А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Пусть выполнены условия задачи 3.116 и )<,(п, Л') — число ячеек, в которые попало ровно г частиц. При г= 1, 2, ... найти Му<,(п, У<У) и асимптотические формулы длл Му<,(п, уу) при г=сопз1, п, )Еу-, иууу -а<и <н(0, < ). 82 ЗЛ18".)В группе учится 25 студентов. Предполагая, Что дни рождения студентов независимы и равномерно распределены по 12 месяцам года, найти математическое ожидание числа Е<, тех месяцев, ва которые приходится г дней рождения, для всех таких г, что М)<,)0,01. ЗЛ19.
По У<У ячейкам случайно размещаются и неразличимых частиц (пм. аадачу 1.52). Все размещения предполагаются равновероятными. Обозначим через )), число ячеек, содержащих ровно г частиц. Найти Му), и асимптотические формулы для Му<, при п, у<у-, иуу)у- а<к ш(0, ' ). Сравнить с результатами задач 3.116 и 3.117. ЗЛ20', Пусть $„,< — число появлений <зго исхода в п независимых испытаниях с уу несовместными исходами и вероятностью р, появления у-го исхода в е-м испытании (у 1, ..., УУ; о=1, ..., и; р +...+рл=1).
Найти: а) М$.,<; б) 0$„х, "в) сот($ <, 5.<) () Фу). ЗЛ21. Сопоставим описанной в аадаче ЗЛ20 последовательности п независимых испытаний процесс размещения и частиц по уу ячейкам, интерпретируя появление у-го исхода в у<-м испытании как попадание й-й частицы в у-ю ячейку. Обозначим через р, = )<,(и; р<, ..., рл) число ячеек, в которых после размещения п частиц оказалось ровно по г О, 1, ... частиц.
Найти: а) М)<е', б) М)<,; в) пп'п М)) (и; р„..., рк). и ""гю оЛ22'. В У<' ячейках последовательно размещают частицы. Каждая частица независимо от остальных попадает в любую фиксированную ячейку с вероятностью 1/Ж. Обозначим через т, минимальный номер частицы, после размещения которой число занятых (т. е. не пустых) ячеек станет равным й. Найти Мтм 0г, и асимптотическую фиЕ))Е)<у)у для М~ъ при уу— 3.123. х1)) маршруту ходит УЕ' автобусов без кондуктора. В-кк)кдом автобусе имеется касса, в которой перед выходом з рейс было г билетов. Всего зти автобусы перевезли п пассажиров. Найти математическое ожидание числа 5 пассажиров, которым яе досталось билетов, предполагая, что каждый пассажир независимо от остальных может сесть в любой из автобусов с одной и той же вероятностью 1/Ф.
ЗЛ24 . Из 30 чисел (1, 2, ..., 29, 30) по схеме равно- вероятного выбора без возвращения отбирается 10 чисел. Найти математическое ожидание суммы выбранных чисел. 3.125'. В схеме Бернулли р — вероятность исхода 1 и д = 1 — р — вероятность исхода О. Будем считать, что 8ь 83 прн 1-м испытании (!>2) появилась цепочка 00, если прп (! — 1)-м и при 1-и испытаниях исходами были нули. Найти формулы для математического ожидания и дисперсии числа пэе появлений цепочек ОО в и испытаниях (и- ' ). Сравнить их с формулами для математического ожидания и дисперсии числа р, появлений исхода 0 в и — 1 неаависимых испытаний Бернулли, когда вероятность исхода 0 равна дэ. ЗЛ26'.
В схеме Бернулли задачи 3.125 найти формулы для математического ожидания и дисперсии числа рп1 появлений цепочки 111. (Цепочка 11Л появляется при 1-м испытании, если исходами (! — 2)-го, (1 — 1)-го и 1-го испытаний были единицы.) Сравнить их с формулами для математического ожидания и дисперсии числа рз появлений исхода 1 в и — 2 неаависимых испытаниях схемы Бернулли, когда вероятность исхода 1 равна рэ. 3.127'.
