А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 29
Текст из файла (страница 29)
ПуетЬ ~„Дп, 1~ — ПОЛО>К ПИЕ 171 частицы в момент п. Найти М>,„при условии, что ~а -(О, 0), ~> (1, 0). 5.89. Вероятность того, что атом радиоактивного эле- мента, существующий в момент 1, распадется на интер- ' вале (Г, 1+Ь), при Ь В 0 имеет вид ай+о(й) и пе за- висит от предыстории процесса. Найти: а) вероятность того, что время т до распада атома будет больше 1, б) период полураспада, т. е. такое число Т, что Р(т ~ > Т) 1/2, в) плотность р«(1) распределения времени до распада хотя бы. одного из я существующих в момент 1=0 и независимо ведущих себя атомов. 5.90.
Пусть з> — цепь Маркова о непрерывным вре. ', менем и.множеством состояний (1, 2). Вероятности пере- ., хода ре(й)- РЦ>+в - у~5> - В удовлетворяют условиям рм(Ь) >хй+ о(й), рз>(й) бй+ о(й), й ( О. Найти ра(1), 1~0, 1, 7'ж (1, 2). 5.91. Пусть Рю'З> (1) ) рф'з> (1) ~ — матрица вероятностей перехода за время 1 цепи Маркова $в, описанной (а а в задаче 5.90, а А ~ в~ — стохастнческая матрица. Доказать, что для любого фиксированного числа и~О цепь Маркова $>, удовлетворяющая условию Р>ив> (к) = А, существует тогда, и только тогда, когда а»+ам ) 1.
5.90, 5.92. Для цепи Маркова $, определенной в зад , обозначим через тв(1) (й 1, 2) суммарную длив задаче тельность пребывания цепи в состоянии й за время Найти т>(1)=М(т>(1)>$з П и главный член асимпто- тической формулы для 7» (1) = 0 (т, (1) ( $в 1) прн ' «О, 5.93. Д Движением точки по прямой управляет цепь ' Маркова, определенная в аадаче 5.90: если цепь Маркова находится в состоянии 1, то точка движется в поло>ки-- епь ар- ' тельном направлении со скоростью»>, а если цепь М ковз находится в состоянии 2, то точка двиявется в от- рицательном направлении со скоростью оь Пусть координата точки в момент Ь Найти й( (1, л) ««М(т), ~ т)з л, ~„1), 1>0, 1 1,2, 172 „нмптотику В> (1, х) = 'У (Ч> ~ Чв - х, $о - 1). при 1-«со 5.94.
На телефонную линию могут поступать вызовы двух типов: простые и срочные. Любой вызов, поступаюшня на свободную липию, занимает ее. Простой вызов, поступающий яа занятую лини>о, получает отказ и теряется. Срочный вызов, поступающий на запятую линию, обрывает ведущийся в втот момент разговор и сам занимает линию. Моменты поступления простых и срочных вызовов образуют пуассоновские потоки с интенсивностями св> н >хв соответственно. Вероятность того, что разговор, ведущийся в момент й окончится на полуинтервале (1, 1+ й), пе зависит от предыстории процесса и от хипа вызова и имеет вид рй + о(й) при Ь в О.
Построить цепь Маркова с тремя состояниями, соот ветствующую описанному процессу. Найти ее матрицу интенсивностей переходов и предельные вероятности я>, яз и яв того, что линия соответственно свободна, аанята простым вызовом и занята срочным вызовом. 5.95. Цепь Маркова $> с непрерывным временем имеет мноя<ество состояний (О, 1, ..., >в'), а вероятности р„(й)= Р(ь>+в Н$ = О перехода из состояния 1 в состояние 1 аа время й удовлетворя>от при Ь ( 0 условиям ров(й) = 1 — ай+ о(Ь), раа(Ь) = 1 — ~й+ о(й), р (Ь)= 1 — (св+ на)й + о(й) 1 ~ 1<Ь> 1 р, »(Ь) ай+о(й), р>> > (Ь) бй+ о(й), 1 ~ 1 ~~ >т, ро(й) о(й), если (1 — Д ) 1, где вх, 5 — фиксированные положительные 'числа.
а) Составить систему дифференциальных уравпений для ро(1), 0 ~ 1, 1 «." Ь>, 1 > О. б) Найти я$~~ =1ппр.(1)> у = О, 1, „Л', как функ> и ции от 0 = а>(3. Показать что если 0 1„то яв~ > (я> ° ° ° яя Л>+1 ' в) В случае 0(1 найти я> Вш я)~>, 7 О. 1, ..., Я «~ а в случае О) 1 найти л,'- Вт я)в"'„/ — О, 1, я«« Глава 6 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОИ СТАТИСТИКИ В математической статистике исследуются способы получения выводов на основе змпирических данных. Случайной выборкой объема и (или просто выборкой) вазывается случайкып вектор (6Л) х<> хг, ° °, х где х< обычно предполагаются независимыми и имеющими одну и ту же Функцию распределения г'(х) Р(х<:Я х). Случайная выборка (6.1) является математической моделью последовательно проводвмык измерений нлн наблюдений.
Возможны другие способы получения эмпэрических данных, приводящие к другим математическим моделвм. (См., например, задачи 6ЛО, 6.26, 6А2.) Обычно для выборки (ОЛ) известен только тип рас пределення (например, нормальный), но неизвестны параметры, от которых зависит распределение. В атом случае по выборке требуется каким-либо образом определить приближенные значения неизвестных параметров. Пусть Р(х<(х) гг(Х,О). Оценкой неизвестного па-. раметра 0 назовем произвольную функцию 0„ =0„(х„..., х ).
