А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 23
Текст из файла (страница 23)
а) Доказать, что при любом целом й ~ 1 Π— 1 Р«1= — 0(шо»)/о)) = 1 )~ /Я 1-О б) Найти формулу для Р Ц и»(шо»1 /») ) при ш 1,2,...,/» — 1. 4.79, Независимые олучайные величины З», Ь, имеют равномерное распределение на множестве 11, 2, ..., ЗЙ. Найти ($1+ ° » ° + Йп ма 0(шо»(З))» »» Л» ш»пр <51, + „,.+ $'„~0(шо»(8)).
»~1 4.80. Случайные величины $», «(»...„$„независимы. Докааать, что для любого действительного )», удовлетворяющего условиям Ме»1»(со 1 1, ..., и„ справедливо равенство »» МЕ ( 1+"'+ а) П МЕ 1». » 4.81. Случайная величина 3 принимает действительные значения. Доказать, что для любогв дейотвительного х Р(З ~х)(»п1е-~ Ме»Л ь>о Р(В~~х)(~ (п1 е""Ме 11. искытанни, Доказать, что прн а < р Р(р„~аи) (((,' ') ~ л)"~ . Найти аналогичную оценку для Р(»»„) ри) при ()~р и для Р(»». < и/2) при р) 1/2.
4.83. Случайные величины $1, З», ... неаавнсимы и одинаково распределены. Доказать, что если М»З»! < н при некотором 6 ) О зпр Ме»41 < ооо О«1<О то м$ — меы»< "'оо и для любого е 0 сущест- В К о вует таков а, еи (О, 1), что Р« ' "' ")МЗ + е»<ао, и 1 2...,,' -ы аналогично, если зпр Ме 1< со, то Ось<О Р«' (М$ — з«~ а,, и 1 2„... 4,84'. Случайные величины $1, Зо и»» независимы, характеристические, функции $1 и $1 равны /1(1) н /1(1) соответственно, Р(х 1) =1 — Р(к 2) р»н(0,1).
Найти характеристическую функцию случайной величины т» з» (распрвделенне ц называется смесью распределений $» н $1). 4.85. Показать, что если Р(~$! < ° ) =1, то функция /(»)= Ме"', — <1<, равномерно непрерывна. 4.80. Характеристическая функция /(1) — Ме»и принимает только действительные значения.
Доказать, что при любом действительном 1 /(1) = /( — 1). 4.87. Найти характеристическую функцию: а) равномерного распределения на отрезке «О, а)» б) «треугольного» распределения с плотностью 131 4.82. Пусть р„обозначает число успехов в и неаавнсимых испытаниях в вероятностью р успеха в каждом 130 а (1 — а< х() при < х<.=; а-1' ро(~) 0 при <х<)а ', 'в) распределения с плотностью Св с', х д'„(х) — 1 — соя —, — со ( х ( со.
В случае в) найти аначение С„при котором а (х) окаяывается плотностью вероятности. 4,88. С ° . Случайная величина $ имеет нормальное распределение с параметрами (О, ог). Установив тох<дество с " О. Е ~ — 2~ 2о найти с его помощью формулы для МсС и сгс1, где с) = аеас~. 4.89. Ф ункция 1(С), — < с с, обладает следующими свойствами: а) У(0) 1, Дс)» 0 для лсобого с; б) ((с)-У( — с) для любого с; в) графиком ДС), 0 < с (», является выпуклая внив ломаная линия, состоящая из конечного числа авеньев. Является ли Дс) характеристической функцией распределения вероятностейс 4.90, сР н у кция с(с), — (с(, обладает следующими свойствами: С(О) 1, 1(С)»0, 1(С) /(-С) для любого с, с'(с) непрерывна и с" (с)» 0 для любого с"Ф*О. Является ли 1(с) характеристической функцией распределения вероятностейс 4.91. П .
Пусть а»0 и функция Д(с) имеет период 4а, 1 (С) 1 — —, СС~(2а. (с~ а) Является ли 1с(С) характеристической функцией) б) Является ли характеристической функцией ф нкция Сг (С) = !Л (С) 31 4.92. Случайные величины $с, ..., 2„(й» 1) независимы и имеют функцию распределения г" (х) сл ч й величины я х), случа ные цс, ..., тС, неяавнсимы и имеют функцию распределения С(х). Следует лн из условия РЦс+...+$,г х) Р(тсс+...+с1„«х) и С(х)? для каждого х совпадение функций распределения г"(х) 4.93.
Изме ниток ли ответ на вопрос предыдущей задачи, если дополнительно потребовать, чтобы Р(с$с+... 183 + $,! ( ) = 1 и характеристическая фусскция распределения $с нигде не обращалась в нуль) 4.94. Показать,, что если характеристическая функция С(С) = Меси удовлетворяет условиям )(Сс) У(С ) = 1, то при любых целых лс, я О, ~1, ~2, ...
с(кссс + ясг) 1. 4.95», Характеристическая функция с(С)= Макс дифференцируема при с О. Верно ли равенство М$ — — ' Р (0)1 Рассмотреть случай, когда 2 имеет плотность распределения р(х), причем с+ о(с) р(х) р( — х),,р(х) = — (х- оо). я !пх .,4.96". Характеристическая функция 1(С)- Меос удовлетворяет условию )1" (О)! ( .
Показать, что Мяг — С' (0). 4.97. Покааать что если характеристическая функ- Ъ цяя С(С) Мео' дважды дифференцируема при С=О и 1),"(0)) <~~, то сС'(С)) "-ссЦ" (0)! при любом 4.98. Являются ли характеристическими функциями вероятностных распределений следующие функции: а) е'' '; д) !соясс''"; б) соя(сг), 'е) —,(1~0), 1 (с = 0); в) соя'с; ж) е-гс(с=>0), с (с(0); 1 ' 1+с' г) соя(1СРсг)'; з) е сос 4.99. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины 2, характеристическая функция с(С) = Мео' которой равна: а) †, я!и ас (а чь О)„ 1 б) -у сояяя1п —, в) — е'ся1п —, .,с я .,с т' с' т' г) сс'2е масс я1пс — + ~ ~1 (а.»0), ) (1 — В) "(1+ В) (р д~О) 4ЛОО. Случайные величины фп фь ...
независимы и имеют одно и то же нормальное распределение с параметрами (О, 1). Распределение случайной величины х' = с1 + $а+ " + Ь' называют т'-распределением с г степенями свободы. а) Найти функцию распределения и характеристическую функцию 2т-распределения с двумя степенями свободы. б) Найти характеристическую функцию и формулы для моментов й-го (й 1, 2, ...) порядка тз-распределения с г степенями свободы.
4Л01. Исходя ив формулы для плотности гамма-распределения (см. введения к гл. 3 и 4), проверить, что если случайные величины $~ и $з независимы, $1 имеет гаьгма-распределение с параметром-.а, а $з — гамма-распределение с параметром р, то $1+ $з имеет гамма-распределение с параметром а+ 6. Используя это свойство семейства гамма-распределений, найти характеристическую функцию Д„(г) и формулы для моментов ро т„(й — 1, 2, ...) й-го порядка гамма-распределения с параметром а ) О. 4Л02. Случайный вектор ($ь ..., $„) имеет многомерное нормальное распределение в В' с вектором математических ожиданий а =(ап ..., а„) и матрнцей коварнаций В.
Найти распределение случайной величины 1 = сд1+... +Сйм где сь ..., с„— действительные числа. 4ЛОЗ. Случайный вектор Дь ..., $,) имеет многомерное нормальное распределение в В' с вектором математических ожиданий а = (аь ..., а„) и матрицей ковариаций В; матрица С = Щ~ (1 1... „ т; у 1, ..., й) состоит из действительных чисел. Найти распределение случайного вектора (ьь ..., ь ), где ~,=сД,+...+сДь 1=1, ..., т. 4.104. Случайный вектор в =Яь ..., ф„) имеет многомерное нормальное распределение в В' с веггтором 134 математических оя~иданвй а =(аь ..., а„) и невырожденной матрицей ковариаций В.
Показать, что существует такое ортогональное преобразование С пространства В" в себя, что вектор ц (ць ..., ц„)=С$ имеет многомерное нормальное распределение с независимыми компонентами. $4. Неравенства Бонферроии и сходимость к распределению Пуассона 4ЛОО Случай симы, Р(~<"~ 1) =1 Р($'„"'= 0]-р,(п), й=1,2, ..., и Пусть при и— щах р (и) -+- О, р1 (и) + ... + Р„(п) -г т 1льлн Используя метод производящих функций, доказать, что )ш 1пв Р (~~,"~+ ... + $~, ~ = т) = — е-ь, т = О, 1, 2, за 4Л06. Случайная величина $ принимает значения 1 и 0 с вероятностями р и а 1 — р соответственно, а случайная величина ц имеет распределение Пуассона с параметром'р: Р(ц =й) =~— ,е г, й О, 1, 2, ....