Пусть проведено и испытаний по той же схеме Бернулли, что в аадачах ЗЛ25 и 3.126. Назовем серией единиц цепочку исходов последовательных испытаний вида 011...110 (при этом считается, что исходами дополнительных испытаний с номерами 0 и и+ 1 были нули). Пусть ц — число серий единиц. Найти: а) Р(т!. = 0); б) Р(т!„=1); в) Мт!„; г) Нгп и — з0т!„. ч ЗЛ28. На бесконечный лист клетчатой бумаги (сторона клеточки ранна 1) случайно бросается круг единичного радиуса.
Считая, что центр круга равномерно распределен на том единичном квадрате, на который он попал, найти математическое ожидание числа э точен с целочисленными координатами (х, у), покрытых этим кругом. ЗЛ29*. Каждую целочисленную точку числовой осп независимо от остальных назовем белой с вероятностью р н черной с вероятностью д= 1 — р. Пусть Я вЂ” множество всех таких целочисленных точек х, что расстояние от х до ближайшей черной точки (включая х, если точка х черная) не меньше расстояния от х до начала координат.
Найти математическое ожидание числа )Я элементов множества о'. 3.130т. Точки Сп ..., С„независимы и имеют равномерное распределение в круге К с центром О и радиусом 1. Пусть случайное множество А состоит из тех и только тех точек круга, которые находятся ближе к центру О, чем к границе круга и к любой из точек Сь ..., С„. Найти математическое ожидание площади $ множества А. 84 3.131. На плоскость независимо брошено У кругов радиуса гм так, что центры этих кругов равномерно распределены в круге радиуса 1. Обозначим через р площадь мномзества точек плоскости, покрытых ровно из кругами. Найти ыр !пп —, если Игй -з- Х <.
со. Ж-к 3.132. Случайная величина $ принимает только целые пеотрицательиые аначения. Доказать, что М$ = ~к~ Р Д ) й). ь з 3.133. Случайная величина э принимает только целые неотрицательные значения. Доказать, что для лю° бого целого й ~ 2 М$ Я вЂ” 1) ... (Э вЂ” й + 1) = Й ~~ и!" — ЫР (Э ) и). и=з 3.134. Пусть Аь Ам ...— совокупность событий, уз— индикатор события А, (1= 1, 2, ...), т. е. 2 1, если событие А; происходит, О в противном случае, и $ = 71+ з!э +...— число одновременно происходящих событий из Ап Аэ, ...
Докааать, что М$!'! = й! ~~ Р (А; А~ ... А;„) = ~<1,<1,«...1д -й! Х Р(2,,- ... =2,,=1). 1<1 <т «..ч 3.135*. Неотрицательная случайная велм шпа $ имеет функцию распределения г'(х) = Р($ ( х). Доказать, что М$ = ~ (1 — г'(х)) Их. о 3.136. Случайная величина $ имеет функцию распределения г'(х)= РЦ < х). Доказать, что если М!$! < то ~Ю о М$ ) (1 — Р(х))йх — ( Г(х) "х. 3.!37.
Неотрицательная случайная величина 4 имеет функцию распределения г'(х)= РЦ (х). Доказать, что для любого действительного и оь 0 Ю М $" = ~ и ~ ~ х"-' (1 — Х (х))»!х, о 3.138. Случайная величина в имеет фупкцпю распре- деления г" (х) = Р(ь < х). Показать, что если Р» (у) = впр (х: »г (х) ~ у), тО дЛя Л»ОбОй ИитЕГрнруЕМОй фуНКцИИ »4(Х) т М)» ф = ') т» (К» (у))»4(т. о При решении задач 3.139 — ЗЛ43 можно использовать следующее простое замечание. Если случайные величины ф», ..., 3„независимы н одинаково распределены, а число й ( и, то наборы ь» ~ ь»ю ° ° ° ~ $»ь), 1 ~ ~»» С»з С... С»о ~ и, одинаково распределены и для любой измеримой функции /(х», ..., х,) случайные величины т»»,„,.,»о .т (ь», °, ь»о)» где 1 (»», ..., »4-.= в, 0 чь 0 (г Ф з), тоже одинаково рас- пределены.
