А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Случайные величины $<, йг, .„$„независимы и имеют покааательное распределение с параметром а: Р($<~х)=1 — е, х>0, 1 1, 2, ..., и, а 4<п -= $<г< Я... ~ $<„< — Значения $<, ..., $„, располо-; женные в порядке неубывания (вариациопный ряд). Ис: пользуя результаты задачи 3.64, показать, что если и,т- »ии — т-,то: < -)- о (<) и < + о (<) и ) М~<„»= 1 < Щ<„)- — „ 1<ко в 1 Го<в — и) 1<и< Р ((а$< > — 1п — < )г е ' х) = Ф (х) „ — 00(Х» 00. 4Л42. Сяучайные величины ь«, ..., ,„независимы и одинаково распределены: Р(ь<<х1 г"(х), $1, ..., и, а г„, », -оп ~<„< — их вариационный ряд (см. задачу 4Л41). Доказать, что если в некоторой окрестности точ-, ки х гб существует непрерывная производная р (х) =Г" (Х)) О, тс При т»И -~ )Г(гб), И -~ оо, 1пп Р1 <ко о р(го) <х Ф(х).
~,(.,) (,,(.,)) 4Л43. Частицы последовательно размещаютсн в»<»,' ячейках так, что вероятность попадания»-й (» 1, 2, ...) частицы в 1-<о (1 *1, 2, ..., »)») ячейку равна 1/)<» и номер ячейки, в которую попадает частица, не зависит от номеров ячеек, в которые попали предыдущие частицы.
Пусть тв — порядковый номер частицы, после размеще- 144 4Л44. Пусть случайная величина ч„та н<е, что в аадаче 4Л43. Найти предельное распределение случайной величины тв — й, когда У- оо, йг»Ж- ), 0()< - о. 4.145. Пусть выполнены условия задачи 4Л43. Найти асимптотические формулы для Мт„, 0т и предельное »<в — Мук, распределение, когда»)»- оо и а<»)»~т<агЖ «'ум при некоторых а<, ау„О < а< ( аг ( 1. 4.146. Производящая функция ф(г) Мг' случайной величины $ является многочленом степени Л», причем все корни г<, ..., г» уравнения ф(г) 0 вещественны. Доказать, что распределение $ совпадает с распределением суммы ь =~<+...+ ь», где случайные величины ь<, ...
..., Ь» независимы и Р(«, 1) р„Р(~<=0) =1 — ро 1=1, ..., )<». Найти значения р„..., р„. 4Л47». Производящая функция <р(г)= Мг< случайной величины й является многочленом степени У, причем все корни г<, ..., г уравнения ф(г)=О имеют неполоя<ителъные вещественные части: Нег< =О, 1 1, ..., У. Доказать, что распределение $ совпадает с распределением суммы ~ ~<+... + ~„, где случайные величины ь<, ..., ь<к неаависимы и Р(ь< 2) г<, РЦ< 1) = р<, Р(ь< = 0) =1 — р,— го <=1,.
„М. Найти значения М, р<, г, (» 1, ..., М). 4Л48, Последовательность целочисленных неотрица-' тельных случайных величин $<, $г, ... такова, что при любом и-1, 2, ... производящая функция ф„(г) = Мг~в является многочленом степени и, все корпи которого вещественны. Доказать, что если 0$„- о при и- о, то то А.
м, зубков в др, 145 .„-М1„ распределение случайной величины при и— Г йее сходится к стандартному нормальному распределению. 4Л49. Докааать, что если выполнены условия зада- чи 4Л48, ко 1в4„- )«(ее при и- а и, кроме того, 11ш шах х„,« — — со, е-вв «В~~в где х„,«, ..., х., — корни уравкекия «р.(г) О, то распределекие $„ при я - сходится к распределению Пуассона с параметром Х. 4.150е. Пусть выполнены условия задачи 4Л 43 и ~е,я(х) = Мх ' ' — производящая функция числа пустых е «е,л1 ячеек. Найти рекурренткое уравнение, связывающее мкогочлены ра я(х) и ~„+«(т), и вывести из пего, что все )е' — 1 корней уравпекия 1., е (г) 0 вещественны при любом и ~ 1.
4.151. Пусть выполнены условия задачи 4Л43 и ре(я, «в') — число ячеек, оставшихся пустыми после размещения п частиц. Доказать, что если и, У- так, что М1«е(я, У)- и У вЂ” М1«е(я, У)- , то предельное распределение случайной величины 1«е(" «т) М««е(" 'т) ')~ п««е (««, л') является стандартным нормальным. 4Л52. Случайпые величины С«, $т, ...
независимы и имеют одно и то же распределение с характеристической функцией 1(1). Докааать, что если при некоторых С~О, 0<а<2, 1(1) 1 — С)Н (1+о(1)), С- О, то при п- существует предельное распределение случайных величин 1, + $е+."+$ Найти его характеристическую функцию. 4Л53 . Случайпая величина $ имеет абсолютно пеярерывное симметричное распределецие с плотностью р(х)-С«х!- (1х! — ), где С)О, 1(а(З.
