А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 17
Текст из файла (страница 17)
3.192. Найти условную дисперсию (г($1$+Ч г) в случаях а), б), в), определенных в предыдущей задаче. 3.193'. Случайные величины $, Ч независимы и оди- наково распределены. Найти М(91$ + Ч = г). Разобрать отдельно случаи, когда 9 имеет дискретное распределе- ние или положительную плотность. 3.194'.
Плотность совместного распределения величин $, Ч определяется равенствами: ртз(и, и) 1 при (и, и)тв 94 гн 6, р,„(и, п)= 0 при (и, п)Ф С, где С = ~(и, п); 0(и( »(2, 0<о(1 —. 9 и). Найти плотность Рчт .(х) Условного распределения Ч прв условии $ = з. 3.195. Пусть $ь фз, ..., $ — результаты и последовательных испытаний Бернулли, РЦ, 1) = р, РЦ~ =0) = д = 1 — р. Доказать, что для лтобого й (О < й -и) условное распределение набора $ =($ь ..., $„) при условии $~ +... + $ = Ут является равномерным на множестве всех С"„наборов, состоящих из й единиц н и — Ут нулей. 3.196.
Случайная величина Х~ имеет биномиальное распределение с параметрами (и, р), случайная величина Хг при условии Х~ имеет биномиальное распределение с параметрами (Хь р), Хз — прн условии Хт имеет бпномиальное распределение с параметрами (Хь р), ... ..., Х, при условии Хт ~ имеет бииомиальное распределение с параметрами (Х, ь р), Доказать, что безусловным распределением Х, является биномиальное распределение с параметрами (и, р'), 3.197. Случайные величины фь йг, ..., 9е независимы н распределеяы по закону Пуассона с параметрами У,ь Утг, ..., й„, Найти.' а) РЦ~+...+$„=ит($~+...+$ ° =' и)~ б) М($~ + ° ° ° + фт[$~ + ° ° + Кн = и). 3 198.
Из урны,' содержащей М белых и Ут' — т)т' черных шаров, сначала извлекается без возвращения выборка объема,и, а затем из этой выборки извлекается без воавращения выборка объема ио( и, Найти закон распределения числа $ белых шаров во второй выборке. Зависит ли этот аакон от и7 3.199. Случайные величины $ь $г, $з независимы и распределены нормально с одинаковыми параметрами $, + $тфз а О, а = 1; положим Ч = ' т э .
Найти распределе- 1+ эз ние Ч. 3.200. На отрезок [О, .а) брошено три точки, нх координаты $ь фз, фз неаависимы и равномерно распределены на отрезке [О, а[. Найти двумерную функцито распределения $з, $з при условии, что $~ = г < ппп Ць эз), 0 ( (г(а, 3.201з. Пусть $~ Цп, $и),, $„(э„ь ь„т) — независимые случайные точки, имеютцие равномерное распределение в квадрате 0 < хь хг < 1.
Назовем точку $~ = =($чн эьг) граНиЧНОй, ЕСЛИ дЛя ЛЮбОГО у' = 1, ..., И ВЫ- полняется хотя бы одно иэ условий $п ~ эп э г ~ $'г и обозначим через кв число граничных точек. Найти Мк.. 3 202. Пусть $1, Ь ... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием а > 0 и дисперсией о ~ ', случайная величина т яе зависит от фп Зг, ...
п криви мает целые положительные аначения, Мт б, а т = $~ + $г+... + 3„. Найти Мт и (при дополнительном условии 0т =бг) 0т, 3.203. Случайные величины $, у( независимы. Дока- вать, что при любом х Р($ ~ шах(у(, х) ) ~ РЦ ~ у))Р(9 ~ х). 3.204. Случайные величины $, т1, ь независимы. Доказать, что Р (9 ) шах(у), Ь)) ~ Р(4 ) у()Р(9 ~ ~). 3.205. Случайные величины $п $г, ...
независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [О, Ц. Пусть 6~ = 1, и если и ~ 2, то 1 прп 5»(уп(п(эы ...,9»), 6„= 0 в противном случае. Построим последовательность т„моментов появления ми ннмальных значений $„и последовательность их величин у)„т. е. положим то=О, у1о=1, т» ппп(и: и>т„п 6.=1), 11,=3,„, 0=1,2, ... а) Доказать, что при луобых й~ 1 и х ш [О, 1) услов ное распределение у(» при условии у(» ~ =х является рав номерным на [О, х). б) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины 9» — 1п пм в) Найти условное распределение, математическое ожидание и дисперсию случайной величины ув» = т,— — т» г при условии 11„1 = х.
г) Найти Мт, при )о > 1. д) Доказать, что случайные величины бп бго ... не- 1 зависимы и Р(6„= 1) = —, и = 1, 2.. 3.200. Пусть ~п ьг...,— независимые случайные воличины, имеющие показательное распределение с параметром й: Р(ь,~В=1 — е ", и бе=О, Я»=~и бг= 99 ь1+ ьг, ... Пусть, далее, случайные величины гп зг, ° ., $„независимы, имеют равномерное распределение на отрезке [О, а), а>0, и $<п ( $,г, (... ( $,, — пх варпационный ряд, т. е. перестановка Цп ..., $ в порядке неубывания. Доказать, что условное совместное распределение (51, Юг, ..., Я„) при условии Я„(а(Я„»~ совпадает с совместным распределением (~пп $~гэ ° °, 4~ ~).
