А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 19
Текст из файла (страница 19)
1о4 а)' Найти распределение вектора ($2 — $>, ььз — $>) б) Найти плотность р(х>, хз) распределения вектора '(в<2> — ь«>, $<з> — ь<»). в) Найти распределение случайной величины (в<2> — и<»)/(ь<з> — ь<»). 3.271. Случайные величины $>, вз, ьз и 1<» -= ь<2> «ь<з> те же, что в задаче 3.270.
а) Найти распределение вектора Цз — $>, ьз — ьз). б) Найти плотность р(х>, хз) распределения вектора (5<2> — $«» $<з> — 1<2>) в) Найти распределение случайной величины =(5<2> — $<»)/Д<з> — $<2>) 3.272. Случайные величины $>, $2, Ь независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Положим если ЕД2 = О, ! ь ) зяп (ВДз), если ьДз ~ О, где здп(х) = х/>х~ при х чь О. а) Найти вектор математических ожиданий и матрицу ковариаций вектора Ц>, зз, ьз). б) Найти распределение $2 и совместные распределе- ния векторов Ц>, ьз) и Цз, сз). в) Найти плотность р(х<,хз,хз) распределения вектора Ць ~2, фз).
Является ли оно нормальным) 3.273. Исполйзуя предыдущую задачу; построить при- мер случайного вектора (3>, ььз, ..., $ ), распределение которого не является нормальным, но любые п — 1 его координат взаимно независимы и име>от пор>лальпое рас- пределение с математическим ожиданием 0 и диспер- сией 1. 3.274'. Случайный вектор $ =($>, ..., $2) ил<ест сфе- рически симметричное нормальное распределение с нуле- вым вектором математических ожиданий и единичной ко- вариациовной матрицей. Найти распределение вектора 3А, где А — действительная матрица с й строками и т столбцами. 3.275. Случайная величина $ =(3>, ..., С„)', имеющая нормальное распределение в <><" с нулевым математиче- ским ожиданием и невырождевпой матрицей ковариаций А = »ао1, не зависит от случайной действительной вели- чины Ч, имеющей функцию распределения г'(х), М>4~ = 1.
Найти мателсатичсское ожидание и матрицу ковариа- ций случайной величины сД =(>)о<, ..., ЧЬ ). 3.276, Случайные величины $>, $2...., $, <) незавп- симы и имеют стандартное нормальное распределение. 105 Найти распрелелевие вектора Ь = ($, (/ 1 — а," + цап Ьэ (7 1 — а', + ца„... , $„(~ 1 — а„+ ца„),. где ссь аи ..., а„— числа из отрезка (О, Ц. 3.277.
Случайные величины йн эи ..., $„. независимы; ~< имеет нормальное распределение с параметрами (О, о',), 1 = 1, 2, ..., и. Найти распределение вектора Ч =йн Ь+ Ь Ь+ Ь+ Ь ", Ь+ Ь+."+ 5.). 3.278. Случайвые величины $ь $и ... независимы и имеют нормальное распределение с параметрами (О, 1). Найти мпнимальвое значение к, при котором Р (шах (1 Ц~ 1, 1521, ..., 1~э 1) ) 2) ) г 3.279.
Случайный вектор $ =Дь ..., $,) имеет й-мервое иормальвое распределевве с математическим ожиданием а ы В' и ковариациоввой матрицей А. Что больше: 1п 1М$~... ф,1, М 1в 1$~... $,1 или 1и М1Ь... $„17 3.280. Случайный вектор $ =(~ь $з) ю В' имеет двумерное нормальное распределение с нулевым вектором математических оя<идавий и ковариапиоявой матрипей с ы ы !.Найти условное распределевие ~~ при уело~э г оы вии вт=х. 3.281. Распределение случайного вектора $ ($н $э)ю юЛт таково, что при любом хе( — сч, ч) условное распределение $~ при условии $з =х и условное распределение $з при условии $~ х нормальны. Являетсв ли вормальвыч распределевие вектора $7 Глава 4 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ.
