Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей

А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей, страница 11

DJVU-файл А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей, страница 11 Теория вероятностей и математическая статистика (2653): Книга - 3 семестрА.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 11 - страница

Их„. (3.12) Для действительной случайной величины 4 математическое ожидание М6" называется к-м моментом или моментом й-го порядка, М(Э(ь называется абсолютным моментом й-го порядка, М(Э вЂ” МЦ' — цептральпъиь моментом Й-го порядка, М!9 — М~Р— абсолютным центральным моментом й-го порядка.

Факториальным моментом й-го порядка называется мзы'=ма($ — 1)...(з— — й+ 1). Второй центральный момент называется дисперсией и обозначается 0$ МЯ вЂ” МЗ)г. Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратическим отклонением. Пример, 3.7. Для случайной величины ц, определенной в примере 3.2, найти Мц и 0т). Р е ш е н и е. Если плотность распределения известна, то для вычисления Мт) удобно воспользоваться формулой ,(3.6), а для вычисления 0~) формулой О 09 = ( (х — Мт))'р„,(х) дх„ которая является частным случаем (3.9) с я (х) (х; Мт~)~. Подставляя в эти формулы плотность распределения р„(х), вычисленную в примере 3.2, получим 1 1 Мц- х — дх= —,, 0Ч = ) ~х — — ) — Ых= —.

91,-, З Ц З) 91„44 а о Можно было также воспользоваться формулами (3.9) при я(х)-х', я(х) (х — Мц)' с заменой рь(х) на плотность р:, (х), определенную в примере 3.1: 1 М) М( ) р()д -) зд = — „ О 06-М~В,— ) = ~'~х,), (х)д. т 1'Л 4 =й --)"=-- 3) 45 о 49 Матеататическое о>>сиданке М$>> произведения двух случайных величин $ и т> называется смешанным вторым моментом. Смешанный центральный второй момент М(з — Мз) (т> — Мт>) называется ковариацивй случайных величин $ в т> и обозначается сочЯ, т)), Коэффициетттом корреляции $ п ц называется отношение р Ц, т>) сот (1, И> ; всегда [р($, т>) [ -'= 1, Случайные величины у пй пт> $ п т> некоррслированы, если р(в, ц)=0.

Ковариационной матрицей случайного вектора З=(й>, .„$„) называется матрица С = С(ь) = )сот(ьп ьз)[>ь> т. Матрица С(й) неотрицательпо определена. Отметим важные свойства математических ожндапнй: 1. Свойство аддитивности: для любых з и т) с копечными М$ и Мт) М(3+ ц) = Мй+ Мц, ,'(ЗЛ3), 2. Свойство линейности: для любого числа с М(с$) сМ$. '(ЗЛ4)' 3.

Свойство мультипликативности: для любых зезависимых $ и т> с конечными М$ и Мт> Мйп = МЕМц. (ЗЛ5)' С помощью зтих свойств легко получаютсв следующие | формулы для вычисления дисперсия и коварпацни: Ой=Муз — (Мй) =МЗ +Мй-(МЗ) сот($, т>) = М$>> — М$М>В для независимых $>, ..., Е и 0(зт+ .. +ь„) = лэ' Оьь, сот(ьп ьз) = 0 (тт-1). (ЗЛО) ь 1 В общем случае ОД, + ...

Ц $„) = ~ч', 0$ь ->- 2 ~З~ сочфд, Цт). и т твь~тль Если векторы $>п- ®>, ..., ~тт>), . ггь> (з< > ..., $, ) независимы и СЙ~~~) СЙ~ >) — соответст- вующие пм матрицы ковариаций, то С(Ц'и+... + Ц'">) С(ф'и)+... + С($'">), (ЗЛ7) Если имеются две дискретные случайные величины с и т>, то условная вероятность события Ц х,) врп условии т) у, определяется равенством Р(з=эт И=>0) Р(з хт[т> =у>) = ' '') . (3.18) Р(т>=у) Совокупность условных вероятностей (3.18) прп всех т задает условное распределение случайной величины при условии т> =уь Условное математическое ожидание $ при условии т) =у> определяется формулой М (з [ т) = у>) = ~~ х>Р Д = хт [ т> = уз) = э,-Р (й = хт, т> — — у>) Формулы '(3.18) н (3.19) определяют условные вероятности и условные математические ожидания при условии т>=уг Условные вероятности РЦ хт[т>) и условные математические ожидания М(З[т>) при условии т> определяются как случайные величины, принимающие па каждом множестве (ю: т>(ю) = у,) = 0 значения (ЗЛ8) и (3.19).

