а~ циклов длины 1,... и а а»1 .. и сх„циклов длины п. Из множества [1 >2 о...и 1 21 случайно выбирается одна подстановка, Найти вероятности событий: а) выбрана заранее указанная подстановка иэ ~ 1ат2~ т паз), б) элемент т образует единичный цикл; в) выбранная подстановка переводит 1 в !' (т Ф т'). й 2. Реометричеектте вероятности 1.61'. Случайная точка А равномерно распределена на отреане (О, 1) н делит этот отрезок на две части. Пусть т)~ — длина большей части н т)т — длина меньшей части.
Найти Р(тд ==х), Р(т)т< х) прн любом х. 1.62'. Случайная точка А имеет равномерное распределение в квадрате со стороной 1. Найти вероятности следующих событий: а) расстояттие от точки А до фиксированной стороны квадрата не превосходит х; б) расстояние от точки А до ближайшей стороны квадрата не превосходит х; в) расстояние от точки А до центра квадрата пе превосходит х; г) расстояние от точки А до фиксированной вершины квадрата не превосходит х.
1,63'. Случайная точка А имеет равномерное распределение в прямоугольнике со сторонами 1 и 2. Найти вероятности следующих событий: а) расстояние от А до ближайшей стороны прямоугольника не превосходит х; б) расстояние от А до любой стороны прямоугольника не превосходит х; в) расстояние от А до днагонйлей прямоугольника не превосходит х. 1.64*.
Случайная точка А имеет равномерное распределение в квадрате со стороной а. Найти вероятность того, что расстояние от А до ближайшей стороны квадрата меньше, чем расстояние от А до ближайшей диагонали квадрата. 1.65'. Случайная точка Х имеет равномерное распределение в квадрате А = ((х, у): !х! < а, !у) -.= а). Найти вероятность того, что квадрат с центром Х и сторонами длины Ь, параллельными осям координат, целиком содернтнтся в квадрате А. 1.66.
Случайная точка Х равномерно распределена в квадрате А = ((х, у): !х! + !у) < а). Найти вероят 22 ность того, что квадрат с центром Х и сторонами длины Ь, параллельными осям координат, целиком содержится в квадрате А. 1.67. Случайная точка Х равномерно распределена в правильном треугольнике с вершинами (а, 0), ( — а, 0), (О, атЗ). Найти вероятность того, что квадрат с центром Х н сторонами длины Ь, параллельными осям координат, целиком содерятнтся в этом треугольнике. 1.68. Случайная точна Х равномерно распределена з круге Я = ((х, у): хт + у' < )тт).
Найти вероятность того, что параллельный оси абсцисс отрезок длнпы Л с серединой в точке Х целиком содержится в круге Я. 1.69. Случайная точка А имеет равномерное распределение в правильном и-угольнике. Найти вероятность Р„того, что А находится бляже к границе многоугольника, чем к его диагоналям. Найти такие числа С и а, что Р„= Сп'(1+ о(1)), п 1.70'. Случайная точна (зь делена в единичном квадрате 0 ~ и < 1). Обозначим т) число многочлена 3т) разномерно распре- К ((а, тт); 0<и<1, действительных корней 1 т т ха Найти вероятности Р (т) й), у=1, 3. 1.71'.
На паркет, составленный из правильных й-угольпиков со стороной а, случайно бросается монета радиуса г. Найти вероятность того, что упавшая монета не заденет границу ни одного ив Й-угольников паркета для: а) У=З; б) у=4; в) а-б. 1.72'. Случайно подброшена монета. Будем считать, что толщина монеты равна 0 н что вектор нормали, приложенный к стороне монеты с гербом, при вращении образует конус (рис. 2). Ось конуса обрааует угол 6 '(-я/2 < 6 < я/2) с горизонтальной плоскостью, а— угол между образующей конуса и его осью (О < а < Я я/2).
В момент падения монеты конец вектора нормали равномерно распределен на окружности основания 23 конуса. Найти вероятность р(а, 9) того, что монета упадет гербом вверх. При каких условиях р(<х, О)= 1/2) Н« н, Рвс. 2 1.73'. Парадокс Бертрана. В круге радиуса /1 случайно проводится хорда. Обозначим з ее длину. Найти вероятность 4) =Р($) х), если середина хорды рав-. номерно распределена в круге. Вычислить вероятности С,»в и с,»в»4» того, что длина хорды больше стороны правильного вписанного шестиугольника и треугольника соответственно. Результат зависит от того, как понимать слово «слу~ чайно». См.
задачи 1.74 и 1.75. 1.74'. Решить задачу 1.73, если направление хорды задано, а ее середина равномерно распределена на диаметре, перпендикулярном ее паправленисо. 1.75'. Решить задачу 1.73, если один конец хорды за* креплен, а другой равномерно распределен на окружности. 1.76. На плоскость, разлинованную параллельными прямыми (расстояние между соседними прямыми равно 2а), брошена полуокружность радиуса г ( а; точка (<р, х) (х — расстояние от центра окружности до ближайшей прямой, 0 <х( а; ср — угол между этой прямой и диаметром, соединяющим концы дуги) равномерно распределена в прямоугольнике 10, а) Х ( — я/2, я/2). Найти вероятность того, что прямая будет иметь Ь (Ь = О, 1 2) пересечений с полуокружностью.
1.77 . В иптервале времени (О, Т~ в случайный момент и появляется сигпал длительности Л. Приемник включается е случайный момент оси (О, Т) на время й Предположив, что точка (и, и) равномерно распределе. 24 па в квадрате (О, Т'1Х ("О, Т), нанти вероятность обнарум<епяа сигпала. 1.78'. Пассажир мо»с<ет воспольаоваться трамваями двух маршрутов, следующих с интервалами Т<, Ть Момент прихода пасса»<сира определяет на отрезках (О, Т<], (О, Т«) числа и и и, равные зре»сена»с, оставшимся до прихода трамвая соответствусоШего маршрута.
Предполагая, что точка (и, о) равномерно распределена па П ((и, и): 0 < и ( Т„О < о ( Т»), найти вероятность того, что пассан<ир, пришедший на остановку, будет я<дать не польше 1 (О( г ( ппп(ть тз)). 1.79. Однородный прямой круговой цилиндр случайно бросается на горизонтальную плоскость. Найти вероятность того, что цилиндр упадет на боковую поверхность, если его высота Ь, а радиус основания г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