3.207. Случайная величина $ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией ог. Показать, что при любых х > О, С > 0 Р~~ — х> — ~$>х)<е шо. 3.208. В схеме Бернулли с вероятностью р исхода 1 и вероятностью д = 1 — р исхода 0 найти математическое оукпдание числа тоо испытаний до первого появле-. ния цепочки иэ двух пулей. В частности, вычислить Мчоо при р = 11'2. 3,200. В схеме Бернулли предыдущей аадачи найти математическое ожидание числа 91п испытаний до первого появления цепочки нз трех единиц. В частности, вычислить это математическое ожидание при р =112, 3.210. В схеме Бернулли задачи 3.208 найти математическое ожидание числа то~ испытаний до первого появления цепочки 01'. В частности, вычислить зто математическое ожидание при р = 112. 3.211.
Точки Ап Аг, ..., А„независимы и имеют равномерное распределение на окружности единичной длины. Найти вероятность того, что длина наименыпей дуги, содержащей все эти точки, не больпуе х < 1/2. 3.212. Точки Ап ..., А„независимы и имеют равномерное распределение на окружности Я с центром О. Найти вероятность того, что О лежит внутри выпуклого многоугольника с вершинами Ап..., А„. 3.213. Тоуки Ап ..., А независимы и имеют равпоыерное распределение на окружности с центром О, э случайная величина т равна наименьшему и, при котором выпуклый многоугольник с вершинами Ап ..., Л„ содержит О.
Найти Мт и 0о. 3.214. Точки Лп ..., Л„неэавнсиыы и имеют равномерное распределение на окружности радиуса у(. Найти вероятность того, что выпуклый многоугольник с верпуинами Ап ..., А„имеет непустое пересечение с окружностью радиуса г = Л1'2, копцентричной исходной окружности. 97 7 л. м, зубков в др. 3.215.
Точки Аь ..., А„'(п«2) независимы и нме ют равномерное распределение на окружности радиуса г. Пусть Ап, — — Ап Амо А~зв ..., Аоо — точки Аь ..., А„, расположенные в том порядке, в котором они встречаются прн обходе окружности по часовой стрелке. Найти закон распределения длины 9 дуги Ан,А,з, и значения М$, 09. 3.216. Пусть выполнены условия задачи 3.215 и $,— длина дуги А<оАа,п. Найти совместное распределение и коэффициент корреляции 5ь $з. 3.217.
Пусть выполнены условия задачи 3.216. Найти закон совместного распределения $п ..., $д при А ~ и. 3.218. Пусть выполнены условия аадачн 3.216. Показать, что совместное распределение 9Ч, ьд,, °, $6 с 1 ~ й ((з (... (, < и совпадает с распределением $Ь .,9 3.210. Пусть выполнены условия задачи 3.216 и ч— число дуг Ла,А„»н длины больше (д, 0 ~ дд ~ 2яг. Найти Мт, 0т и асимптотнческие формулы для них при г = и/2юй, ив 3.220. Пусть выполнены условия задачи 3.216. 'Найти закон распределения случайной величины т(.=шахЦп ..., $.). 3.221. Пусть выполнены условия задачи 3.220, Найти Мд(„и асимптотическую формулу для Мд( при я- 3.222. Точки А, В, С неаависимы и имеют равномерное распределение на окружности единичного радиуса. Пусть Я вЂ” площадь аАВС, р — его периметр, г — радиус вписанного круга.
Найти МЯ, Мр, Мг. 3.223. Стороны прямоугольника АВСВ параллельны осям координат. Найти математическое ожидание площади о прямоугольника АВСВ в следующих случаях: а) координаты (ап аз) точки А фиксированы, 0 -= а, ат ~ 1, а точка С имеет равномерное распределение на диагонали единичного квадрата, соединяющей его вершины (О, 0) и (1, 1); б) точки А и С независимы; точка А равномерно распределена в единичном квадрате [О, 1! Х [О, 1), а точка С имеет то же распределение, что в п. а), 3.224». Батарея иа а орудий производит залп по цели, находящейся в точке а дн( —, »»). Если (-е орудие наведено на точку 5, дн(-, » ), то выпущенный яз него' снаряд попадает в точку 5~+ 5~+ 9, где $< — естественное 98 рассеяние для (-го орудия, а 9 — одинаков(эй для всох орудий снос вз-за ветра.
Цель оказывается пораженной, если хотя бы одпп снаряд попадает яа отрезок [а — е, а+ э!. пусть йп ..., 9, ь — независимые случайные величины, ф< имеет равномерное распределение на отрезке [-с, с), а Ь вЂ” равномерное распределение па отрезке [ — д, д), 0 ( с( г(. Найти и сравнить вероятности поражения цели (и их пределы при п- ) в следующих случаях: а) все орудия точно наведены на цель (р1 = рг = ° -й„=а, с+з(д); б) точки прицела выбираются случайно (5ь ..., 5„— независимые случайные величины, имеющие равномерное распределение на отрезке [а — Ь, а+ Ь), Ь «с+ д+ з).
6 4. Нормальное распределение 3.225 . Случайная величина 9 имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Каков из двух событий: ([$! <0,7) или ([9! «0,7)— имеет большую вероятность7 3.226'. Случайная величина $ имеет нормальное распределение с параметрами (О, 1). Что больше: Р(-0,5 -ц $ ~ -0,1) или Р(1 -.~ $ к 2) 7 3.227'. Случайная величина 9 имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 н дисперсией о'. Найти Щд, й 1, 2, ... 3.228.
Случайная величина $ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией оз. Показать, что при любом а«0 хд д 1 д а =е гз ! — — — »)(Р(9 ~х)(=е д» вЂ”, 3.220'. Случайная величина 9 распределена нормально с параметрами (а, аэ). Найти: а) плотность распределения величины тп зз пРи а 0; б) плотность распределения величины д(з = зд при произвольных а, о. 3.230'. Случайные величины $~ и $9 независимы и имеют нормальное распределение с параметрами (О, оз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
