А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей, страница 11

Их„. (3.12) Для действительной случайной величины 4 математическое ожидание М6" называется к-м моментом или моментом й-го порядка, М(Э(ь называется абсолютным моментом й-го порядка, М(Э вЂ” МЦ' — цептральпъиь моментом Й-го порядка, М!9 — М~Р— абсолютным центральным моментом й-го порядка.

Факториальным моментом й-го порядка называется мзы'=ма($ — 1)...(з— — й+ 1). Второй центральный момент называется дисперсией и обозначается 0$ МЯ вЂ” МЗ)г. Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратическим отклонением. Пример, 3.7. Для случайной величины ц, определенной в примере 3.2, найти Мц и 0т). Р е ш е н и е. Если плотность распределения известна, то для вычисления Мт) удобно воспользоваться формулой ,(3.6), а для вычисления 0~) формулой О 09 = ( (х — Мт))'р„,(х) дх„ которая является частным случаем (3.9) с я (х) (х; Мт~)~. Подставляя в эти формулы плотность распределения р„(х), вычисленную в примере 3.2, получим 1 1 Мц- х — дх= —,, 0Ч = ) ~х — — ) — Ых= —.

91,-, З Ц З) 91„44 а о Можно было также воспользоваться формулами (3.9) при я(х)-х', я(х) (х — Мц)' с заменой рь(х) на плотность р:, (х), определенную в примере 3.1: 1 М) М( ) р()д -) зд = — „ О 06-М~В,— ) = ~'~х,), (х)д. т 1'Л 4 =й --)"=-- 3) 45 о 49 Матеататическое о>>сиданке М$>> произведения двух случайных величин $ и т> называется смешанным вторым моментом. Смешанный центральный второй момент М(з — Мз) (т> — Мт>) называется ковариацивй случайных величин $ в т> и обозначается сочЯ, т)), Коэффициетттом корреляции $ п ц называется отношение р Ц, т>) сот (1, И> ; всегда [р($, т>) [ -'= 1, Случайные величины у пй пт> $ п т> некоррслированы, если р(в, ц)=0.

Ковариационной матрицей случайного вектора З=(й>, .„$„) называется матрица С = С(ь) = )сот(ьп ьз)[>ь> т. Матрица С(й) неотрицательпо определена. Отметим важные свойства математических ожндапнй: 1. Свойство аддитивности: для любых з и т) с копечными М$ и Мт) М(3+ ц) = Мй+ Мц, ,'(ЗЛ3), 2. Свойство линейности: для любого числа с М(с$) сМ$. '(ЗЛ4)' 3.

Свойство мультипликативности: для любых зезависимых $ и т> с конечными М$ и Мт> Мйп = МЕМц. (ЗЛ5)' С помощью зтих свойств легко получаютсв следующие | формулы для вычисления дисперсия и коварпацни: Ой=Муз — (Мй) =МЗ +Мй-(МЗ) сот($, т>) = М$>> — М$М>В для независимых $>, ..., Е и 0(зт+ .. +ь„) = лэ' Оьь, сот(ьп ьз) = 0 (тт-1). (ЗЛО) ь 1 В общем случае ОД, + ...

Ц $„) = ~ч', 0$ь ->- 2 ~З~ сочфд, Цт). и т твь~тль Если векторы $>п- ®>, ..., ~тт>), . ггь> (з< > ..., $, ) независимы и СЙ~~~) СЙ~ >) — соответст- вующие пм матрицы ковариаций, то С(Ц'и+... + Ц'">) С(ф'и)+... + С($'">), (ЗЛ7) Если имеются две дискретные случайные величины с и т>, то условная вероятность события Ц х,) врп условии т) у, определяется равенством Р(з=эт И=>0) Р(з хт[т> =у>) = ' '') . (3.18) Р(т>=у) Совокупность условных вероятностей (3.18) прп всех т задает условное распределение случайной величины при условии т> =уь Условное математическое ожидание $ при условии т) =у> определяется формулой М (з [ т) = у>) = ~~ х>Р Д = хт [ т> = уз) = э,-Р (й = хт, т> — — у>) Формулы '(3.18) н (3.19) определяют условные вероятности и условные математические ожидания при условии т>=уг Условные вероятности РЦ хт[т>) и условные математические ожидания М(З[т>) при условии т> определяются как случайные величины, принимающие па каждом множестве (ю: т>(ю) = у,) = 0 значения (ЗЛ8) и (3.19).

