А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 16
Текст из файла (страница 16)
3. $53. 3. Покааать, что для любых случайных величин ь1, ьк ..., 4» с конечными г-ми (г~ $) моментами спра- ведливо соотношение М!а»1 + ° ° ° +а»»! < й 1(М!аь1! + ° + М!аь»! ) ° 3.154. 4. Доказать, что при 1 < г ~ 2 справедливо не- равенство [х + у!" + !х — у!' < 2(!х!" + !у!')', -с» < х, у < », и с его помощью покааать, что если случайные величи- ны 5 и г! независимы и распределение т! симметрично (т.
е. распределения т! и -»$ совпадают)', то при любом г, 1<г=2, М[8+,! ~М[5[+М!,!.. 3.155. Покааать, что если случайные величины $ь ... 8„независимы,, имеют симл»етричные распределения и М[51!'< ', 1= $, ..., и, для некоторого гы [1, 2], то М!51+... + с,!' < М!51!'+... + М!5„!'. 88 3.156». Показать, что если случайные величины з и ц независимы, Мг! = О, и М!5!'<», М!1!!" <о для некоторого действительного г ~ 1, то М!5+ ц!" М[5! . ЗЛ57. Используя аадачи ЗЛ53 — 3.156, доказать, что если 51, ..., 5 — независимые случайные величины, МЗ1 = О, М!8,!' < с, 1 = $, ..., и, для некоторого г, 1 < ~г<2, то М!51+...
+~„!' < 2'(М!5 !" +... + М!~„!")'. 3.$58. Случайный вектор 5 =(а1, ..., 5»)' принимает значения в В", и существует такой набор чисел (ас, и1, ..., а»)»ь(0, О, ..., 0), что Р(а 41 +... + аД, + ас 0) 1. Доказать, что если все елементы матрицы ковариаций В=)с»1$ компонент вектора 5 конечны, то: а) деФВ-0; б) (а„...,а»)В (В(я»»...,г»»)~)~ = О, где и — знак транспояирования. ЗЛ59. Случайный вектор 8 =(51, ..., ь») принимает значения в В' и имеет математическое ожидание я»ы В" и матрицу ковариаций В 15,11. Доказать, что: а) матрица В неотрицательно определена, т. е. Ьяа;а; = (а, Ва) ) О для любого а ~ В"; »,1=1 б) а если ранг матрицы В равен г, то существует г-мерная гиперплоскость Х,1= В', для которой РЦ 1н 1н»,) = 1, и РЦ»и $,-1) < 1 для любой (г — 1)-мерной гиперплоскости Е, 1 < В'.
ЗЛ60. Случайные величины 51, 51, ..., 8„независимы и равномерно распределены в отрезке [О, 1[. Найти Р(81+ 81+...+ $„(х) при 0 <х< 1. 3.16$. Случайные величины з1, 5м ... неаависимы и равномерно распределены в отрезке [О, 1[. Определим случайную величину г равной тому аначению Й, при котором впервые сумма 81+ 51 +... + 5» превзойдет 1. Найти Мч.
3.162. Случайные величины 81, ..., З„независимы; 051 =а,', 1 1, ..., и. При каких с1, ..., с„, удовлетворяющих условиям с» Р-О, с1+... + с = 1, случайная ве- 89 личина т). с~6, з-... + с з. имеет минимальную дисперсию? Найти минимальную дисперсию. 3.163. По известному «правилу трех сигм» вероятность отклонения случайной величины от своего математического оясидания более чем на три корня из дисперсии мала. Найти Р(~$ — М$~ ~ 3?0$), если $ имеет: а) нормальное распределение; б) показательное распределение; в) равномерное распределение на отрезке [ — 1, 1); г) Р(З = — 1) = Р($ =1) 1/18, Р($ =0) = 8/9; д) распределение Пуассона с М$ = 0,09 3.164.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию определителя ст = 1$44(1,, -„, элементы которого 444 — независимые случайные величины с М»»е = 0 и 0$е = а'. 3.165. Пусть матрица  — ~',$4зс),",т=т, где йп ..., 4,— независимые случайпыв величины, имеющие спмметрячныв распределения (т. е. распределение 4, совпадает с распределением — 44, (=1, ..., и).
Показать, что если М~4;Р ( ', с = 1, ..., и, для целого й > 1, то МВ» — диагональная матрица. 3.166. Неотрицательная случайная величина $ имеет монотонно убывающую выпуклую вниз плотяость распределения /(х), /" (х) » О. Что можно сказать о знаках величин М згп $, М соэ $? ЗЛ67. Обозначим т( = шах ()с, и — р„), где р — число успехов в схеме Бернулли с и испытаниями и с вероятностью успеха р. Натйтн )пп и-'МЧ„. и 3.168, По последовательности $п $т, ... испытаний Бернулли (Р($, = 1) - р ) О, РЦ4 0) 4/ = 1 — р ~ О, $п $т, ...
