А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Случайная величина $ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а и дисперсией от. Найти предельное (при х — ) распределение для условпого распределения случайной величины Д вЂ” х)х при условии $ « х (ср. с задачей 3.228).
4.32. Пусть $ь $м ...— пезависимые одинаково распределеттые случайвые величины с функцией распределевия Р(х), а к. = шах (фп..., Ц„). Найти такие последовательности чисел а„ и Ь„, что последовательность а„к + + Ь„ сходится по распределепию при и — к невырожденной случайной величине к, и найти функцию. распределения к в случаях, когда: а) Р (х) = О (х 1), Р (х) = 1 — — (х 1, а 0), б) Р(х) = шах (О, 1 — [х[") (х ( О, а «0), Р(х) = 1 [(х «» 0), в) Р(х)= птах(6, 1 — е *). 4.33.
Последовательвости $п 3м ... и т)ь т)т, ... случайных величив таковы, что 1тпт Р([$ [~(е) = 1 для любого е «О и> и существует функция распределения Р(х), для каждой точки вепрерывпости которой выполняется соотпошевие 1пп Р(т)„(х) Р(х). и 0 Доказать, что при любом характере зависимости между $ и т(„для каждой точки непрерывности Р(х) справедливы равенства; а) 1)шР(т)„+ $„(х) Р(х); И б) Н тп Р (т)з (1 + $„) ~ (х) = Р (х). 4.34.
Случайные величины ~п ьм ... пезависимы, Р(~ =П р, Р(~,=0) =1 — р, т=1,2,... не Полов(им ~; = (,( (1 — ~(+Дььг (",(+А), т)„$, + (А) (А) (ю ... + ь',Ю. В случае когда 0 с- р ~ 1, 1(ш рА(") )Гп - О, з-+ш найти (АШ)) ил 1 ~г'ир (1:И) 4.35, Пусть з), 3г, ... и т)), т|г, ... — такие последова тельпости случайных величин, что для некоторых чисел а, Ь для любого е ) 0 |!ш Р()$„— а!)е) =О, НшР(|т)з — Ь!)е) О. а з.+ Доказать, что при любом характере зависимости, между 4.
и ч„для любого е ) 0: а) 1ппР(|$„— а|(е, (ׄ— Ь!(е) 11' л б) если функция /(х, у) непрерывна в точке (а, Ь), то для л)обого з ) 0 )(ш Р ( | / (ь„, т|„) — / (а, Ь) ! ( е) 1. 4.36. Пусть ь(п = (ь~('~, ь~г"), 1= 1, 2, ...,— неаависнмые одинаково распределенные векторы в /(г, М4(о=а()0, Мь(г( =а,)0, )=1,2, ... Доказать, что последовательность случайных величин 4("+ И(,м+ ... + 4("' и 1, 2..., Чп ()) „(г), (з) г 'г ...т сходится по распределени(о к а)/аг, если либо а) ()„ г(о (оо, Оф~ (оо, либо б) М~ ~(п!'+А< оо, М! $~о!'+~~" ~ос для некоторого е) О.
4.37'. В последовательности случайных величин $), $г, ... случайная величина з„при любом и = 1, 2, ... ' имеет геометрическое распределение с параметром д„, д„- 0 (и ). Найти предельное распределение слу- чайных величин =Ч ь при и- списывается как негодный. Пусть т,— суммарное время, которое прибор проработал до списания. а) Найти Мтм Отг. б) Показать, что для любого з ) 0 1)е О. 4.39. Пусть $(, $г, ...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величии с математическим ожиданием а) 0 в дисперсией ог ( случайная величина т не зависит от $(, Зг, ... и принимает целые положительные значения, Мт = Ь и т= ь(+ ьг+ ° ° + ь ° Найти Мт и предельное распределение случайной величины т/(Мт), когда распределение т изменяется так, что Мт- и существует непрерывная функция распределения Р(а), удовлетворяющая условиям Р(0)=0, Н Р~ — ',~ ~=Р(), 0~ <; 4АО.
Время й безотказной работы прибора имеет математическое оя(идание а)0 и дисперсию а'~ г. Каждый отказ прибора независимо от предыстории и длин периодов безотказной работы с вероятностью р является несущественным (прибор требует только наладки), а с вероятностью д = 1 — р — существенным (прибор нужно ремонтировать). Пусть т, — время от начала работы прибора до его ремонта. а) Найти Мт„0т,. б) Найти предельное распределение случайной величины т,/Мт„когда параметры а)0 и аг С фиксированы, а () - О. 4(.41А.
На одном вероятностном пространстве заданы событке А, Р(А) = р, и случайная величина $, имеющая математическое ожидание а и дисперсию аг( . Доказать, что при л(обом характере зависимости мея(ду $ и Л 121 4.38'. Время $ безотказной работы прибора имеет математическое о)кидание а )О и дисперсию ог ( '. При каждом отказе прибор подвергается ремонту (и тогда время до следующего отказа не зависит от предыстории и распределено так же, как $), после /г-го отказа прибор 120 РД~)а!А)( „а)а, И (г — а) | М (~ь ! Л) — а | ( о ш)п 4.42*.
