А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 2
Текст из файла (страница 2)
При вычислении вероятности по формуле (1.2) часто оказываются полезнымн различные комбинаторные формулы. Приведем основные иа ннх. Пусть дано множество Л' нз Л' элементов: Л'=(а!, аа, ..., ав). Подмножест- 6 ва множества Л' называют сочетаниями. Число сочетаний, которые можно обрааовать из )у элементов Л', выбирая различными способами подмножества по иэлементов, обозначают Сн илы (В~). Справедливы формулая й тт! !н! я — п Сн в! ю! !Л н)1 С" С где и!=1 2.... ин й7!"! = !У(М вЂ” 1)...(Ю вЂ” и+ 1). (1.5) Упорядоченные цепочки а! аз ... ач, образованные из рава личных элементов Л', называют размещениялш.
(Размещениями являются, в частности, элементарные события ы =(й, ..., з,) в схеме случайного выбора без возвращения (1.4). Число размещений иэ М элементов по и, т. е. число различных упорядоченных цепочек длины и нз )т' элементов Л', обозначают Ая. Для Ай имеем формулу Ан №в!. Размещения с и = М называют перестановками. Число различных перестановок, образованных из Л' элементов, равно )у! Пример 1.2, В урне лежат пять карточек, занумерованных числами 1, 2, 3, 4, 5, По схеме случайного выбора с возвррщеннем из урны трижды вынимается карточка.
Какова вероятность того, что ровно в двух случаях нз трех будут вынуты карточки с нечетными померамн? Решение. Вероятностная схема определяется формулой (1.3) с Л'= 5, и 3; элементарное событие ы =(1и 1а, !з) соответствует номерам вынутых карточек. Так как з!, (з, ззш(1, 2, 3, 4, 5), то существует ровно 5 ° 5 5 = 5з = 125 различных элементарных событий оэ =((ь 1з, 1з)шЙ. Значит, !Й! =5а=125. Далее, В= (ровно в двух случаях из трех вынимаются карточки с нечетными номерами) = (ы =(1!, зз, аа)ш Й: ровно одно из чисел рн 1г, зз четное) В~ 0 Вз 0 Вз, где события Ва = (ы (й, рм 1з)ш Й: число 1, четное, а остальные два числа нечетные), )а=1, 2, 3, попарно не пересекаются. При любом й = 1, 2, 3 число раалнчных ы = (1!, Вь 1а)ш В„равно 2 3.3-18 ()г-ю карточку можно выбрать двумя способами, а каждую из двух остальных — тремя).
Поэтоыу )В! = )В1 0 Вз 0 Вз! !В!! +, г) !Ва)+ !Вз! =3.18 54 и Р(В) = 1 — — = 0,432. )В! 54 ! 0 ! 125 и Пример 1.3. Найти вероятность того я«е события, что в примере 1.2, для схемы выбора без возвращения. Р е ш е и и е. Вероятностпая схема определяется формулой (1.4) с >>> 5, и* 3. В отличие от примера 1.2 элементарные события о> =(1>, >ь 1«) являются теперь разме>цепиями, т. е.)й( А;„'=5 4 3 60. Используя ге же обозначения, что в примере 1.2, находим, что В В> О В«О В«, В> О В, = >з> при Ь Ф1, и что )В,) А', А>-2 3 2 12 при любом Ь 1, 2.
3 (й-ю карточку можно выбрать А,' 2 способами, а пару остальных — А«3 2 способамв), Поэтому теперь (В) (Вт)+ (Вэ)+ )Вз) = 3'12 36 и Р(В) = — —, 0,6. > 1>) 36 ~а~ со и Часто оказывается полезной следу>ощая классиче. сная формула, известная как уточненная формула Стирлинга (см. (11), т. 1, с. 73, (9.15) ): эл и) *'т'2иии"в "в'"' <.Оп(1 (16) 1 12в+ 1 В формулировках некоторых задач используется выражение: «целое число а сравнимо с целым числом Ь по модулю л>э (ж — целоЕ), нли, в символической записи, а Ь(шо>1 тл).
(1.7) Сравнение (1.7) эквивалентно утверждепи>о: существует такое целое число 1, что а — Ь 1т (т. е. а я Ь прв делении на т дают одинаковые остатки). В частности, запись а аи 0 (шой т) означает, что а делится без остатка на и. Целую часть действительного числа х (наибольшее целое число, не превосходящее х) будем обозначать (х). Рассмотрим второй класс вероятностных пространств (й,,Ф, Р). Пусть й — множество в и-мерном евклидовом пространстве, объем р(й) которого положителен и конечен; о-алгебра,Ф состоит из всех измеримых (т.
в. имеющих объем) подмноя«еств А с й. Вероятность Р определяется равенством Р (А) - — "'„"', А .ж. (1.8) Определение вероятности (1.8) называют звометричв ским определением вероятности. Пример 1.4. Коля и Петя договорились встретиться на остановке автобуса между 9 и 10 часами. Каждый, придя на остановку, ждет другого 15 минут, а потом уходит. Найти вероятность встречи Коли н Пети,.пред полагая что моменты их прихода являются координатами точки, имеющей равномерное распределение в квадрате (9, 10) Х[9, 10).