независимы) настроям последовательность пар (»ь1 4»), ($з, е«), ... и вычеркнем из этой новой последовательности все пары вида (О, 0) и (1, 1). Для й = 1, 2, ... положим ч, равным первому члену /с-й не- вычеркнутой пары. а) Показать, что т(4, т)т, ...— последовательность неаависпмых случайных величин, Р(т(, = 0) Р(т)4 = 1) 1/2, /с = 1, 2, ... б) Найти математическое ожидание числа т членов походной последовательности, использованных для того, чтобы определить значение т)ь ЗЛ69.
По той же последовательности эп зт, ..., что з задаче. 3.168, построим последовательность троек (ьг ь» зз), (е« з», $«), ... в вычеркнем из нсйз все трой- ки вида (О. О, 0) и (1, 1, 1). Для /с =- 1, 2, ... положим т(, равным 1, 2 или 3 в соответствии с номером того члена й-й невычеркнутой тройки, который отличается от двух остальных. а) Показать, что т)п т(», ...— последовательность незазпсзмых случайных величин, Р(т(4 = Н = 1/3, с = 1, 2, З,для/с=1,2,... б) Найти математическое ожидание числа членов исходной последовательности, использованных для того, чтойььспцределить значение т)ь ЗЛ70' ' В партии и иэделий, каждое из которых незавйсймо от остальных с вероятностью р удовлетворяет стандарту, а с вероятностью д = 1 — р — нв удовлетворяет ему.
Изделия проходят проверку, описанную в задаче 2.24. За каждое изделие, удовлетворяющее стандарту и прошедшее проверку, предприятие получает а руб.; за изделие, прошедшее проверку, но не удовлетворяющее стандарту, уплачивается штраф Ь руб; за-изделие, пе прошедшее проверку (забракованное), уплачивается штраф с руб. Найти математическое ожидание прибыли предприятия, полученной аа партию из и иаделий. 3.171. Координата $ случайной точки А на действительной прямой имеет непрерывную функцию распреде. ленин. Найти на этой примой такую точку В, для которой математическая ожидание длины отрезка АВ минимально. 3.172.
Случайные величины $, т) имеют непрерывнуто двумерную плотность распределения. Как выбрать точку В =(х, у)си В', чтобы величина ф(х, у)= М(~$ — х~ + + ~т( — у~) была минимальной? ЗЛ73. Случайная величина 4 имеет конечный второй момент М$». Найти шшМ($ — х)т и то значение х, при котором этот минимум достигается. 3.174. Математическое ожидание квадрата расстояния случайной точки Х ся Вт от начала координат конечно. Для какой точки А минимально М!АХ!т? ЗЛ73». Уровень весеннего паводка на реке является случайной величиной $ с непрерывной функцией распределения Р'(х)= Р(э -Я х). Плотина рассчитана так, чтобы выдерживать паводок уровня не выше з, Предполагая, что уровни паводков в равные годы независимы и одинаково распределены, найти: а) минимальное значение з, при котором математическое ожидание времени до разрушения плотины паводком будет не меньше Т =100 лет; б) минимальное значение г, при котором вероятность разрушения плотины паводком за Т= 100 лет будет ке больше а = 1/100.
3.176». Наблюдения за уровнями весенних паводков в течение Т лет дали значения $<, ..., $,. На реке построена плотина, которая может выдери<ать паводок, если только его уровень не превосходит Ь, = шах (з<, $т). Пусть т;=пппП: $,»<)ь») — время до разрушения плотины паводком. Предполагая, что случайные величины Е<, $м ... независимы и имеют одну и ту же непрерывную функцию распределения, найти формулы для Мтт, Р(тт ~ и) и численные значения зтих величин при Т=100, и=10. 3.177. Случайные величины $<, зз, $з независимы и имеют одно и то же распределение с конечным математическим ожиданием, Ц«т К $<з< < $<з< — их вариационвый ряд (см.
задачу 3.60). а) Доказать, что 3 2 б) Доказать, что 3 М(ппп Д<зт — $«т, В<э) — В<»т)) <~ — М[В< — В, [ 3.178. Будем говорить, что случайная величина з сосредоточена на отрезке [а, Ь], если Р(а ~ $ — Ь) 1 и при любом з ) 0 Р(а(5<а+с)>0 и Р(Ь вЂ” ес$(Ы>0. Доказать что дисперсия случайной величины, сосредото12/4 ченной па отрезке длины 1, не превосходит 1/4. ЗЛ79. Докааать, что если случайные величины т)<, цз независимы и т(< сосредоточена на отрезке длины 1<, < = 1, 2, то сумма т)< + т)з сосредоточена на отрезке длины )=1, +4.