Доказать, что Меи~ 1 — 2С111««-' (1 + о(1)) ~:~" «йве с-ьО. е 4.154. а) Доказать, что решение «р(а) фуикциокаль. ного уравпения в (1 + «р 1в)) удовлетворяющее условию 0 < «р(е) ( 1 при 0 к е ~ 1, является производящей фупкцией пеотрицательной целочисленной случайной величины В. Найти асимптотическую формулу для 1 — 1(1) при 1- О, где 1(1) Ме"'— характеристическая функция $. б) Случайные величины 2«, $п ... независимы и распределены так же, как случайная величина $ иа и.
а). При каком звачепии а предел 11ш Р~ — 'в(Ц, + ... + $„)(х~ 6(х), О< х<со« е в «е существует и является функцией кевырожденкого собственного распределепияР Найти характеристическую фуякцию в у(1) ) е""«16 (х). е 4.155, Случайная величина $ имеет распределение Коши с параметром а, т. е. имеет плотность распределения е 1 р (х) — —, — оо ( х ( оо. я е + в Покааать, что характеристическая функция Мео' распределения $ равна е '". Вынести ото«ода' и из задачи 4Л53, что 1 — сове .
я * аи е 4Л56. Независимые одинаково распределеипые случайпые величияы $«, $м ... имеют абсолютно иепрерывкое симметричное распределение с плотвостью р(х), вепрерывной в точке х О, 0 ( р(0) ~ ее. Используя результаты задач 4Л52 — 4.155, найти предельпое распределение последовательности случайных величия — '(ч-+-~-+ ... + — ) при я — в со. 10е 4Л57. 'Случайные величины фи'$з, $з имеют распределбнке 'Коши с параметром а; ири этом 4, и $з независимы, а Р (зз = 4д 1. Сравнить характеристические функции и функции распределения суммы $1+ 4з независимых и суммы $~+ $з зависимых одинаково распределенных случайных величии.
4Л58, Используя результат задачи 4Л55, вычислить ви 1, з(х) = (а +й)(Ь +(з — и) ) Глава 5 ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В предыдущих главах рассмауривались случайные величины (т. е. измеримые функции, определенные иа вероятностном пространстве (Я, .~Ф, Р)), принимающие действительные или векторные значения. Случайная величина, значениями которой являются бесконечные но. следовательности, называется случайным процессом е дискретным временем; если же значениями случайной величины являются функции действительного аргумента, то она называется случайным процессом с непрерывным временем.
Реалиаацин случайного процесса (последовательности или функции) называют его траекториями. Существует много способов задания распределений на ' множестве траекторий случайного процесса (см., например, задачи $1). Задачи $2 связаны с пуассоновскими процессами и потоками. Пуассоновский потон точек на действительной прямой — зто не более чем счетная случайная совокупность точек Т = (т,) ~ (-, ° ) = В', удовлетворяющая следующим условиям: а) существует такая неотрицательная измеримая функция Х(х), хай', что для любого измеримого множества В с В' число $(В) точек совокупности Т, попавших в множество В, имеет распределение Пуассона с параметром Л (В) ~ Х (х) дх, в б) для любых двух непересекающихся измеримых множеств Ви Вз~В' числа $(В1) и $(Вз) независимы.
Функция Х(х) называется интенсивностью пуассонов ского потока. ~~'.~ р(зт[з, '. зз з) 1 ЕЕ з длл любого Е>1 и любых Еи ..., Еьн ~н (1, ..., ЛЕ), (5.2) Е49 , В,ряде случаев более удобным оказывается другое (эквивалентное) определение пуассоновского потока. 'иля любого, хюВ' нрн Ь 4 О Р(з([х, х+ Ь]) 1) Х(х)Ь+ о(Ь), Р(~([х,х+Ь))=0) 1 — Х(х)Ь+о(Ь), и для непересекающихся интервалов (х,х+Ь), (у,у+у) (Ь, у ) О) случайные величины $([х, х+ Ь)) и $([у, у+ + д[) независимы. Если Х(х) Х, т. е. пуассоновский патой 'однородный, а т~ < тз ~...— все точки пуассонозского потока на , [О, е), то случайные величины ти тз — ть тз — тз, ." независимы и имеют покааательное распределение: Р(т1 <х) = Р(тзт~ —,таях) 1 — е ~'..
(х~О), ееуасеоновений процесс 4, (Е > 0) с интенсивностью Цх) — зто случайный процесс, связанньгй с пуассонов- скнм потоком с интенсивностью Х(х) равенством 4 -$([0, Е)), т. е. $, — зто число точек потока, попавпеих в отрезок [О, Е[. Таким образом, при любом 1~О значе- ние пуассоновского процесса $, с интенсивностью Ь(х) имеет распределение Пуассона с параметром Л (Е) = ~ Х(х)дх, приращения $,+~ — ф, и ф,~,— 4, (в, Е, Ь, у~ з ~ О) имеют распределения Пуассона с параметрами Л(Е+ Ь) — Л(Е) и Л(з+ д) — Л(з) соответственно (и не- зависимы, если интервалы (Е, 1+Ь) и (з, з+у) не перв- секаютс) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