ПРОИЗВОДЯЩИЕ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В курсе математического анализа рассматриваются различвые виды сходимости последовательвостей функций: равномерная сходимость, сходимость почти всюду, сходимость в средпем квадратичвом и т. и. По аяалогвч с этим и в теории вероятностей рассматриваются раз- 106 личные виды сходимости последовательвостей случайных величин (как функций, заданных ва пространстве элемевтарвых событий), а также последовательностей функций распределевия.
Приведем определевия тех видов сходимости последовательвостей случайнЫх величин, которые используются аваи . гяие:.ву" г * и ° т )( стве (И,,Ф, Р) заданы случайные величивы $„Г, (е7) (ю ш И, и 1, 2, ...) и случайная величина $ = $(ю), ю Я И. Последовательность $н $м ...
сходится к случайной величине $ с вероятностью 1 (почти наверное), если ~740"'~)'( Р(е7 си И; 1пп $ (ю) = $(о))) = 1. Последовательность $н вы ... сходится' к слуочайвой7.улхл( величике $ но вероятности, если для любого е ) О и, Г Нш Р (1 $„— $ ) ) е) = О. , Г7 ЬУ-~%В'йи:с'т7: Последовательность ьь $м ... сходится к случайной величине $ в среднем квадратичном, если . р')Р 1пв М1в„— $1' = О.
~( ~ "~г)-. ~ . и-~ .. -;.,~, ' ~сг~ ур~;Т,'7 Последовательвость функций распределевия Р„(х) Р($„( х), я = 1, 2, ..., слабо сходится к функции распределеиия г"(х) Р(э~х), если для любой точки х, где р'(х) непрерывна, выполвяется соотвошевие 1пп Р„(х) =- г (х) с''6~Юв ~' ~ 7 н а ./ (в атом случае говорят такя~е, что последовательность случайпых величие $н $м ... сходится к $ ко расиредеч лению; при этом $, $~, $7, ... могут быть заданы ва различных вероятностных пространствах).
Все эти определевия естествеввым образом распростравяются и ва случайные величины $в $ю ... и принимающие векторпые значения. Понятие сходвмоств по в е р о я т в о с т и чаще всего используется, когда предельвая случайвая величина $ имеет вырождепяое распределение (Р($ = а) = 1 для некоторого числа а) и ~, +(,+" +(„ эл = в х 107 где ьь ьт, ...— случайные величины (не обязательно независимые нли одинаково распределенные): если 1(шР1~ ' ~'и — а~ е(=0 для любого е) О, (4.1) то говорят, что последовательность Ьт, Ьм .., удовлетворяет закону больших чисел.
Из тьеравепсгва Чебышева Р (( 5 — М5 ! йиь е) ( — ' нетрудно вывести, что если случайные величины пе коррелирозаны, Мь„= а, Сть„= от «(и = 1, 2, ...), то (4.1) выполняется; однако закону больптих чисел удовлетворяют и другие последовательности случайных величин (см. задачи $1). Если вместо (4.1) выполнено соотношение (т (вт) + ... + ', (вт) Р )те: 1пп ' = а~ = 1ь (4,2) п и '.,+" +4„ т. о. последовательность сходится к числу а с в е р о я т н о с т ь ю 1, то говорят, что последовательность ~ь Ьг, ... удовлетворяет усиленному закону больших чисел. Соотноптение (4.2), выполняется, например, если случайные величины ьь ьт, ...
не коррелированы, Мь,=а, (ть ог«(п.=1, 2, ...), см. задачи 4.22 — 4.24. Пример сходимости по р а с яр ел ел е н и ю дает Центральная предельная теорема. Ясли (ь ьт, ...— нввависимььв одинаково распредвлвнныв 'случайные величины, Мь„=-а, Оь,=от«(п 1, 2, ...), то для любого х, — «х « ((, ш ... + ~„ иа 1!тР ' ' '" (хь == ) в итьгь(и- Ф(х). и и о тити / 1ьь2я Сходимость распределений центрированных и нормированных сумм случайных величин к стандартному нормальному распределению имеет место и при других предполонтениях о случайных слагаемых (см. задачу 4Л34 н другие задачи из $5).