Общие определения условных распределений и условных математических оптидапий можно найти в книгах А. А. Боровкова [2), А. Н. Колмогорова [5), Б. А. Севастьянова [10). Вычисляя математическое ожидание от условного математического ожидания МЦ[ц), получаем полезную формулу МЗ = М [МЦ[цЦ.

,'(3.20) В частности, РЦ = х ) = МРЦ = хт [т>). [(3.21) Для вычислення 0$ можно испольаовать формулу Щ М[ОЦ[т)Ц+ 0 [МЦ[т>Ц, (3.22) где условная дисперсия ОЦ[т>) определяется формулой 0(([т>) = ~(хт — М($[т))) РД=хт[т)). (3,23) Аналогичные формулы верны и для абсолютно непрерывных распределенвй. Условная плотность е при условии т> у определяется формулой бп у> Р. Кп у) рз>и у(х) "(' — "" ',.

(3.24) ут п(в у) Лв Ю а условное математическое ожидание — формулой в » )»рв „(х, у) ве М($)т) у) ~ хр „„(х)дх рь„(х, е) в» вэ Рассматривая условную плотность рн„(х) как случайную величину, которая при в) = у принимает аначение Рив-»(х), получаем вв М(ь)т() = ) р (х)с(х (6) тв) = » (х — М(ь(т())вр Формулы (3.20) и (3.22) остаются справедливыми и в этом случае, а (3.21) заменяется формулой р ( ) =Мрв,( ).

Перечислим основные способы вычисления математического ожидания. При подходящем способе задания закона распределения случайной величины наиболее удобным может оказаться прямое вычисление по формулам '(3.6)„(3.7) или (3.9), '(3.11), (3.12). Иногда легко вычисляются нли имеют простой вяд условные математические ожидания. Тогда для вычисления безусловных математических ожиданий используется формула полного математического ожидании (3.20).

Использование свойств аддитивности и мультипликативности математического ожидания позволяет свести вычисление М$ к более простым вычисленяям математических ожиданий величин, через которые удается выразить $. Наиболее частым среди таких приемов является прием введения сумм индикаторов. Индикатором события А называется случайная величяпа»(» )(»(«в), принимающая значение 1„если ев«е А, и значение О, если «в Ф А.

Часто оказывается, что можно указать такие события Ав, А», ..., А», что интересующая нас величина представляется в виде ~(А1 + ~~А» + ' + ~(лп' 62 Особенно удобно то, что свойство аддитивности верно и для зависимых слагаемых. Таким образом, и и М~ ~ М)(„= ~ Р(А»). 4 1 4 4 1 Пример 3.8. Пусть т(„— чвсло переходов от успеха к неудаче или обратно в и испытаниях схемы Бернулли, в которой вероятность успеха в отдельном испытании равна р. Найти Мв)„и От( . Р е ш е н и е. Представим в( в ваде суммы индикаторов »(.-Ь+В»+" +$ -1, где $< 1, если исходами 1-го и (1+1)-го испытаний были соответственно «успех» и «неудача» или «неудача» и «успех». В противном случае $в = О.

