А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 20
Текст из файла (страница 20)
~д дг 1 ... ддд»' 1' " ». „, »д- — 1- 1 Таблицы А и Б содерл»ат формулы для производящих и характеристических функций наиболее часто встречающихся распределений. Отметим, что приведенная в табл. Б формула для плотности многомерного нормального распределения в В" имеет смысл лишь в случае, когда матрица ковариаций В не вырождена (т, е. определитель В отличен от О), поскольку распределения с выроя»денными матрицами ковариаций не являются абсолютно непрерывными.
Однако формула для характеристической функции многомерного нормального распределения справедлива при любой матрице ковариаций В. Многомерные нормальные распределепкя с выродкденной матрицей ковариаций естественным образом появляются как предельпые распределения в л»ногомернол» варианте центральной предельной теоремы: если ~1, ...— независимые одинаково распределенные случайные векторы со аначевиями в й-меряем евклидовом пространстве йд, с математическим ожиданием а»и В' и матряпей ковариаций В (ве обязательно невырожденной), то последовательность распределений случайных величин (,+" +4„— д )/й при и - слабо сходится к многомерному пормальпод»т распределению в В" с нулевым вектором математических ожиданий и матрицей ковариаций В. 1 3акон больших чисел.
Лемма Бореля — Кантелли ) ) роиввсаяшкв Еукипия Наввакве рвсвреаслекия Формула Лля р(Е 1 а=1,2, ...,)у Равломервов 1 — р 1 — (п (1 — р) р", )с =х О, 1, Геометрическое Бпкомлальлое Слрл (1 (1 + р(е — 1))" )(л а=О, 1, (с! Птассоковсков е' 1.(х-1) р(~чк 3,5~- е~, е)0. Наввавие распрелслепяя Характвристи мекая Еукклия Формула лля ллотвости р ~~ )' — рв/ ~ е~, е ~ О. ,1а( ('е1 1 — 0(х(а Равломервое 1 — — а «( х ( а е и е( Равномерлов Иокааатальлов ае ах, х)0 1 — г 1/а е е а — 1 -х х>0 Гамма-распределение (1 — а)" (х-с) — е 1С о ~/2я св(в ксе в Нормальное распро- делввлв 3„= соз— пи+1' п=1,2, — сс <я< се 1 с и Ь~ + хв' — Ь) 1) Распределелне Коши — сс ( х ( сс (х — с,л 1(х — п)ут Тнвогомвркое нормальное распределение в ))л Ц(,с; — П,Ю) 1 е (2.,) Я! е -~/ Ю( )) хен Лв И2 Тебекяе д.
Ирокаводищле функции Телеков Б. Характеристические 4)увкцкл 4.1 . Пусть функция д(х), х ~ О, неотрицательнз п монотонно воврастает. Показать, что для любой действительной случайной величины 4 справедливо неравенство 4.2'. Пусть случайная величина Ч„равна сумме очков, появившихся при и бросаниях симметричной игральной кости. Используя неравенство Чебып(ева, оценить сверху 4 3 Пуст( 31 ьт ..., фве) — результаты и + 1 испы- таний схемы Бернулли (р(ь~ = 1) = р, и случайная величина Ч„ равна числу таких 1, . 1 и, '- '(и что 51=А(+1 1.
Используя неравенство Чебышева, оце- нить сверху 4.4. Последовательности з), $1, ... и Ч(, трл ... образованы одинаково распределенными случайными величинами, независимыми внутри кая(дой последовательности (случайные величины $, и Ч1 могут не быть незавпспмымп), М$,=МЧ)=а, ОЧ( ОЧ((». Выполняется ли закон больших чисел для последовательности Ь(, Ьт, .... ~11-1=~1, ~тв=Ч1, (Е=1, 2, 4.5'. Случайные величины 21, $1, ... независимы и пме)от стандартное нормальное распределение, Удовлетворяют лн последовательности Ч(, Чл, Чб, ° ° ° и Ч) Чт Чл закону больших чисел( 4.6'. Последовательность 2(, 21, ... образована незавнсвмымн случайными величинами, имеющнмн норлшльпые рлспределенпя М51 О, (х$1=С)еи, С)0, а~0, )1=1, 2..., Описать множество тех вначенпй а, прп которых послав А.
