А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 27
Текст из файла (страница 27)
в) Найти функцию ф»(з), если Р(Ь 0 р, РЦ»= — 0 1 — р, 0<р<1. 5Л9. По случайному блужданию р„, определенному в задаче 5Л8, построим случайную величину р = 1п(р, »ло а) Найти распределение р. б) Доказать, что Р(п ) — ) 1 тогда и только тогда, когда М51) 0 или РЦ» О) 1. 5.20.
Показать, что если ро О, р 91+ .. ° + $»вЂ” случайное блуя»дание, построенное по независимым одинаково распределенным случайным величинам $1, $1, РЦ 0 РЦ„-0 1/2, и 1, 2, ..., то справедливы следующие соотношения: а) Мр„= О, Ор„= и, Р(р»+1=0) = О, Р,ро„=О)= » -1» С,„2 = и-» оо' 1 »-1 б) М1р„1= ~' Р(ро 0) )/ —, п-» со. о-о 5.21. Случайные векторы $1, йз, ... в»(-мерном евклидовом пространстве независимы и при любом й 1, 2, ... М$1 О, М1$111=а',<оо, где Ц„1 — евклидова длина 91. Построим случайное блуждание ро О, р„=ь»+ ...+$„(»~1), Доказать, что мр„01 м1р,1' а', + ...
+а'. 5.22. Случайные векторы $1 (91, 1, " ., 91, ») (й 1,2, ...) в»1-мерном евклидовом пространстве независимы и имеют равномерное распределение на единичной сфере Я" ' — ((х„..., хз) ен В": х,' + ... + хзо = 11. Пусть р. $1+... + $„и 1р„1 — евклидова длина вектора р„. Найти М1р„11, 0!р„11.
5.23. Пусть выполнены условия задачи 5.22. Доказать, что прн любом а > 3/2 Р 11ш — О 1. 19 1 »-»»» = 1 — р соответственно, н Бо =. О, Б = $1+... + 9„, и=1, 2, Обозначим через т число таких п, что Я„О. а) Показать, что если р чь д, то Р(т <» ) 1; б) показать, что если р = д = 1/2, то РЬ = 1 1. 5.25». Независимые случайные векторы $»=(9.,», ..„$...)»нВ', и=1, 2, ..., имеют независимые компоненты н Р ($»,» 1)=Р ($»,» — 1) = 2,1 < 1 < 3» и = 1, 2, 1 Положим 8„5»+...+$„, и= 1, 2, ..., и обозначим через т число таких и, что Я =(О, ..., 0). Показать, что Р(т )=1 при э 2 н что Р(т< )=1 при о~3.
5.2о6. (Тождество Вальда.) Пусть случайные величины $1, 91, ... независимы, М9» = а, МЦ»1 < С <» (1~1), Пусть В»»=,Л'» Во~Во, Во ~Л', ... — произвольная последовательность измеримых множеств, и случайная величина т определяется равенством т ш1(п: (5», ..., 5.)ФВ„) (т = ', если ($», ..., 9 ) ш В„при любом и < о ) .
Используя равенство Х 9 - Х 9»Х(т> 1) = Х 9 (1 — Х( < 1)) » 1 » 1 »=1 (где т(А) — индикатор события А), доказать, что если Мт< °, то М~ 91 аМт, 5.27, Проверить справедливость установленного в за- даче 5.26 равенства в следующих случаях: а) РЦ, 0 = РЦ, = -0 = 1/2, т = ппп (п ~ О: $»+ ...
...+$„0, б) РЦ, 0 = РЦ» — 2) = 1/2,' т = ппп [и ~ 0: $»+... ...+9 О. Объяснить результаты. 5.28. Случайные величины. $1, 4р, ... независимы и одинаково распределены, а =М$1)0 и Р(Ц»1<С) =1 при некотором С<» . Пусть ро О, р =51+...+$„, (п>1) и У» 1п1(и~О: В„>1). Доказать, что при лю- бом Ф) 0 Ф '4 аМУ» < 1+ С. »59 5.24». Случайные величины й», $1, ... независимы, принимают аначеняя 1 и -1 с вероятностями р и д 159 5.29. Случайные величины рп р», ... ири любом целом п; 1 удовлетворяют условию М(р.„[рь ..., р„) ~р„. Доказать, что при любых целых й, я ~ 1 М(р„„[рь ..., р„) >р„. 5.30».