Общие определения условных распределений и условных математических оптидапий можно найти в книгах А. А. Боровкова [2), А. Н. Колмогорова [5), Б. А. Севастьянова [10). Вычисляя математическое ожидание от условного математического ожидания МЦ[ц), получаем полезную формулу МЗ = М [МЦ[цЦ.

,'(3.20) В частности, РЦ = х ) = МРЦ = хт [т>). [(3.21) Для вычислення 0$ можно испольаовать формулу Щ М[ОЦ[т)Ц+ 0 [МЦ[т>Ц, (3.22) где условная дисперсия ОЦ[т>) определяется формулой 0(([т>) = ~(хт — М($[т))) РД=хт[т)). (3,23) Аналогичные формулы верны и для абсолютно непрерывных распределенвй. Условная плотность е при условии т> у определяется формулой бп у> Р. Кп у) рз>и у(х) "(' — "" ',.

(3.24) ут п(в у) Лв Ю а условное математическое ожидание — формулой в » )»рв „(х, у) ве М($)т) у) ~ хр „„(х)дх рь„(х, е) в» вэ Рассматривая условную плотность рн„(х) как случайную величину, которая при в) = у принимает аначение Рив-»(х), получаем вв М(ь)т() = ) р (х)с(х (6) тв) = » (х — М(ь(т())вр Формулы (3.20) и (3.22) остаются справедливыми и в этом случае, а (3.21) заменяется формулой р ( ) =Мрв,( ).

Перечислим основные способы вычисления математического ожидания. При подходящем способе задания закона распределения случайной величины наиболее удобным может оказаться прямое вычисление по формулам '(3.6)„(3.7) или (3.9), '(3.11), (3.12). Иногда легко вычисляются нли имеют простой вяд условные математические ожидания. Тогда для вычисления безусловных математических ожиданий используется формула полного математического ожидании (3.20).

Использование свойств аддитивности и мультипликативности математического ожидания позволяет свести вычисление М$ к более простым вычисленяям математических ожиданий величин, через которые удается выразить $. Наиболее частым среди таких приемов является прием введения сумм индикаторов. Индикатором события А называется случайная величяпа»(» )(»(«в), принимающая значение 1„если ев«е А, и значение О, если «в Ф А.

Часто оказывается, что можно указать такие события Ав, А», ..., А», что интересующая нас величина представляется в виде ~(А1 + ~~А» + ' + ~(лп' 62 Особенно удобно то, что свойство аддитивности верно и для зависимых слагаемых. Таким образом, и и М~ ~ М)(„= ~ Р(А»). 4 1 4 4 1 Пример 3.8. Пусть т(„— чвсло переходов от успеха к неудаче или обратно в и испытаниях схемы Бернулли, в которой вероятность успеха в отдельном испытании равна р. Найти Мв)„и От( . Р е ш е н и е. Представим в( в ваде суммы индикаторов »(.-Ь+В»+" +$ -1, где $< 1, если исходами 1-го и (1+1)-го испытаний были соответственно «успех» и «неудача» или «неудача» и «успех». В противном случае $в = О.