Доказать, что $ и ц можпо задать на одном вероятностном пространстве так, что Р ($ Ф ц) ( р'. 4Л07. Случайные величины ~ь ьм .... з„независимы, Р(5~=1) =1 — РЦ~=О) =рь 1 1, ..., и. Используя результаты задачи 4.106, доказать, что ь=з (В, + ... + П„) -(г,+,. +гз) ч~~ з ь! 4Л08. Пусть Аь Аю ..., Ан — совокупность событий и событие В„состоит в том, что одновременно происхо- дит ровно г иа событий Аь, Ае. Доказать, что при 135 лвбомг 0,1,...,Ф А г где Юе 1, Яй . ~ч~~ . Р(А, А, ... А[„!. )я[1~11(...()АЕК 4Л09".
Случайная величина $ принимает только целые неотрицательные значения, Доказать, что если , тй МВ"' М$Ц вЂ” 1)...($ — й+1), й=1, 2, .„, И для , целого Ы > 1 величина ттг-) ( я, то йе АЕ-1 1)А-1 гйй Р(~ О» ~ ~) ( 1)1-1 "'А А 1 й) 4Л10. Пусть выполнены условия аадачи 4.109..Дока'аать, что Я+Аз-1 я+ее ( — 1)' ЯС)",—," (РД и):;;,"5, '( — 1)" "С," —,'„ А я А я если и = О, 1г ° ° ° и т +ь)-1 ( ЯЯ. 4.111. Пусть выполнены условия задачи 4Л09.
Доказать, что при любом п 1, 2, ... Я+Аз-1 Я )-АЕ т, д ( — 1)й 'СА,' — "~(Р(ф~зп)~(~( — 1)" "Сй-)А 1 А я й-я если т„+те 1< о . 4112. Метод моментов. Пусть $1, Зт, ...— последовательность неотрицательных целочисленных случайных величин и тй М$„" (я, й 1,2, ...).
Доказать, что если существует такая целочисленная неотрицательная случайная величина $, что при любом й = 1, 2, ... 11в1 тйЯ) Мя[й[ тА ( оо и т„- о(й! й-'), й -, для любого г ~, то 1[в РД„= й) Р(з й), й 0,1, 2„ я-гг 4.113. Пусть $1, $1, ... — последовательность неотрицательных целочисленных случайных величин. Доказать, [36 что если при любом й = 1, 2, ... 11 М~[й[-ЛА, О<Л< то аппп РЯя = т) — е для любого т = О, 1, 2,'..., -А я я)[ т. е. распределение $, сходится к распределению Пуассона с параметром Л при и4Л14. Пассажирский поезд состоит из ))) вагонов по е мест в каждом вагоне, В момент отправления в поезде находилось п пассажиров. Обозначим символом [)г = [)г(в, У, е) чисцо вагонов, в которых ири отправлении поезда находилось- ровно [ пассажиров, [ О, 1, ..., з, Предполагая, что все п[Ск, (Л[е)[Я[ вариантов разметцейия' пассажиров 'в''поезде равновероятны, найти формулы для факториальных моментов величин ре, [[), ...
[й.. Проанализировать поведение математических ожиданий [1) при изменении л от 0 до Уе. 4.115. Пусть выполнены условия задачи 4Л14. 'Найти явное вырая[евие для Р ([11(я, [1', е) = й) 4Л16. Пусть выполнены условия задачи 4Л14. Показать', что если е и [ фиксированы,.
а я, У- так, что М[йг(п, д[, е)- Лж(0, ), те при любом й 1, 2, М([11(п, У е))'"- Лй. Вывести отсюда; что тогда для любого т О, 1, . ° . Лгя Р(Р[(я, )[[,е) т)-я —,е А. 4Л17. Пусть п частиц размещаются по У ячейкам, причем каждая частица независимо от остальных с оди наковыми вероятностями (равными 1/)))) может попасть в любую из У ячеек. Обозначим через [1,(п, У) число ячеек, в которых находится ровно по г частиц. Найти 'формулу для МР,(и, У)и доказать, что если г= О, 1,2,... фиксировано, а и, )1' — так, что М[),(п, )1) — Л, 0<Л<яя то Л Р([йг(я, Л[),т)-я — е-й, т О, 1..., 4Л18. Пусть частицы последовательно и независимо друг от друга размещаются по ))[ ячейкам так, что [-я (1-1, 2, ...) частица попадает в )-ю () 1,, У) ячейку с вероятностью 1/)1'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