Оценка 0 является несмещенной оценкой л л О, если МО О. Если О„при и ог сходится по веров ятяоста к О, то оценка О„называется сос>полтельной. Может окаааться, что существуют такие функции 6„0„(х<, ..., х„) н 0„0„(х<, ..., х,), что Р(0 < 0 < < 0„) 1 — 2и одинакова при всех аначениях неизвестного параметра О. В атом случае интервал (О, 0„) называют доверигельпым интервалом, и вероятность 1 — 2<в того, что интервал (О., 8.) накроет неизвестный параметр 8, называют доверительной ееронтиосгью. Если при п- Р(0, < 0 < 0„) 1 — 2а, где аначение а не зависит от 8, то интервал (О., О.) на-: вывают асимптогически доверительным интервалом. В качестве примера рассмотрим выборку (6.1), обра эованную независимымв случайными величинами, имею ".
щими нормальное распределение с неизвестными пара-,. 1?4 : математическим ожиданием а и дисперсие й а'. метрами: м Покажем, как для неизвестных параметров а я и г можно построить доверительные интервалы. П Ы ... $ — независимые случайные величиусть эз, „<, ..., н. Поны, имеющие стандартное нормальное распределение. оложим ьо уг <ьг>+ ., ° + О» т<> .
— ° у Х'„/к Законы распределения этих величин называют соответственно распределением тг и распределением Сгьюдепта с и степенями свободы. Определим величины г „и ?(<г<,„ как решения уравнений Р (тч) зим) - и< Р (?(э ) Ха,я! - <х. Построим по выборке (ОЛ) величины — (хг + ° ° + х<>)г з 1 ~л хг — х к 1-1 Тогда (см. (73)' г г 1 2<< 1 — < а <х+ г«,<>-1 —,-~ 1 2<<1 — а,<>- э г ><«,» — 1 1-а,»-1 Отметим, что в рассмотренном случае (т.
е, когда х>, ... ..., х„' независимы и имеют одно и то же нормальное распределение) случайные величины х и зг независимы. Случайные величины (6.1), располон<енные в порядке пеубывания их значений: х«> < х<г> -'Я...< х<„>, (6.2) называют вариационлым рядом. В частности, х«, шш(х<, ..., х„), х<„> п>ах (х<, ..., х.). Эмпирической Яупкцией распределения называется слу чайная функция <г„(х), которая принимает при х ж (хи„ х<ьг<>) значение й/и (здесь й О, 1, .„, и я считается, что х<е> -г, х<.+» ао). Нетрудно проверить, что га(х) является несмещенной н состоятельной оценкой г'(х) при л<обом х.
1?5 Одним иа методов получения оценок является метод ' наиболыиего праедоподобия„Пусть (6.1) — независимая выборка, соответствующая случайной величине 5, которая имеет плотность распределения рс(х; Оц ..., О»),. ФУнк цией правдоподобия называется функция и 5 (х„..., х,й Ом ., Ол) = П Рс (хс' Ом ° Ол). 1-1 Оценками наибольшего правдоподобия параметров 01, ...
' »» » ..., О„называется набор О, О, (х11 °, х»), ..., О» = 0» (х„. „, х»), максимизирующий значение 5(хь... .. „х„; 01, ..., О») при данных хс, ..., х„. Если плот- ' ность р,(х; 01,..., 0„) дифференцируема, то 6,1, „0»вЂ” решение системы уравнений д1вЬ 1 При довольно общих условиях оценки наибольшего прав-: доподобия нвляются состоятельными и асимптотически нормальными (см.
[7)). Аналогично определяется функция Ь для дискретных случайных величин. Другой круг задач математической статистики связан ' с проверкой различных гипотез. Пусть предполагается, что свойства выборки (61) соответствуют одной из двух гипотез: Нй х =(хс, ..., х„)' имеет распределение Рс, Нгс х (хс, ...1 х„) имеет распределение Рь где Рь Рг — два известных распределения. Статистический критерий, на основании которого при-, нимается решение о том, какой из этих гипотез соответствует выборка (6.1), определяется мнонсеством В с= Н", и имеет ввд: если (хс, ..., х„)си В, то принимается гипо-. теза Нь е противном случае — Нс.
Вероятность а = Р|(х ж В), т. е. вероятность принять гипотезу Нг, когда в действительности верна Нь называют ои»ибкой 1-го рода. Вероятность [) Рг(х Ф В), т. е. вероятность принять Пс, когда верна Нг, называют оисибкой 2-го рода. Если множество В задано в виде ((хс, ..., х„)си В) (Ч. Ч (хь ..., х.))С), то функцию Ч Ч„(хь ..., х„) называют статистикой критерия. Иапример, пусть р1(х)'- плотность распределения каждого х, при гипотезе Нс и рг(х)- соотретству-1 176 ющая плотность при гипотеае Нь Положим Ч„= р» (»1? ра (*г) " рг (гл) Р1(»1) Р1 (*г) '' Р1 (»в) Согласно критерию Неймана — Пирсона при Ч ~ С (С— некоторая постоянная, определяемая по ошибке 1-го рода) принимается гипотеза Нг,.а в противном случае— Нс.
Этот критерий среди всех критериев с фиксированной ошибкой 1-го рода имеет наименьшую ошибку 2-го рода (см. [7), с. 576, 577). Аналогично формулируется критерий для дискретных распределений. Иногда формулируется только одна гипотеза о выборке (6.1). Эту гипотезу нужно либо принять, либо отвергнуть. Пусть, например, гипотеза состоит в том, что выборка (6.1) соответствует случайной величине 5 с Р(З ~ х) Р(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