3.139. Пусть вероятностное распределение Р на плоо скости Во таково, что если точки Х», Хз, Хз»н Вз нева» вясимы и имеют распределение Р, то Р(Х», Хз, Хз лежат на одной прямой) = О. Найти математическое ожидание угла Х»ХзХз 3.1404, Случайные точки А», Ао, Аз, А» независимы и имеют равномерное распределение в выпуклой плоской фигуре С»= В', площадь которой равна 1, Доказать, что вероятность того, что выпуклая оболочка точек Л», Аз, Аз, А» есть треугольник, в 4 раза больше математиче ского ожидания площади треугольника А»АзЛз.
3.141". Пусть вероятностное распределение Р на пло- скости »т' таково, что если точки Х», Хз, Хз»и гтз незао зисимы и имеют распределение Р, то Р(Х», Хз, Хз лежат на одной прямой) = О. Показать, что если точки Хь Хз, Хз ш 4»з независимы и имеют распределение Р, то Рз Р(один из углов ЛХ»ХзХз не меньше 120') > 1/204 3.142о. Пусть вероятностное распредеяение Р на плоскости такое же, как в задаче 3.141.
Показать, что если точки Х», Хм Хз, Х» ш »тт независимы и имеют распределение Р, то Р» = Р (Х», Хъ Хз, Х» образуют выпуклый четырехугольник) ~ 1/5. 3.143. Независимые случайные величины $ь ьз, ..., $ положительны и иметот одинаковое невырожденное распределение. Обозначим т)о = о + +„. Найти: а) математическое ожидание Ч,; б) коэффициент корреляции т), и т),; в) коэффициент корреляции т) ~ +... + т)4 и т~ » +... + и». 3.144. Из урны, содержащей М белых н )т' — М черных шаров, по схеме случайного выбора без возвращения вывима»отея все шары.
Обозначим т~ число шаров, извлеченных до появления 1-го белого шара (включая этот шар), т — число шаров, извлеченных после (1 — 1)-го белого до появления»ьго белого включительно, ти4»вЂ” число шаров, извлеченных после М-го белого шара. Найти Мт». ЗЛ45. Обозначим череа Я(А», ..., А,) площадь выпуклой оболочки точек А», ..., А, ш В'. Установлть тождество 23(А», Ак Аз, А»)= = Б(А ь Ат, Лз)+ Я(А», Ам А»)+ Я(Л», Аз, А4) + + Я(Аз, Лз, А4) и вывести па него, что для независимых одинаково распределенных случайных величин $», $о, Вз, $»»и В МЮД», $з, 3з, $4) = 2МЯ(~», $к Ь).
3.146. Случайные величины $, т) (возможно, зависимые) обладают конечными дисперсиями; С»$ = от, О») = ооз. Укааать пределы, в которых может изменяться О(4+ „). 3.147. Пусть $ =($», ..., $»)»п Л" — векторная случайная величина. Доказать, что если М)$,~ С ', » = 1, ..., /с, то !МЫ М!М, где(х( = ~У х, + ... + хь при х = (х„..., хз) ен й'.
87 3.143. П Пусть ", = З + 1ц — случайная величина, при- пекающая комплексные значения. Доказать, что если М[5! < °, М!ц! <, то [М~! «М!~!. 3,$49. П 9. Показать, что если 5 и»! — независимые слу- чайные векторы в В", а (х, у) = х1у1 +...+ х,у, — ска- лярное произведение векторов х =(х1, ..., х») и у = (у1, ..., у„), то МД, ц)=(М5, Мц). 3. $50. . 50. Пусть фь 51, ..., 5„— случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Докааать, что если все зти величины оди- наково коррелированы, т. е. рЯь й»)= С при любых 1»и ($, ..., л), 1'Ф у, то С 1- —— в — $' ЗЛ51.
Доказать, что если М[е!» <, то 1пп х"Р(! $! «х) — О. ЗЛ52. П Л52. Показать, что если 5 — действительная случай- ная величина с конечным математическим ожиданием и 1(х) — функция, выпуклая вниз, то М1(5) > У(М8), а если 1(х) выпукла вверх, то М((5) < ~(м5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