Решение. Пусть Коля приходит на остановку в 9 ч и мнн, а Петя — в 9 ч. э мин. 15 В качестве множества элементарных событий выберем й= ((и, э)> 0< и<60, >5 Л> а 0 < э < 60). Рвс. 1 Тогда событие А = (встреча Коли и Пети происходит) соответствует множеству А=((и, о): (и — э! <15, О-=и<60, 0<о<60)<='й, изображенному на рис. 1. Так как р(й) 60', р(А) ° 60« — 45« = 60« ~1 — ® ) т .9)« то по формуле (1,8) находим ! Приведем формулы, которые часто используются при решении задач. Пусть А обозначает событие, противоположное событию А.
Для любых событий А>, Аи ... имеем () Аэ= П 4>м П .4.в () Аэ ' (19) в=»>-> н > » ь При любых А и В верна формула Р(А О В) = Р(А)+ Р(В) — Р(А й В), (1.10) в частности, при А О В д> имеем 10 Р(А О В) Р(А)+ Р(В). (1Л1) И Вероятность объединения произвольных и событий находится по формуле вв Р(А,() А,()... () А„) = ~ Р(А ) — ~ Р(А» ЙА» )+ з 1 в«» ~«,«з 1 + Х Р(А», ЙА»,ЙА» )— 1«» («(» «» ... + ( — 1)" 'Р(А, Й.4»Й... Й.4з) п 1 (-1)~ ~ Х Р(А» Й .
° ЙА»,) (1.12) в в в«а «...~»,«з П р и и е р 1.5. Четыре поздравительных открытки случайно разлоявены по четырем конвертам с адресами. Найти вероятность того, что хотя бы одна открытка попала в свой конверт. Р е ш е н и е. Множество элементарных событий 1« состоит из всех расположений открыток по конвертам: (1? ~ = 4! = 24. Событие А (хотя бы одна открытка попала в свой конверт) можно представить в виде А А~ОА»0А»0А« где Ав=(1-я открытка попала в свой конверт).
По классическому определенпю вероятности 31 1 2! 1 Р(А«) = — '= —, Р(АвЙА») = —,~ = 4, 41 4' ' з 4! 43' Р(А, Й А, Й Аз) Р (Ав Й А, Й Аз Й Ав) = — „, Нетрудно проверить, что при любых попарно различных 1, ), й Р(Ав) = Р(А») 4 ' Р(А«Й А ) Р(А»ЙА») 12" Р(А»ЙА»ЙА«) = Р(А»Й А»Й Аз) = —,„° По формуле (1Л2) находим Р(А,()А,()А,цА,) = 1 з 1 з 1,« 1 5 4 — — С,—,, +С,'.— — С,—, 4 12 в 24 ' 24 « ' Во всех задачах 4 1 данной главы предполагается, что элементарные события равновероятны; слова «слу- чайное»', «случайно выбирается» нужно понимать как предположение о равновероятности элементарных событий. В 3 2 выражение «точка равномерно распределена иа множестве (в» означает, что вероятности нужно вычислять по формуле (1.8).
й 1. Классическое определение вероятности 1.1 . Иэ ящика, содержащего три билета с номерами 1, 2, 3, вынимают по одному все билеты. Предполагает- ся, что все последовательности номеров билетов имеют одинаковые вероятности. Найти вероятность того, что хотя бы у одного билета порядковый номер совпадает с собственным. 1.2'. Колода из 36 карт хорошо церемешана (т.
е. все возможные расположения карт равйбвероятны). Найти вероятности событий: А = (четыре туза расположены рядом), В (места расположения тузов образуют арифметическую прогреесию с шагом 7). 1.3'. На полке в случайном порядке расставлено 40 книг, среди 'которых находится трехтомиикА.С,Пуш- кина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в по- рядке возрастания слева направо (но не обязательно рядом). 1.4'.
Брошено три монеты. Предполагая, что элемен- тарные события равновероятны, йайти вероятности событий: А = (первая монета выпала «гербом» вверх), В = (выпало ровно два «герба»), С = (выпало не больше двух «гербов»). 1.5. Иэ множества всех последовательностей длины л,состоящих из цифр О, 1, 2, случайно выбирается одна. Найти вероятности событий: А = (последовательпооть начинается с О), В = (последовательность содержит ровно и+ 2 нуля, причем 2 нз них находятся на концах последовательности), С = (последовательность содержит ровно ьч единиц), ?) = (в последовательности ровно тз нулей, лвв единиц, л»з двоек). 13 1.6'. Иэ 28 костей домино случайно выбираются двв.
Найти вероятность Р» того, что из нях можно составить «цепочку» согласно правилам игры. 1.7 . В записанном телефонном помере 135 — 3.—.. три последние цифры стерлись. В предположении, что все комбинации трех стершихся цифр равновероятны, найти вероятности событий: А = (стерлись рааличные цифры, отличные от 1,3, 5), В = (стерлись одинаковые цифры), С = (дзе из стершихся цифр совпадают). 1.8', Какова вероятность того, что четырехзпачнгзй номер случайно взятого автомобиля в болыпом городе: а) имеет все цифры разные? 6) имеет только дее одинаковые цифры? в) имеет две пары одинаковых цифр? г) имеет только три одинаковые цифры? д) имеет все цифры одинаковые? 1.9'.
Найти вероятность р» того, что случайно взятое натуральное число из множества (1, 2, ..., М делится на фиксированное натуральное число Й. Найти Иш р„. к о 1.10. Из чисел (1, 2, ..., М случайно выбирается число а. Найти вероятность р» того, что: а) число а не делится ни на а<, ни на ап где а< и ат — фиксированные натуральные взаимно простые числа; б) число а не делится нп на какое из чисел а<, а2, ..., а„где числа а< — натуральные и попарно взаимно простые. Найти Игв р» в случаях а) и 6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