Тогда М$1 = Р(сс = 1) р (1 — р) + (1 — р) р = 2р (1 — р) и, следовательно, Мс(„М$в+... + М$„-1= 2(п — 1)р(1 — р). Найдем теперь Мт('.. Так как » — 1 .в-1 » — 1 . »-В и — 1 Вв Х М+ л,.' $Д»= Х $1+ 2Д Ыс+1+ Х И1 си 1 11" 1 11 сд1 (;» П-1(~» МьЛ~ ° — р(1 — р) р+ (1 — р) р(1 — р) = р(1 — р). МКД» М$1М$, =4р'(1 — р)в ()1 — 7') -:2), то Мв(„' = 2р(1 — р) (п — 1) + 2(п — 2) р(1 — р) + -(- 4рв (1 — р)1(пв — бп -(- 6). Отссода, используя обозначение д 1 — р, получаем Ос(» Мс('„— (Мв(„)» 4ру (1 — 3ру) и — 2ру (3 — 10ру). Способы вычисления математических олсиданий с помощью производящих к характеристических функций рассматриваются в гл.

4, При вычислении математического ожидания можно пользоваться также теоремой о монотонной сходимостаи (если $„( Ь„+„и = 1, 2... „1!пс 5„$ и М$„, Мь гдг!а д» ) тт с' конечны, то М$ = 1пп М$„) и теоремой о мажорирувв гг мой сходимости (если ) з„( < т), Мтт < оо, и з 11дп ь„ х с вероятностью 1, то М2 =1!га М$„). В частности, если Ог $ ~~~з 5„, где $„)0 и ~~~ЗМ$„сходится,то д в М~ ~~ М$х. Приведем в заключение часто встречающиеся законы распределения. Сначала перечислим некоторые дискротные распределения. 1, Вырожденное распределение: Р($ = а) 1, а — постоянная.

2. Гипергеомвтричвсков распределение (параметры: гг', Лт, п — натуральные числа, М ~ )у, и ~)т'): ~мсн-йд Рф=т)= ~ и', т 0,1, ...,дпдп(М,п). 3. Биномиальног распределение (параметры: и — натуральное число, 0 -= р < 1): Р(ьь=й)=С~~Р" (1 — р)" и, Ь 0,1, ...,и, 4. Распределение Пуассона с параметром )д ~ Од Р Д = /с) = — „', в ', Ь = О, 1, 2, ...

5. Геометрическое р(О<у<1): Р($ Ы = р(1 — р)", )и = О, 1, 2..., Далее перечисляются некоторые абсолютно непрерывные распределенпя, определяемые плотностью р(х). 1. Равномерное распределение на отрезке (а, Ь), а < < Ь: р(х) = —, если а ~ х < Ь, р(х) = О, если х ти (а, Ь). 2. Пормальное (пли гауссовское) ргсиределеппе с параметрами а, о', — <а<, 0<о< 1х — а)х Р(х) = ехр~ —,, — с <х< оз. ~/2л о ~ 2од Пормальное распределение с параметрами (О, 1) пазьдвают такяде стандартным нормальным распределением.

3. Показательное распределение с параметром Х) 0: р(х) Хв ' (х~ 0)„р(х)= 0 (х( 0). 4. Гамма-распределение с параметрами Х ) О, и ~ 0: »а а — д р (х) — в ' (х а 0), р (х) = 0 (х (~ 0) гь .. Г( )-) ~-"-*и* - -фг ~-). о 5. Распределение Коши с параметром Ь ) 0: 1 Ь р (х) = —, — оо < х < со. 1+Ь х Введем еще многомерное нормальное распределение. Геля случайные величины Ьг, Зх, ..., $, независимы и имеют норьтальддые распределения с параметрамп (аы ои), гс = 1, 2, ..., г, соответственно, то и-мерная плотность нормального распределения имеет впд Ри „лг(хдг ° ° ° хг) = ,1 ( 1 -и (хи — аи»и-~ (2Я)ихо ...

о ~ 2 а ои Если в (3.25) а~ =аг ...=а,=О н о|= от =... о, о, то мы имеем плотность сфвричвски симметричного нормального распределения р (хд, ..., х,) =, ехр~ — —,,,хг х, . (3.26) Ьд„..лг т' ' ' ' (2„)гтх,тг ~ 2от »Ьг Эта плотность инвариантна отпосительпо ортогональных преобразований пространства В", оставляющих на месте начало координат.