А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Пусть А1=(выигрывает игрок на- чазший игру), Аз (выигрывает второй участник), В =(игра закончилась вничью). Найти Р(А»), Р(А»), Р(В). 2Л! . Из урны, содержащей Ж4 белых шаров, Мз чер- ных и Юз красных, последовательно без возвращения из- влекают шары до тех пор, пока не появится красный шар, Используя формулу (2.3), найти вероятности сле- дующих событий: 1) вынуто и, белых шаров и пз черных; 2) не появилось нн одного белого шара; 3) всего вынуто Й шаров. 2Л2'. Из урны, содержащей а белых и Ь черных ша- ров, два игрока извлекают шары по очереди. Выигрывает тот, каму раньше попадается белый шар. Найти вероят- ность выигрыша первого игрока в случаях, когда шары извлекаются: а) по схеме равновероятного вгябора с возвращением, б) по схеме равновероятного выбора без возвращения.
2ЛЗ'. Из урны, содержащей а белых и Ь черных ша- ров, три игрока извлекают шары по очереди. Выигры- вает тот, кому раныпе попадается белый шар. Найти вероятности Р», Рм Рз выигрыша 1-го, 2-го, 3-го игроков в случаях, когда шары извлека»ется: а) по схеме равновероятного выбора с возвращением, б) по схеме равновероятного выбора без возвращения. 2Л4. На остановку прибывают автобусы маршрутов 1, 2, ..., Ь.
Номера последовательно прибывающих авто- бусов получаются по схеме равновероятного выбора с возвращением из урны, содерн»ащей шары с номерами 38 1, 2, ..., й. Найти вероятность Р„того, что до появления автобуса маршрута 1 яи на одном из остальных марн»ру- тов не придет более одного автобуса. Прн каком мини- мальном й ~ 2 эта вероятность меньше 1/27 $2.
Независимость событий В аадачах 2Л5 — 2Л9 предполагается, что задано ве- роятностное пространство; требуется выяснить, зависимы илн независимы некоторые события. 2Л5. Брошены две игральные кости. Положим А, = (число очков, выпавшее на первой кости, делится на (), В, = (число очков, выпавшее на второй кости, делптся на (), С, = (сумма очков, выпавших на первой и второй костях, делится на Н.
Отправляясь от классического определения вероятности, установить, являются ли независимыми следующие пары событий: а) Аь В, — при любых (, Й; б) Аз, Сз,. в) А», С»7 2.16. Игральная кость брошена 2 раза, Х» и Хз— числа очков,' выпавшие при этих испытаниях. Рассмот- рим события А» (Х» делится на 2, Хз делится на 3), Аз (Х» делится на 3, Хз делится на 2), Аз (Х~ делится на Хз), А» = (Хз делится на Х,), Аз = (Х~ + Хт делится на 2), А» = (Х| + Х» делится на 3). Найти все пары (Аь А,), тройки (А„Аь А») и т. д.
взаим- но независимых собнмий. 2.17. Случайная точка ($ь йз) имеет равномерное распределение в квадрате ( (х~, хт): О ~ хь хг ~ 1). При каких значениях г независимы события А,. = (351 — $»! ~ г) и В„($~+ фз (Зг)7 2.18. События А и В независимы. Являются ли неза- висимымп события: а) А и В, б) А и В7 2.19.
Случайная точка 5 =(Зь цз) имеет равномерное распределение в квадрате О ( х, у ( 1. Пусть А, = ) $ ( з 1, А = ~$» е .— ~4 Аз = ф, Я~В, — —,') < О~. Покаэать, что любые два события иэ Ап Ат, Аз независимы, но все три события Аь Аю А«эависимы. Являются ли эависимыми события А»А«и А«7 2.20 (см.
2Л9). Обобщая пример, приведенный в предыдущей задаче, покаэать, что для любого целого и ~ 4 существует совокупность (А», ..., А ) событий, обладающая следующими свойствами: а) события А», ..., А не являются неаавнсимыми, б) при удалении иа А», ..., А„любого события остающаяся совокупность состоит иэ независимых событий. 2.21*. События А», Аю ..., А„удовлетворяют условиям Р(А»)=Р»Р(() А, =Р,...Р, 1 1 2 я 1з-» Является ли (А», ..., А ) совокупностью независимых событий7 2.22*. Пространство элементарных событий 1«состоит иэ я элементов. При каких Й на подмножествах Й можно определить вероятность Р и события А», ..., А„так, чтобы события А», ...,' А, были независимыми в совокупности и 0( Р(А )(1 (» 1, 2, ..., Й)7 2.23«. Пространство элементарных событий Я состоит ив я > 4 элементов.
Прв каких Й можно так определить ка подмяв«кествах й вероятность Р и события А», ..., А„, что 0(Р(А,)(1 (»=1, ..., Й) и события А», ..., А„ попарно незаэпскмы7 В эадачах с 2.24 по 2.28 преиполагается неаависимость некоторых собгэтий; требуется вычислить вероятности других событий. 2.24'. Упрощенная система контроля изделий состоит нэ двух независимых проверок. В реэультате Й-в проверки (Й 1, 2) изделие, удовлетворя»ошее стандарту, отбраковывается с вероятностью 3«, а бракованное иэделие принимается с вероятностью а,, Иэделие принимается, если оно прошло обе проверки. Найти вероятности событий: а) бракованное изделие будет принято; б) иэделие, удовлетворяющее стандарту, будет отбра. ковано.