Тогда М$1 = Р(сс = 1) р (1 — р) + (1 — р) р = 2р (1 — р) и, следовательно, Мс(„М$в+... + М$„-1= 2(п — 1)р(1 — р). Найдем теперь Мт('.. Так как » — 1 .в-1 » — 1 . »-В и — 1 Вв Х М+ л,.' $Д»= Х $1+ 2Д Ыс+1+ Х И1 си 1 11" 1 11 сд1 (;» П-1(~» МьЛ~ ° — р(1 — р) р+ (1 — р) р(1 — р) = р(1 — р). МКД» М$1М$, =4р'(1 — р)в ()1 — 7') -:2), то Мв(„' = 2р(1 — р) (п — 1) + 2(п — 2) р(1 — р) + -(- 4рв (1 — р)1(пв — бп -(- 6). Отссода, используя обозначение д 1 — р, получаем Ос(» Мс('„— (Мв(„)» 4ру (1 — 3ру) и — 2ру (3 — 10ру). Способы вычисления математических олсиданий с помощью производящих к характеристических функций рассматриваются в гл.

4, При вычислении математического ожидания можно пользоваться также теоремой о монотонной сходимостаи (если $„( Ь„+„и = 1, 2... „1!пс 5„$ и М$„, Мь гдг!а д» ) тт с' конечны, то М$ = 1пп М$„) и теоремой о мажорирувв гг мой сходимости (если ) з„( < т), Мтт < оо, и з 11дп ь„ х с вероятностью 1, то М2 =1!га М$„). В частности, если Ог $ ~~~з 5„, где $„)0 и ~~~ЗМ$„сходится,то д в М~ ~~ М$х. Приведем в заключение часто встречающиеся законы распределения. Сначала перечислим некоторые дискротные распределения. 1, Вырожденное распределение: Р($ = а) 1, а — постоянная.

2. Гипергеомвтричвсков распределение (параметры: гг', Лт, п — натуральные числа, М ~ )у, и ~)т'): ~мсн-йд Рф=т)= ~ и', т 0,1, ...,дпдп(М,п). 3. Биномиальног распределение (параметры: и — натуральное число, 0 -= р < 1): Р(ьь=й)=С~~Р" (1 — р)" и, Ь 0,1, ...,и, 4. Распределение Пуассона с параметром )д ~ Од Р Д = /с) = — „', в ', Ь = О, 1, 2, ...

5. Геометрическое р(О<у<1): Р($ Ы = р(1 — р)", )и = О, 1, 2..., Далее перечисляются некоторые абсолютно непрерывные распределенпя, определяемые плотностью р(х). 1. Равномерное распределение на отрезке (а, Ь), а < < Ь: р(х) = —, если а ~ х < Ь, р(х) = О, если х ти (а, Ь). 2. Пормальное (пли гауссовское) ргсиределеппе с параметрами а, о', — <а<, 0<о< 1х — а)х Р(х) = ехр~ —,, — с <х< оз. ~/2л о ~ 2од Пормальное распределение с параметрами (О, 1) пазьдвают такяде стандартным нормальным распределением.

3. Показательное распределение с параметром Х) 0: р(х) Хв ' (х~ 0)„р(х)= 0 (х( 0). 4. Гамма-распределение с параметрами Х ) О, и ~ 0: »а а — д р (х) — в ' (х а 0), р (х) = 0 (х (~ 0) гь .. Г( )-) ~-"-*и* - -фг ~-). о 5. Распределение Коши с параметром Ь ) 0: 1 Ь р (х) = —, — оо < х < со. 1+Ь х Введем еще многомерное нормальное распределение. Геля случайные величины Ьг, Зх, ..., $, независимы и имеют норьтальддые распределения с параметрамп (аы ои), гс = 1, 2, ..., г, соответственно, то и-мерная плотность нормального распределения имеет впд Ри „лг(хдг ° ° ° хг) = ,1 ( 1 -и (хи — аи»и-~ (2Я)ихо ...

о ~ 2 а ои Если в (3.25) а~ =аг ...=а,=О н о|= от =... о, о, то мы имеем плотность сфвричвски симметричного нормального распределения р (хд, ..., х,) =, ехр~ — —,,,хг х, . (3.26) Ьд„..лг т' ' ' ' (2„)гтх,тг ~ 2от »Ьг Эта плотность инвариантна отпосительпо ортогональных преобразований пространства В", оставляющих на месте начало координат.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5232
Авторов
на СтудИзбе
424
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее