А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 22
Текст из файла (страница 22)
((Пи — и р) а) Найти 1пп Р~ " «<х . ~ ир(! — р) б) Пусть 0 < г < 1, г т- р. Найти такие последовательности чисел А„(г) и В„(г), л= 1, 2, ..., для которых 1(пи — иг) — Аи (и) 1!ш Р~ " й " <х Ф(х), — <х< и ~ю и 4.54и. Случайная величина )г„ равна числу успехов в и независимых испытаниях Бернулли с вероятностью !24 успеха р; функция б(х) определяется соотношениями д (х) (.— х1пх+ (1 — х)1п(1 — х), 0<х» 1 г О, х=О или х=1. а) При р = 1/2 найти 1пп Р~и(Ь~ — ")+ 1п2)»х), х' вО.
б) При 0<р<1, рчь1/2, указать такую последовательность В (р), п 1, 2, ..., что 1!ш Р ~ Ви (р) (д ( — и) — д (р)) < х) = Ф (х), — ии < Х < ии, 4.55. Последовательность случайных величин $п$г,... и последовательности чисел а! аг ... и Ь Ь, ... у и г, , и ь г, ... удов- летворяют условию (и — и 1пп ~'— "ь "<«х~ =Ф(х) для любого х, (х)<оо. 1пп Р ~ —" Пустьа, а ... иЬ,Ь и г~ ° ° ° и Ь~ Ьг; ...
— две другие последователь- ности чисел. Рассмотрим три группы условий: а„ь„' а) 1пп — =1пп "=1, и.+и и и- Ьи б) 1пп (а„— аи) 1!ш (܄— Ь„) 0 ии — аи ь, в) !!ш " и =О,, 1(ш — '=1. и и и >и и Какие из условий а), б), в)' обеспечивают выполнение соотношения (4 — и 1ппР~"", и»«х Ф(х) дтя любого х, )х(<оо? 4.56.
Последовательность случайных величия $ь $г, сходится к случайной величине $ по распределению. а) Пусть существуют и конечны величины т = М$, ти М$„,. т 1!ш т„. Какие из соотношений т < т т лг т ) 1 , т т„могут, а какие не могут выполнятьсяг' б) Ответить на вопрос и. а) при дополнительном ус. я МУ <, !!шМЬ-,',< (25 4.57. Последовательность случайных величип ььЬ, сходится к случайной величине $ по распределениоо. а) Пусть существуют и конечны величины М Мьо, ЛХ» = М$'„, М = Пш Лг„.
Какие из соотношений М(М„, М= М„, М) М могут, а какие не могут выполнятьсяр б) Пусть существуют и конечны величины о = Ор, „'„"'= О~„, о'„Ншо„'. Какие из соотношений оо ~ и', о' = о', по > о' могут, а какие не могут выполнятьсл? й 3. Характеристические и производящие функции В атом параграфе задачи 4.58 — 4.83 связаны с вы- численяем производящих функций, моментов случайных величин и характеристических функций, в задачах 4.84 — 4.99 рассматриваются различные свойства характе- ристических функций, а в задачах 4.100 — 4.104 вычис- ляютсл характеристические функции свециальных рас- пределений и исследуются свойства многомерного нор- мального распределения.
4.58'. Найти производящие функции целочисленных распределений: а) пуассоновского: Р(ь = й) — е-", й = О, 1, 2, ... О ~ )» ( оо; б) геометрического: Р (в = й) = рд", й = О, 1, 2, р, д>О, р+д=1; в) биномиального: Р(ь й) С»р"47"-о, й О, 1, ... ..., и; р, д > О, р+ 47 1. 4.59'.
найти производящую функцию 4р(г) числа - успехов в и неаависимых испытаниях, если вероятность успеха в каждом испытании равна р. Использув этот ре- зультат, найти формулы длл М$„, Мь' ~ (й = 14 2, ...)4 . О~„. 4,60'. Производящая функция распределения слу- чайной величины $, принимающей целые неотрицатель- ные значения, равна 4р(г) = Мг', а) Найти М$, 04, М($ — Мй)э. б) Найти производлщие функции ор,(г) =мг" случай- ных величин ь, = $/2, (г = 2$, ьо = — ф и ьо = ~, — ьг, 426 где $~ и 4г — независимые случайные величины, имеющие то же распределение, что 3. в) Доказать, что при Ь > а > О 1 М вЂ” г' '4р(г) 4(г 4+а о 1 о М (4 + а) (4 + Ь) ~а ~ го-а 4 ~ Ка-44р (И) 4(и 4(г о о 4.61'. Пусть т4 — порядковый номер первого из испытаний схемы Бернулли (т.
е. последовательности независимых испытаний), которое окончилось успехом (вероятность успеха в каждом испытании равна р, неудачи — д 1 — р). Найти Мтп отьМг'Ц 4.62 . В схеме Бернулли обозначим через 0„ порлдковый номер испытания, в котором появился й-и успех; считая вероятность успеха в каждом испытании равной р, найти: 1) МЕ„ОЕ,; 2) 4ре„(г) Мгех 4,63. 'Закон распределения случайной величины определяется формулой Р(1- )-С.":,',-д"-", =, +1, ...
