А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Най-. ти функцию распределения случайной величины = $'+ $' 7" 99 3.231. Случайные величины фь ..., 3„независимы и имеют нормальное распределение с математическим ожиданием 0 н дисперсией 1. Распределение случайной величины Ч $1 + . ° . + $з называется ?1з-распределением с п степенями свободы. Найти плотность распределения д„. Какое ив распределений, перечисленных в конце введения к гл. 3, при соответствующем выборе параметров совпадает с распределением ц„? 3.232', Случайная величина ц„ имеет ?('-распределение с и степенями свободы (см, задачу 3.231). Найти Мд„, од.. 3.233'.
Найти М$ и 0$, если )п $ имеет нормальное распределение с параметрами (а, о') (в атом случае говорят, что ?. имеет логарифмически нормальное распределение). 3.234'. Для случайной величины $, определенной в задаче 3.233, найдите точку, в которой максимальна плотность распределения $ (зта точка навывается модой распределения). Найдите отношение математического ожидания 5 к ее моде. 3.235*. Некоторая категория людей имеет средний вес т кг и среднее квадратическое отклонение веса 3 кг.
Для случаев гл 60 и т = 10 определить вероятность того, что вес случайно взятого человека отличается от и не более чем на 5 кг; если: а) вес имеет нормальное распределение; б) вес имеет логарифмически нормальное распределение. 3.236'. Для случайных величин г)и т)т, определенных в 3.229, найти Мц"„Мцз. 3.237'. Случайная величина 5 имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Найти М5 сов $, М вЂ” з, М в1п $. 1+$ 3.238.
Случайная величина ч имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Найти М сов 5, 0 сов 3. 3.239. Случайная величина з имеет нормальное рас пределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Что больше: 0 гйп $ илн 0 сов "? 3.240. Случайная величина 3 имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1/2. Найти М сов($'), Мв1п(зУ). 3.241'. Случайные величины ю, $з незавнсвмы и нормально распределены с параметрами (О, 1). Явлшотся ли независимыми величины з)1= 51+ Зь т)з = 5, — 5з? 3.242'. Случаиная величина 5 нормально распределона с параметрами (О, 1).
Положим е сли ( 1((1 9 ~, если !$~~1. а) Найти закон распределения т1. б) Имеет ли величина 5+т) нормальное распределение? 3.243'. Случайные величины $ и ц независимы и имеют нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Найти Р((5- „1 ~1). 3.244 . Случайные величины $и 5ь 5з независимы и нормально распределены с параметрами (1, 1), (', 5), (2, 5) ,(О, 7) соответственно.
Найти: а) Р(2$~ — Вз ( 0), б) Р( — 3~ 251 — $з ( 5), в) Р(1(2Ц~ — 5з+5з( 4). 3.245. Случайный вектор ($и $з) имеет сферически симметричное нормальное распределение с 051 = 0вз = о'. Найти распределение вектора (ьи ьз), если 1~ = $~ соз ф+$з з1п ф, ьз = — 51з>в ф + 5з соз ф. 3.246. Случайный вектор (4и ьз) имеет сферически симметричное нормальное распределение с 05~ = 0ьз = 1. Доказать, что случайные величины ь1аз и -2- (ы — ьз) одинаково распределены. 3.247'. Случайные величины $1 и йз независимы и имеют нормальное распределение с параметрами (О, 1). Найти совместное распределение случайных величин ~~ =аЬ+ Ь$з, ьз=а51 — Ь$з при а, ЬФО. 3.248'.
Случайный вектор (пи цз) имеет нормальное распределение с М91 = Мг)з = 0 и матрицей ковариаций ! о, 7 , . Найти распределение вектора (с1г)и езде) при 7 оя( си сеФО. 3.249. Случайный вектор (~ь $з) имеет нормальное распределение с Мз| = Мзз = 0 и матрицей ковариаций ,'о, 7( Случайные величины ~1 и ьз независимы и име- )~ 101 <от нормальное распределение, Мь< Мьз = О, Оь< " — — Оьз = 1. Доказать, что случайные величины э<э» и / » э (ь, (о,о, + у) — ь» (а,о, — у)) одиваково распределевы. 3.250. Случайные величины $< и $з везависимы и име <от нормальное распределение с математическим ожида« нпем 0 в дисперсией о».
Случайвые величины т1< и Чз опрЕделяготся соотвошением (й, + <5,)» Ч + 'Ч»=(. „5»)< — пз» где 1= 1' — 1, а, й ) 0 — целое число. Найтв совместное распределение величин 6<и »1». 3.251. Случайные величины $<, $з независимы и имеют нормальное распределение с параметрами (О, 1).
Найти математическое ожидание величивы <' » с«т/ »1 = — е(4'ч'»У!» (1 + 5» 1 5»)-з<з 3.252. Случайные величины $, т! пеэависимы и вормально распределены с параметрами(0, о(), (О, озз) соответственно. Вычислить при и< = 1, пз = 2 вероятность попадания случайной точки (Э, т))<п Лз в следующие области: а) прямоугольник !х! < 1, (у! '== 2; б) прямоугольник 0 < х -= 2, !у! < 2; в) прямоугольник 0 < х - 2, 0 < у < 4; г) трапецию х+ у < 0, !х! < 1, у> — 2; д) обе г пасть — + — - 1, ограниченную эллипсом, вписанным в прямоугольник !х! < 1, !у! -= 2; е) область — + э (1 с 4с ограниченную эллипсом, описапвым около прямоугольпика !х!<1, !у!<2.