и. з)оков и лр, 113 довательпость ч(, $2..., удовлетворяет закову болыпих чисел. 4.7. Последовательность $(, $2, ... образовапа независимыми случайными величинами, М$2=0, 2Р$2= С(2"-, С>0, а>0, й 1, 2, ... При каких звачениях 22 последовательность $(, Чз, мо(кет удовлетворять закопу больших чисел и при каких зпачениях а может не удовлетворять ему? 4.8. Последовательность $(, $м ... состоит из незави симых одинаково распределенных случайных величин, М$2= О, Ц2 =о2<, ?2 =1, 2, ... Удовлетворяют ли закову больших чисел последовательности случайных веппчип („((2) ~п=$Р+ $Р+2~ 21я= Х $а+Ю 4.9.
Случайные величины 4(, 4м ... независимы, М~, = а, 0$, = с' < . Пусть Ь" ~ $ДРь ПокаЫ(<~~22 вать, что последовательность Ь„удовлетворяет закову больших чисел: для каждого е ~ 0 11шР:",— аз )е =О. 4ЛО. Показать, что утверждевие предыдущей задачи останется справедливым, если в ее формулировке заменить условие независимости 4(, йг, ... условием их векоррелированвоств: МД( — а) ($2 — а) =О, 1 ~1<1< о. 4,11. Пусть функция ?(х), 0 < л < 1, ограпичепа и иктегрируема, а $(, $м ...— независимые случайные величины, раввомерно распределенные на отрезке (О, 1].
а) Доказать, что при любом е ) 0 Р ( ') '" (") — ) ?(з)2Ь )е~ = 0 22 Р а б) Найти Р ( ) (( ) з ) 0 ))'(?,)+ "+«42) Р 22-Р )/а~ 2 114 4.12. Пусть ограниченная ивтегрпруемая фупкцк н '1(х), -о <х <, имеет период 1, а случайные величины $ в ц независимы и равпомерпо распределены ва отрезке ]О, 1]. Построим последовательвость случайных величин ?Я+Йц), ?2=1, 2, ... а) Доказать, что случайные величины ь(, ьт, ... покарко независимы и одинаково распределены.
Найти М~ь 0~(. б) Показать, что для любого е ) 0 Н Р) ' '„" "— ](((2*)~ )-2. ] 42+" +1„ Р(-РР о ( В *, )((Р( — ](( (Р* ~ о уы]а, Ь]~(0, 1), то при любом п 1, 2, ... 2 Р( "— ](( )Р* ) ))2(:) о 4ЛЗ. Пусть случайный вектор $~"~ = ($~~"~, ..., $("~) имеет нормальное распределение в В" с пулевым вектором математических ожиданий и единичной матрицей ковариаций, а Вь . — мпол2ество всех таких точек л =(х(, ..., х(Р) 2иВ", что (1 — е) г (!! х ] = (х2 + ... + х'„)2м ( (1 + е) г, Показать, что при любом е ) 0 11ш Р]$("'ея В„-„,] = 1. 2(- 4Л4".
Пусть случайный вектор $(Ро тот же, что в предыдущей аадаче, а Сс.— множество всех таких точек х (х(, ..., х„)(иВ", что (1 — е)гч1 ]х(]+...+ ]х 1<(1+е)г, е)0. Показать, что при любом е ) 0 )пп Р Й("(ея С„; — „,] -1. ((-Р Сравнить с результатом задачи 4ЛЗ. 8' 4А5. Случайные величины $1, фз, ... независимы, одинаково распределены, имеют математическое ожидание а и для некоторого е, 0 ( е ( 1, и, М(~! — а!!+' ( Показать, что для любого 6 ) 0 И та Р ~ ~ ' " — а ~ ) б~ = О. 4А6. Лемма Бореля — Кантелли. Пусть А), Аз, ...— события, заданные на одном вероятностном про- странстве, и случайная величина т равна числу одповре менво происходящих событий. Показать, что: а) если ~л Р(Ап)(оо, то Р(т(оо) = 1, и=1 б) если события Ат, Ат, ...
попарно независимы и ~~"„Р (Ап) = со, то Р (т = оо) — 1. И 1 4,17. Пусть А), Ап ...— события, заданные на одном вероятностном пространстве, и случайная величина равна числу одновременно происходящих событий, По- казать, что если Р(А ) ~а)0, п=1, 2, ..., то Р(т ) >а. 4.18. Последовательность чисел с„ удовлетворяет ус ловиям О~с„-61, ?Ип си О. Всегда ли существует та кан последовательность событий А), Аз, ..., что Р(А„) = = с„и для числа ч одновременно происходящих событий справедливо соотношение Р(т < ) = 13 4.19. Последовательность З), $1, ... случайных вели- чин и случайная величина Ь удовлетворяют условию 2~ Р6 тип — ьп~ ~ е) ( со для любого е) О.