Друтвм важным примером сходнмости по распределению являются теоремы о сходимости к распределению Пуассона (см. аадачи 4Л05 н 4.113). 103 Практическое значение предельных теорем состоит в том, что они позволяют аппроксимировать распроделе~тттн допредельных случайных величин 5 (при достаточно болыпих и) распределением предельной случайной величины 5; это особенно полезно в тех случаях, когда аналитическая запись функции распределения $ проще выражения для функции распределения 5 . Следует иметь в виду, однако, что вопрос о том, достаточно лн велико и для того, чтобы обеспечить нужную точность приблиятевия, в каждом случае требует особого исследования; см., например, задачи 2.61, 2.62, а также 4.107, 4Л23, 4Л24.
Доказательства предельных теорем могут использовать как прямые веровтностные методы (изучение распределений допредельных случайных величин или нх моментов, см. задачи из 4 2), так и аналитические методы, основанные на использовании свойств производящих или характеристических функций распределений допредельных случайных величин (см. задачи из 4 5). Если случайная величина а принимает только целые неотрицательные значения, то производятцей функцией распределения 5 называется функция комплексного переменного г тРт (г) = Мгь =- ~~~ гьР ($ = )т)ь ( г ) (1; ь-в производящую функцию можно рассматривать и в случае, когда 5 принимает и отрицательные значения, если область сходимости ряда в правой части последнего равенства отлична от окружности !г! = 1. Если случайная величина $ принимает действительные значения, то характеристической функцией распределения 5 называется функция действительного переменного 2 ~т(т)- Мент, и «т « ...
в частности, если распределение $ абсолютно непрерывно и имеет плотность рт(х), то ьи ~1 (1) = ) втт"рт (х) Нх, Перечислим важнейшие свойства производящих и характеристических функций. 1. Если Р((г( «' ) =1, то функции тт(~)=Мвтп и трт (г) = Мг' непрерывны и тт (О) = тут (1) = 1. 2. если м ~ 5 Р ( О для некоторого целого л ~ 1, то — )д (1) - 1'мг, — »рд (г) ' = мЬ» ' О (по поводу обращения этих утверждений см. задачи 4.67, 4.95, 4,96). 3. Еслк случайные величины $», $1, ..., 5.
независимы, то 1;,„,„.,„(1) — 11 (1) ...1,„(1), Ч'д,+...+д (г) = цг,(г) "тг„(г) (обратпое утверждение неверно, см. задачу 4 157)'. 4. Если проиаводящие (илк характеристические) функции распределений случайных величин 5» и 51 совпадают, то совпадают и функции распределения 51 и 51. 5. (Теорема в~епрерывности.) Последовательность Р„(х) = РЦ„< х) (п 1, 2, ...) функций распределения слабо сходится к функции распределения Р(х) Р(г<х) тогда в только тогда, когда существует непрерывная функция ) (1) — Пш 1. (1), где )„(1) Мв"дв. В этом случае )(1) Ме»", и сходимость 1„(1)- 1(1) равномерна на каждом конечном интервале значений й 6. (»)1ормулы обращения) Если функция ((1) = Меа' абсолютно ивтегрируема, то распределение случайной величины $ имеет ограниченную непрерывную плотность р(х) и р (х) ~ в-»».~ (1)»(1.
Г Если х и х+й — точки непрерывности функции распределения Р(х) Р($ ОЯ х), то ОО г (г + Л) — Р (г) 1 . ( 1 1) 1 л — Ипд ) 7(1) е-' ' ' в-»»ва»х. ' '-ОО Проиаводящие и характеристические функции вектор. ных случайных величин $ ($1, ..., 51)жВО определяют- 11О ся формулами )1(11...,, гд) = М ехр(1(1»г»+ ... + гдьд)), »рд(г„..., гд) = М г, ... гд . Их свойства аналогичны свойствам производящих и характеристических функций одномерных случайных величин. Например, если М(Ц) '... )Ьд) (оо для целых т»..гд)0 то д" 1+ "+'Д „11 (11, °, 'д) — 1"'+"""м$ '... $~,", В») (Од) »рд (г„..., гд) — М$1 ' ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