Неотрицательные случайные величины рь р», ° ° ° при любом целом и = 1 удовлетворяют условию М(р„„!рь ..., р„) ~р.. Доказать, что для любого 6) О и любого целого п>1 Мр„ Р(шах(рц ..., р,):;в 6) < — ". 5 31. Случайные величины йц 4», ... независимы, МЬ= О, 1 1, 2, ... Доказать, что для любого 6) 0 и любого целого ил 1 Р[ уках [$ + ... + $„[' «6) < 1»«»«я 532. (Нераве яств о Колмогорова ) Случайные величины фь 5», ... независимы, мф~ О, (з$~ = о[<со (1 1,2, ...).
Докааать, что для любого 6)0 и любого целого и .- 1 о',+ ...+ а« Р ( уках [$, + ... + $»[:6) < 1» с»«и 6» $2. Пуассоиовские процессы 5.33'. Найти сот(уо $,+,)' при 1, з > О, если: а) Ь вЂ” пуассоповский процесс на [О, ) с интенсивностью Х, б) $, — пуассоковский процесс ка [О, «) с интеясивпостью й(1) . 5.34. Пусть (т„)», (О < т~ < т» <...) — положепия точек пуассоиовского потока па [О, ) с интенсивностью Х. Доказать, что при любом Т ~ 0 Х Р(,<Т) =),Т. »=1 5.35. Пусть выполнены условия задачи 5.34. Найти Мтц От, и плотность р„(х) распределения тц 160 11 з. и. зубков и ар, 161 5.36.
Пусть выполяеяы условия задачи 5.34. Найти: а) плотность р(хь ..., х,) совместного распределения случайных величин ть т», ..., тц б) Р(т~ < х!т» ) Т), 0 < х < в) Р(т~ < х[т~ < Т < т»1, О < х < Т. 5.37. Пусть выполнены условия задачи 5.34. Найти условную плотность ру(хь ..., х«) совместиого распределения случайных величин т~, ..., т, при условии, что т„< Т < т„ы. Сравпить ру(хь ..., х„) с плотяостью д,(хь ..., х,) совместного распределения члеиов вариационного ряда 6», -'=-й<»> <...
< $,ц, построепного по независимым случайным величинам йь ..., фц имеющим равномервое распределение на отрезке [О, Т). 5.38'. Найти математическое ожидание числа точек пуассоновского потока с интенсивностью Х, принадлежащих иитервалу (О, Т) и таких, что справа от каждой из них в интервале длины Л нет других точек этого пуассоновского потока.
5.39'. Найти математическое ожидание числа точек пуассоновского потока с интенсивностью Х, принадлежащих интервалу (О, Т) и таких, что расстояния от каждой из них до ближайших точек пуассоновского потока не меньше Ь. 5.40". Пусть(тд)Гг,— — положения точек пуассоновского потока на ( —, «) с интенсивностью Х. Перевумеруем случайные величины т„так, чтобы они удовлетворяли условиям 0< [«<о~[ < [т~ц! < а) Как можно описать последовательность ([том [)»=.«у б) Что моя«но сказать о последовательности 0„ = т,ц/[тец[, й = О, 1, 2, ..., знаков чисел т,цу 5 41'.
Пусть 0 < т~ < т» <...— положения всех точек пуассоповского потока иа [О, ) с иптеясивностыо Х. «Проредим» этот поток, исключая из вето каждую точку пезависимо от остальных с вероятностью р, где р — данное число, .0 < р < 1. Доказать, что прорез«еняый поток является пуассоиовским.