3.253, Мост через реку представляет собой прямоугольник, коордиваты которого в декартовой системе координат удовлетворяют неравенствам: (х!», 10, !у! — 100. Нри артиллерийском обстреле моста точка попадания снаряда ($, т1) в той же системе координат ичеет двумервое вормальпое раснределение с независимыми координатами и со средними квадратическими отклонениями а« = 10, о„40.
«Точкой прицеливания» назовем (М$, Мт)). Определить вероятность попадания в мост при одном выстреле, если точка прицеливапия равна: а) (О, 0); б) (10, 0); в) (5, 20). 3.254. Случайные, величины 3, т) имеют сферически спмметрвчи< е эормальпое распределепие с Оэ =-О<) = 4. 1оэ Найти вероятность попадапия точки ($, т1) в прямоугольник с вершинами (О; 3), (4; 0), (1,8; 5,4), (5,8; 2,4). 3.255. Случайные величипы 5, «1 имеют двумерпоо пормальвое сферически симметричное распределение с М» = Мц = О, 0$ = Р<! = 1. Найти вероятпость попадания случайной точки (Э, ц) в: а) треугольник с вершивамп (О; 0), (1; 1), (2; О); б) треугольпик с вершинами (О, 2), (2, 0), (2, 2); в) треугольник с вершинапи (2, 0), (1, 1), (1, 2).
3.256. Случайная точка (5, ц) имеет сферически симметричное нормальное распределение с 0$ = От! = 1, Найти совместную плотность распределения ее полярных координат. 3.257. Случайвая точка (й, »1) имеет сферически симметричное нормальное распределение с 0$ = От! = 1. Найти вероятность попадания ($, »1): а) в квадрат С = ((х, у): !х! -.= 3, !у! < 3); б) во вписавныв в С круг; в) в описаввый около С круг. 3.258.
Случайные величины 5, т) независимы и нормально распределены с Мэ = М») = О, 0$ = 0«1 = 4. Найти вероятность того, что случайная точка (Ь, т1) попадет в: а) кольцо ((х, у): 2 < Ух»+ у» < 3); б) область ((х,у): 2-'= ш1п(!х!, !у!), шах(!х!, !у!)< 31; в) область ((х, у): 2 < !х! + !у! < 3). 3.259.
Случайные точки А< =($<, «1<) и Аз =($», «1») па плоскости Л' независимы и имегот сферически симметричное иормальвое распределепие с единичпой матрицей ковариаций. Найти фупкцию распределения длины отрезка А<А«. 3.260». Случайные точки А< =(э<, »1<) А» =(ь» Ч»), Аз =(5», т!») ва плоскости Лз независимы и име<от вормальвое распределевие с нулевым вектором математических оя<идавий и единичной матрицей ковариаций. Найти фувкцию распределения длины медиапы А<М< треугольника Л<Л»А».
3.261», Доказать, что в условиях задачи 3,260 длина егоровы А»А» и длина медианы А<М< треугольника А<А»А» — независимые случайные величины. 3,262*. В условиях задачи 3.260 найти вероятность того, что треугольник А<А»А» — тупоугольпый. 3.263. Случайвые точки А<, Аз, Аз независимы и имеют равномерное распределевие ва окружности едивичвой 1оз длины. Найти вероятность того, что треугольник А >А 2Аз — тупоугольный. 3,264'. Случайный вектор $ Ц<, $2)<иВ2 имеет дву- мерное нормальное расйределение с нулевым вектором математических ожиданий, область А — угол с вершиной в начале координат и раствором а.
Доказать, что если область А' симметрична области А относительно начала координат, то РЦ ж А'1 = РЦ <и А), 3.265. Случайный вектор 3 ($>, 32)<и/<2 имеет дву- мерное нормальное распределение с нулевым вектором ма- 1 о 0 тематических ожиданий и матрицей ковариаций ~,о о;,/. Найти Р(($> ( ) а!зз(1, а ) О. 3.266. Случайный вектор 3 =(З<, $2) и Вз имеет невы- рожденное двумерное нормальное распределение с нуле- вым вектором математических ожиданий и матрицей ко- вариаций ) о<;1,'; „1о>2( «п><озз. Найти Роо РЦ>*иО, $2>01, ' Ро> РЦ<>0, Вз«01, р>о Р($< <О, $2~>01, рн РЦ< «О, 22«01. 3.267. Случайный вектор $ (З<, $2)ж 1«2 имеет дву- мерное нормальное распределение с нулевым вектором /о а>> математических ожиданий и матрицей ковариаций ~ ) Ла о а ~ С о'.
1-1айти Р(0 » «ь> » «хауз)~ х ) О. 3.268', Случайный вектор 3 ($>, $2)<из<2 имеет пе- выроясденное нормальное распределение с нулевым век- тором математических ожиданий и матрицей ковариаций Найти: а) Р($> > а$21, оо «а «оо; б) РЦ<~а$2+Ы, — о «а, Ь«оо, 3.269.
Случайный вектор '($<, $2) имеет нормальное распределение с нулевым вектором средних и ковариа/оз р дионной матрицей ~ ).Показать,что функция т(х) р оз М(З»сз х1 линейна, а з(х) Щ>Ц2 х! постоянна, 3.270. Случайные величины $>, $2, $2 независимы и имеют стандартное нормальное распределение, а $<» « -- =~<2> < $<з> — их вариациоппый ряд (см. задачу 3.60).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