2.25'. Измерительное устройство состоит иэ двух при. боров. Вероятность безотказной работы Й-го прибора эа Рассматриваемый период времени равна 1 — а, (Й 1, 2)', Оценить вероятность л того, что оба прибора будут ра. ботать: а) если поломки происходят неэависимо; б) если ничего не иэвестно о вависимости между поломками этих приборов. 2.26' (см. задачу 1.38). Два человека купили по одной карточке лотереи «6 иэ 49« и независимо друг от друга отметили по 6 номеров.
Найти вероятности событий: а) каждый получит минимальный выигрыш; б) каждый получит какой-либо выигрыш. 2.27. Электрическая цепь составлена из элементов А„ Й = 1, 2, ..., 5, по схеме, приведенной на рис. 4. При Ркс. 4 выходе иэ строя любого элемента цепь в месте его вялю» чения раэрывдется. Вероятность выхода иэ строя ва данный период элемента А„равна р„, Й-1, ..., б. Предполагается, что элементы выходят или не выходят иэ строя неаависимо друг от друга, Найти вероятность события С = (эа рассматриваемый период по цепи может проходить ток).
2.28'. По цели проиэводнтся п независимых выстрелов. Вероятность попадания при 1-и выстреле равна ре 1 = 1, ..., п. Найти вероятность того, что при п выстрелах будет не менее двух попаданий. 5 3. Формула полной вероятности е 2,29'. В первой урне находятся 1 белый и 9 черных шаров, а во второй — 1 чернъш и 5 белых шаров. Иэ каждой урны по схеме случайного выбора беэ воэвращения удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну, Найти вероятность того, что шар, вынутый из третьей урны, окаж ся белым. 2.30'.
В первой урне лежит елый шар и 4 красных, а во второй — 1 белый и 7 красных. В первую урну до- «г бавлаются два шара, случайно выбранных иэ второй урны. а) Найти вероятность того, что шар, выбранный иэ пополненнов первой урны, будет белым. 6) Пусть из пополненной первов урны по схеме слу. чайного выбора с воавращенвем извлекают Ф отаров. Найти вероятность того, что все онв будут белыми. 2.31'.
Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных ша. ра, наудачу извлекают 2 шара и добавлягот в урну олин белый шар. а) Найти вероятность того, что после этого наудачу выбранный из урны шзр окажется белым. 6) Пусть из урны по схеме случайного выбора с воз- вращепием извлекают й шаров. Найти вероятность того, что все они белые. в) Найти ту же вероятность, что в и. 6), для схемы выбора беэ возвращения. 2.32 . В пункте проката имеется 10 телевизоров, для которых вероятность ясправвой работы в течение месяца равна 0,90, и 5 телевизоров с аналогичной вероятностью, равной 0,95.
Найти вероятность того, что два телевизора, взятые наудачу в пункте проката, будут работать ис- правно в течение месяца. 0 ь 2.33. В одной урне содержится 1 белый в 2 чернгзх шара, а в другой урне — 2 белых и 3 черных шара. В третью урну кладут два шара, случайно выбран- ных иэ первой урны, и дза шара, случайно выбранных из второй. а) Какова вероятность того, что шар, извлеченный из третьей урны, будет белым7 6) Найти вероятность того, что при выборе с возвра- щением из третьев урны двух шаров один из них будет белым, а другой — черным. в) Найти ту же вероятность, что в и.
6), для схемы выбора без возвращения. 2.34 . Иэделия поступают нз проверку, описанную з задаче 2.24, Предполагая, что каждое изделие удовлетво- ряет стандарту с вероятностью р, найти следующие ве- роятности: а) вероятность того, что поступившее на проверку изделие не будет отбраковано; б) вероятность того, что неотбракованное иэделие удовлетворяет стандарту, 2.35'. Иэ урны, содержагцей М белых н )Р— М че- чер- ных шаров, утеряно г шаров, Сравнить вероятности нз- фх влечения белого шара: а) до утери; б) после утери при г= 1; в) после утери при г) 1.
2.36. Отрезок [О, а) случайной точкой делится на две части, нэ которых случайно выбирается одна часть. Обозначим ц длину выбранной части. Найти Р(г) изл), 0~ кл ма, предполагая, что координата $ случайной точки равномерно распределена на отрезке [О, а) и вероятности выбора любой из полученных частей отрезка одинаковы. 2.37. Прн переливании крови надо учитывать группы крови донора и больного. Человеку, имеющему четвертую группу крови, можно перелить кровь любой группы; человеку со второй или третьей группой крови можно перелить кровь либо той жс группы, либо первой; человеку с первой группой крови можно перелить только кровь первой группы. Среди, населения 33,7 % имеют первую, 37,5 7з — вторую, 20,9 % — третью и 7,9 % — четвертую группы крови.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