Последовательность (зь е~), (5м з»), ... состо- ит из независимых пар случайных величии (внутри пар случайные величины могут быть зависимыми), М5,=а, Ц;~о', Р(е~ = 1) = 1 — Р(з, = 0) = д. Положим у = ш1п (1 Р-" 1: з~ = 1), т~= 5~+...+», ~ (т~ =0 при ч 1), »2=51+..
° +~. Найти предельные распределения случайных величин ать ать когда параметры а= 0 и о»~» фиксированы, ад- О. 4.43. Процесс работы прибора состоит из независимых одинаково распределенных циклов; длина $ цикла имеет математическое ожидание а)0 и дисперсию и'( . Вероятность того, что за один цикл прибор пе сломается, равна р, вероятность поломки прибора на любом фиксированном цикле равна з =- 1 — р (поломка прибора может зависеть от длины цикла). Пусть т — время до первой поломки прибора. 1!айти предельное распределение случайной величины ут]а, когда д- О, а- ао>0, о'-~о'„(оо.
4.44. В бункер помещаетсв пе более % =150 деталей. Ея<емпнутно в бункер поступает случайное число деталей, имеющее распределение Пуассона с параметром 5 2; числа деталей, поступающих в бункер в непересекающиеся интервалы времени, независимы. Через каждый час все находящиеся з бункере детали перегружаются в тележку и отправляются па дальнейшую обработку.
В пачальный момент времени бункер свободен. Пользуясь предельными теоремами, указать приближенное значение вероятности того, что за время 7 =100 часов не произойдет ни одного переполпепия бункера, 4.45. Показать, что если последовательность случайных величин $ь 5», ... сходится к 5 с вероятностью 1 или в среднем квадратичном, то она сходится по вероятности и по распределению. Привести пример последовательности $ь $з, ..., сходягдейся к $ по вероятности, но не сходящейся ни в среднем квадратичном, нп с вероятностью 1. 4.46. Последовательность случайных величин сходится к $ по распределению. Показать, что можно задать на одном вероятностном пространстве слуФ22 Р чайные величины ьм ь», ...
и $ так, что для всех х РД'(х) = РД(х), Р [$„~~х) = Р(Ц„(х), п 1,2,..., и последовательность $~, ь», ... сходится к $' с вероятностью 1. 4.47. Пусть 1(х) — непрерывная функция, х ы( —, ), а последовательность случайных величин $ь 5м ... сходится к случайной величине $ (с вероятностью 1, по вероятности или по распределению). а) Сходится ли (в тех же смыслах) последовательность | Я ) ю ? Я») ~ ° ь ? ($) ? б) Сходится ли (в тех же смыслах) последовательность 1($~), ?(ь»), ...
к 1($), если /(х) кусочно-непрерывна (имеет конечное число разрывов на любом конечном интервале), а функция распределения 5 непрерывна? 4.48. Последовательность $ь 5м ... случайных величин удовлетворяет условиям Р($ .ь,) $„) = 1 для любого и = 1, 2, ..., Пщ М$„а~ со.
Доказать, что существует случайная величина 5, для которой Р [Пш $„= $) = 1. ~я Верно ли равенство М$ =а? 4Л9. Последовательность точек $ь 5м ... на отрезке [О, 1] строится по следующему правилу: $~ имеет равномерное распределение на [О, 1], и если значения $~ ) (й 2) определены, то точка $, имеет равномерное распределение на минимальном по длине из Й отрезков, на которые [О, 1] разбивается точками $ь ..., $, ь а) Доказать, что существует случайная величина удовлетворяющая условию Р [Иш ь„= $~ =- 1.
1»-+а о) Найти М$, 0». 4.50. Последовательность точек зо, фь $м ... на отрезке [О, 1] строится по следующему правилу'. во=О, $~ имеет равномерное распределение на [О, 1], а 5 при любом и ~ 2 имеет равномерное распределение па интервале, образовапаом $. ~ и $. ». а) Доказать, что существует случайная величина с, удовлетворяющая условию Р (!!ш $и = ии) = 1.
б) Найти М5, 04. 4.51и. Послодовательность случайных величин $п ..., последовательности чисел (а„1, (Ь 1 и случайная величина $ удовлетворяют условиям Иш аи = а, )а(< со, Пш Ьи О, Р()$(<оо) 1и 11ш Р(" и»х =Рй<«х) и.+и ! и в каждой точке непрерывности функции Р'(х) РЦ«<х).
Функция я(х) непрерывно дифференцируема в окрестности точки а и р (а)ФО. Доказать, что в каньдой точке непрерывности В(х) 1!ш Р ", " <х = Е(х). ?г(4? — г( ) Ьиг' (аи) 4.52. Последовательность случайных величин $г, ..., последовательности чисел (а„), (Ь ) и случайная величина $ удовлетворяют тем же условилм, что в задаче 4.51. Функция д(х) имеет /г~ 2 непрерывных проиаводпых в окрестности точки а и д'(а)=д" (а)=...=д" п(а)=0, д'п(а)тиО. Доказать, что (г (1„) — г ( и) 1 ьА (ю( ) в каждой точке непрерывности функции р',(х) РЦ'<х). 4.53, Случайная величина )г„ равна числу успехов в п независимых испытаиилх Бернулли с веролтностью успеха р, 0< р< 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