3.180. Говорят, что случайная величина $ имеет безгранично делимое распределение, если при любом натуральном и ее можно представить в виде суммы $<+... ...+ с„независ<ть<ых одинаково распределенных случайных величин. Доказать, что вевырожденное безгранично делимое распределение не может быть сосредоточено на конечном отрезке. 3.181. Пусть события А<, Ам ..., А таковы, что Р(А,) =р, <=1, ..., и, и событие В (происходит пе менее т из событий А<, ..., А„). Показать, что шах(0, "" '"+ )(Р(В„,)(ш<т<~1 "~~. 3.182. Случайная величина $< имеет функцию распределения Р<(х) = РЦ< < х), а случайная величина язв функцию распределения Рз(х).
Докааать, что если Е< (х) < Рз(х) при всех х <и ( — сю, »»), то М$< > М$ь ЗЛЗЗ. Случайные величины $ и т) заданы на одном вероятностном пространстве. Описать множество возможных значений Р($ < т)) в следующих случаях: а) М$=1, Мт)=10; б) $ и т( одинаково распределены; в) в распределена равномерно на [О, 1), а т) — равномерно на [О, а), а ч» 1. ЗЛ84. Случайные величины й и т) имеют равномерное распределение на отреаке [О, 1[.
Доказать, что при любом характере зависимости между $ и т) М[$ — т)! ( 1/2. 3.185, Случайные величины $ и т) независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [О, 1[, а случайная величина (, удовлетворяет условию Р(~= 5) = Р(~ =т)) 1/2, Указать совместные распределения й, т), <., при которых достигаются экстремальные аначения МЬ, и найти мак« симальное и минимальное возможные значения Мь. ЗЛ86. Случайная величина й имеет непрерывную функцию распределения р(х), случайная величина принимает только значения 0 и 1: Р(3=1) =а, Р(у = 0) = 1 — а.
Указать совместные распределения з н у, при которых достигаются экстремальные значения М$)(, и найти зти экстремальные значения. 3.187. Случайные величины з и т) неаависимы и имеют равномерное распределение на отрезке [О, Ц, а случайная велипииа <, удовлетворяет условию Р(~ — $) = р == 1/2, Р(~ = т)) 1 — р. Указать совместные распределения $, т), ь, при которых достигаются зкстремальные значения Мь, и найти зти зкстремальные значения. 3.188.
а) Векторы $=(зт, $з) и т)=(т)<, дз) независимы и сот($<, $з)~ О, сот(тт<, ттз)ч»0. Могут ли компо- 93 ненты 3, + Ч~ и фт+ Чг вектоРа $ + Ч быть некоРРелиРованными? б) Векторы 9 =($ь эт) и Ч =(т)ь Чз) независимы и имеют аависимые компоненты: Р(Ц < хь йг ( хг) Ф РЦ~ < х~)Р(йт 'ь хг), Р(Ч1 » (х~ т)т » (хг) ~ Р(Ч! » кх1)Р(Ч2 » <хг)' Могут лн быть независимыми компоненты $ ~ + Ч ~ и эз + + Чз вектора $ + ЧУ й 3. Условные распределения 3.189'.
Случайные величины 9 и Ч независимы; РЦ = й) = Р(Ч - й) = рд' ', 9=1 — р, 0(р(1, 9=1, 2, ... Найти: а) Р(3=Ч); б) РЦ>Ч); в) РЦ<Ч); г) Р($ = УтЦ ~ Ч); д) Р($ = Й1Ь ( Ч); е) РЦ = Ус19 = ч); ж) Р($ = й Ц + ч = У); э) МЦ[$+Ч =У), Е ~ 2. 3 190'. Найти распределение целочисленной неотри- цательной случайной величины ф, если: а) Р(0($ ( ) = 1, РЦ = Ут+11$) Ус) =р, Ус = О, 1, ...; б) РЦ ~0) =1, Р(3= Уг+1Ц~и()т, й+1Н =с<1!2, Ус=О, 1, ...; в) Р Д ~~ О) = 1, Р Д = Уг + 1 1 $ еи (й, Ут + 1)) = г->0, Ус=0,1, ... 3.191'. Случайные величлны $, Ч неаависимы и оди- наково распределены. Найти условную плотность Рпт+„,(х) РаспРеделениЯ 9 пРи Условии 9+Ч=г в сле- дующих случаях: а) $ и Ч имеют показательное распре- деление с плотностью р(х)=)те ', х>0; б) $ н Ч рав- номерно распределены в [О, 1]; в) $ и Ч имеют распре- деление с плотностью У.гхе '", х ) О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