где т — целое положительное число, О .с р ( 1, д = 1 — р. Найти проиэводлщую функцию распределения $ и М$, 0$. Показать, что распределепие $ совпадает с распределением суммы т независимых одинаково распределенных случайных величин. 4.64. Найти закон распределения Ч = 3~ + ьг+ 54, если $в $г, $4 независимы и прв й 1, 2, 3; О( ~1 о =1 — рч Р ~»О-4 о, 4,» Р(оьл=))=С~ ~ р "у о, 1 тю т +1, ... 4.65. Бл ° Блучаиная величина ч распределена по закону П ассова У ' с параметром ), и ве зависит от результатов испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха р.
Обозпачвх4 О, число успехов в первых ч испытаниях схемы Бернулли. Найти: а) 4р» (г) = Мг»о б) МР» ОР„. 124 4.66. Производящая функция совместного распреде- ления величин 3!, $г равна (р (г) е!.(г!*т"'гбя+гт*!*! И1 англ, где р!+рг+рг 1, р!Р'-О, ! 1, 2, 3. Найти: а) одномерные распределения $! и 4г, б) М3!, М3г 0$!, 0$г, сот(~!, 6г), Являются ли величины $! и 3г независимыми? 4.67. Целочисленная неотрицательная случайная ве- личина 3 имеет производящую функцию !р;(г), Дока- зать, что если для целого й > 1 еА Пщ — ь <рз (г) = яг„~ оо„. „г! дг й ы то М$!"! = М5 ($ — 1)... (3 — й + 1) = ть 4.68.
Пусть $„г — число появлений 1-го исхода в и независимых испытаниях с ут несовместными исходами и вероятностью р! появления у-го исхода в каждом ис- пытании (у = 1, ..., Ж). Найти а) !р (г, ..., гл) = Мг, '!... гл ', б) Мз!"(, М$~",~$~„'Уу (! ~ у; й, 1 = 1, 2, ...). 4.69. Пусть выполнены условия предыдущей задачи и У=4, Ч л $ .!~ Ч л $,2+в,г~ Ч,г $мм ~ г=$„г+Ь„г„.! (! 1, 2, 3). Найти производящие функция расиредолеппй векторов (Чь! Ч~,г Ч,з), (ь.,!, ь.д, ь.,з) и коэффициенты корре- лЯцки Р(Ч„!, !1„г), Р(4 !, с„!).
4.70. Пусть величина т имеет распределение Пуассо- на с параметром Х и не зависит от исходов испытаний полиномнальной схемы, описанной в задаче 4,68. а) Найти производящую функцию распределения случайного вектора 3,=($,,!, „К.,к). б) Найти производящую функцию распределения числа уг! компонент вектора 3„, равных уг.
4.71. При каких значениях параметров дробно-линейи+ бг ная функция !?(г) = — ' будет производящей фупкци- ? -~- 6! ей целочисленной случайной величины? 4.72. Производящая функция целочисленной случай- ной вели шны 3 равна !рг(г). Найти характеристическую функцию С. 128 ' '4.73. Найти характеристические функции распределений; х а) пуассоновского: Р($ т) = — е ь т = 0 б) биномиального: Р($ т) С„р"'д" '", т= О, 1,...,я; в) показательного: рг(х)= !хе , х ) О. 4.74, Случайные величины $!, фг, ...
независимы и имеют показательное распределение с параметром ок Р(3,<х) =1 — е "", х~О, 1-1, 2, Найти М($! + ... + $„)" при любых значениях й, и 1, 2, 4.75, Случайные величины 3!, 3г, ... независимы, одинаково распределены и имеют характеристическуго функцию 1(г) — Ме ' (проиаводящую функцию !р(г) кх = Мг !), случайная величина т не зависит от 3!, ьг, ..., принимает только целые неотрицательные значения и имеет производящую функцию 3(г) Мг".
Найти харак- теристическую фупкциго (производящую функцию) слу- чайной величины ь, + ьг+ ... + $, при ч)1т О при о=О. 4.76. Производящая функция распределения случайной величины $, принимающей целые неотрицательные вначения, равна !р(г) Мг'. Выяснить, при каких условиях следующие выражения являются производящими функциями вероятностных распределений, и если являются, то указать, как соответствующие распределения связаны с распределением $! 4.77. Случайная величина 3 имеет биномиальное распределение с параметрами (и, р), т.
е. РД й) С~р" (1 — у!)™г й =0„1, ..., я. В л, и, зтеаев а ле, Прв каких условиях можно представить с в виде Ф=Ь+Ь+".+$- гдв $», ..., з независимы и при любом 1= 1, ..., и» случайная величина 3» имеет биномнальное распределение с параметрами (и», р,) (и, ~ 1, 0 < р» < 1) 7 4.78..Случайная величина $ принимает только целые значения, и /(1) Ме»п — характеристическая функция распределения С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