и=1 Показать, что Р/??ш $„= ~) 1. )пи 4.20. Последовательность $1, $1..., случайных вели» чив и случайная величина Ь удовлетворяют условию ~~~~~ М Д„вЂ” ь) ( оо, и 1 Показать, что Р(??ш $и = ~~ = 1. ти 116 4.21. Случайные величины $1, $1, ... пезанйстт)ты ч пмоют одно и то же показательное распределение с параметром )л Р($.~х)=1 — е ', х)0, п=1, 2, ... Пусть з — произвольное число из интервала (О, 1/Х), случайная величина т, равна числу одновременно про- 3 (Е 1 исходящих событий Ап =-1 — — + в), а ?т, — числу "=',?и одновременно происходящих событий 1и Ь Гиииип а) Показать, что Р(т, ( ) = Р()т, ( ) = 1 при любом е ы(0, 1/)Л). б) Вывести из результата п. а), что последователь! и ность случайных величии ьи —, п-1, 2, ... удов1и и' '! летворяет условию Р(?тш Ь„= — (= 1.
!и-! 4.22. Случайные величины с), $1, ... имеют математическое ожидание а и дисперсию от( и не коррелированы: МЯ! — а) ф — а) = О при любых 1Ф/. Доказать, что 41+" +$„1 Р(Иш „" а =1. т и-! п 4.23. Случайные величины $1, $1, ... имеют математическое о)квдание а и дисперсию оз( и не коррелированы, а 1)и= птах ), 1 + $„1 + ...
+ $1 — (й — пз)а(, и~~ьИ(и+1) п=1, 2,... Доказать, что Р ?1щ —, = 0 = 1. !1 п и,,п 424". Усиленный закон больших чисел. Доказать, что если случайные величины $1, $и ... имеют математическое ожидание а, дисперсию о'( и не коррелпрозаны, то 1! + ... л- 4, Р)(Итп ' =а =1. [и-! !и 4 2. Прямые методы доказательства предельных теорем В атом параграфе задачи 4.25 — 4.32 свяэавы с ка~ хождением предельных распределений с помощью ана лиза свойств допредельпых распределений, задачи 4.33— 4.44 — с применениями закона больших чисел, в задачах 4.45 — 4.57 изучаются свойства рааличных видов сходи мости последовательностей случайных величин.
4.25. Случайные величины йь $м „$„независимы и имеют одно и то же геометрическое распределение с параметром р, 0 ( р ( 1: Р(й,=й)=(1 — р)р', й=0,1,2, ... а) Показать, что Р(Ьт+ ° .. + $п = Ь) = Са+й-т(1 — р)"р"т й 0„1, 2т .., б) Найти д~„"~ =1(ш РЯ + ... + ~„— т = й[$ + ... + $„) ти) — — 0,1,2, 4.26 (см. задачу 1.53). Первый ряд кинотеатра спето ит иэ )т' кресел. Зрители один за другим заполняют этот .:; ряд, причем каждый из них может с равной вероятностью у завять любое из кресел, свободных в момент его пряха да. Пусть т~ (Ж) — порядковый номер первого зрителя, который сел в кресло, паходящееся рядом с уже занятым креслом, тт(У) — порядковый номер первого зрителя, который сел в кресло, симметричное отпосительпо середины ряда одному иэ запятых кресел. Найти заковы распределения т~(Ж) и тт(Ж) и предельные при )т'- ° рас т;(Л'~ пределения случайных величии ', т = 1, 2, т.
е, функ- ~/У ' [~т (Лт) ции Ст(х) =!Нп Р~ ' (х . М с 4.27'. Плотность рт(х) случайной величипы $ вепре рывка и ограиичепа ва отрезке [а, Ь[ и равна 0 вне [а, Ь[. Положим т)„= (и$), где (х) — дробпая часть числа х. ' Найти Цпт Р (т) „» х), О <~ х ~( 1. 4.28.
Показать, что утверждение предыдуптей задачк справедливо для случайной величины $ с кусочко-непрерывной плотностью. И8 4.29. Случайная величина ~ имоет пепрерывпую плот- рость распределения р(х). Найти предельное распределение случайной величины (дпЬ, при и 4.30 (см. задачи 4.28 я 4.29). Случайная величипа $ имеет непрерывную плотность распределения р(х). Найти предельное распределение случайных величин (т + я)" — (1 — й)" — „прп и- со (здесь 1= )I — 1). т (т т тЫа ) (1 тЬ)ч 4.31ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