Чему равна его интенсивкостьу 5.42 . Пусть р(х) — кусочно-непрерывная функция, принимающая зпачения из отрезка [О, 1), а 0 т~ < < т» <...— положения всех точек пуассоновского потока иа [О, ' ) с интенсивностью Х(х). «Проредим» этот поток, исключая из пего каждууо точку т, независи»«о от остальных с вероятностью р(т,). Доказать, что прореженвый поток является пуассоновским. Чему равна его иитепсивность? 5.43 . Моменты поступления требований в систему массового обслуживания образуют пуассоковский поток па ( —, ) с интенсивностью )в. Каждое требование независимо от остальных находится в системе олучайпое время т, с Р(т:= х) = С(х), Мт <, Найти распределение числа $, требований в системе в момент й 5.44.
Для системы массового обсэуявивания, описанной в задаче 5.43, найти функцию /(1) = Р(6, 0154 = 0). Убедиться в том, что /(1) м окот оп по пе возрастает по й 5.45. Случайно расположенные па плоскости точки образуют пуассоновское поле с иптеисивпостью Х, т. е. число точек в любой квадрируемой области 8 имеет пуассоповское распределение с математическим ожиданием ХФ, где !Я~ — площадь области Я, и числа точек в пепересекающихся областях независимы. Пусть р~ ~ < рг ~...— упорядоченные по возрастанию расстояния ог начала координат до точен этого поля.
а) Как можно описать последовательность (рв)4,7 б) Найти плотность р (х) распределения р„, точную формулу для Мр„и асимптотику Мр„при л- 5.46. Случайно расположенные в пространстве Вв точки образуют пуассоновское поле с интенсивностью Х, т. е. число точек в любой измеримой области Р имеет пуассоковское распределепие с математическим ожиданием Х! У!, где !И вЂ” объем области У, а числа точек в непересекающихся областях независимы. Ответить на те же вопросы, что в задаче 5.45. 5.47. Автобусы прибывают на остановку в случайные моменты времепи т~ < тг <... Случайные величины тп тг, ...
независимы и т„имеет равномерное распределение в иптервале (и — 1, л). а) Найти плотность р(х) распределения интервала 6, т„+~ — т между автобусами. б) Найти плотность р„(хп хг) распределения двумерного вектора (6„, В„+,) при й 1, 2, ... в) Моменты $1 и $г прихода двух пассажиров па остаиовку независимы и имеют равномерное распределепве ка интервале (О, 1). Найти вероятность того, что опп поедут ка одном и том же автобусе. г) Моменты $г и эг прихода двух пассажиров па остановку независимы, 51 имеет равномерное распределеяве па интервале (О, 1), з $г — па ивтервале (1, 2).
Найти вероятность того, что эти пассажиры поедут на одном автобусе, 162 й 3. Цепи Маркова 5.49. Цепь Маркова $, имеет мноявество состояний ( — 6, — 5, ..., О, 1, ..., 6). Переходные вероятности рв= РЦ~вм /! $~ = д при 1чь 0 определяются соотпошеяиями 1, если / = 1+ 1(0 или 7 в — 1~~ О, '' Ов Маркова и множества ее Провести классификацию цепи состояний, если: а) рв,в 1, рв,< 0 (/чв6), б) рв,в = рв, -в = 1/2, рв,~=О в) рв, в рв, -в.= 1/2, рв, = О 5.50. э1атрица вероятностей (~1! Фб), (1Ф вЂ” 5, 1вь6).
перехода цепи Маркова имеет элд /0,1 0,6 0,4'1 Р = ~ 0,6 0,2 0,2 0,3 0,4 0,3 Распределение по состояниям в момент времени 1 = 0 определяется вектором (0,7; 0,2; 0,1). Найти: 1) распределение ао состояниям в момент 1=2, 2) вероятность того, что в моменты 1=0, 1, 2, 3 состояпиями цепи будут соответственно 1, 3, 3, 2; 3) стационарвое распределение. 5.51. Пусть ~, — номер состояния в цепи Маркова в момент времени 1; Р(эв = 1) = 1, и матрица вероятностей перехода имеет вид /3/7 3/7 1/7 1 1/11 2П1 8/11 1/11 4/11 6/11 положим /1, если $,=1, (2, если $г ть 1. д) ) Пассажир приходит па остановку в случайный момевт $, имеющий равномерное распределение па интервале (О, 1). Найти математическое ожидание, дисперсию и плотность д(х) распределения времени ожидания автобуса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
