А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 31
Текст из файла (страница 31)
< 1 <=1 б) Показать, что оценка А„состоятельна, если при и ~00 » Х1 = ~~~~ ~х[->. оо, и/Х~ -ь О. 1 1 6.23. Функция у = Ах измерена и< раз в точке х>, ... ..., 1>„раз в точке х1. Пусть результаты измерений уо (/ = 1, ..., и<, 1 = 1, ..., Й) пекоррелированы и имеют вид уе — Ах<+ б<ь где Мбо О, Обо = от. а) Найти сцепку А* параметра А, используя метод наименьших квадратов, т. е.
минимизируя по А выражение д»< Г (А) = ~З~ ~~~ (уп — Ах<)1. <-1>=1 б) Найти МА» и ОА*. 6.24. В предыдущей задаче обозначим »1 т< у — г,у. 1=1 ... й. и. ~ и' > Подобрать с<, ..., с, так, чтобы оценка А» = с>у> + сзуг+... + с у> была несмещенной н имела наименьшую дисперсию. Най-: ти ОА» при наилучшем выборе с<, сз, ..., с». 6.25.
Из урны,, содержащей <Ч белых и черных шаров, производится выборка объема и с возвращением. Пусть:. )<„— число белых шаров в выборке, а М вЂ” неизвестное число белых шаров в урне, Для оценки величины р » » М//Ч используется статистика р„р„/и. Найти Мр„ Ор„, 6.26. Из урны, содержащей /Ч белых и черных шаров, ' производится выборка объема и без возвращения. Пусть ., 182 11„— число белых шаров в выборке, а М вЂ” неизвестное начальное число белых шаров в урне. Для оценки ве»» личины р М//Ч используется статистика р„= р„/и. ° » »» Найти Мр„, Ор„. 6.27.
Для сравнения точности оценок р„', р", опредепенных в задачах 6.25, 6.26, найти )ип (Ор„"'/Ор„') в » п следующих случаях: а) и ». оо, — -+- Ч (О»" Ч ~ оо); 6) и-е оо, и/1Ч-+ О. 6.26. Из урны, содержащей неизвестное число шаров й/ (шары занумерованы), производится выборка объема и с возвращением. Для оценки числа /Ч используется величина 1/ц., где Я„= „,„„Х Ь,($1 — 1), 1-1 й> — число появлений шара с номером й в выборке. Найти Мц„и асимптотическую формулу для Оц„прн и, /Ч -, и/<Ч вЂ” аж(0, ). 6.29", Пусть х<» ~...:Я х<„> — вариациопный ряд, построенный по выборке х>, ..., х„, где х„независимы и равномерно распределены па отрезке [а, Ь) Являются ли оценки а* х«>, Ь» х<, песмещенными оценками а и дг Найти Ма», МЬ*, Оа», ОЬ", сот(а», Ь»).
6.30». Пусть х«, ~1 х<1, ~... < х<, — вариационпый рнд, построенный по выборке х>, хз, ..., х„, где х„независимы и нмеют показательное распределение с плотностью р(х) ае ""' (х)0). Найти Мх<», Мх<„„0х,», Ох< „сот(х<», х< >). 6.31. Пусть х«, < х<з, М... ьй х<,> — вариацнонный ряд, построенный по выборке х>, хз... „х„.
Положим 0' = — - 1 + + " 0' = '" + х "1 = Найти М01, 001 (/< = 1, 2), если: ' а) выполнены условия задачи 6.29, б) выполнены условия задачи 6.30. 6.32. ПУсть х<» -Ц х,з> -'<2... »2 хов — взРиацнонный РЯД, построенный по выборке х>, хз, ..., х„, где х, независимы н имеют плотность Распределения, Равную е' * при х ~ ) с > О.
Является ли оценка с» = х<,> — — несмещенной < з в состоятельной оценкой с< Найти Мс», Ос». 6.33. Чт . Чтобы оценить ширину кольца, образованного двумя окружностями с общим центром, измерялись их радиусы В и г, т. е. была получена выборка у а ь...,у„, , о разованная независимыми случайными ве- личинами, которые име>от нормальные распределения с Пусть х=(х(+...+х~)/и и у=(у>+...+у,)/и. Для ць а >-~, '- *[~, -О рй В - ~: ма, и °, > Π— г, >а( * — ~'.
В лить эти величины при В=1001 м. г 1000, =10 и = 200. 6.34. Независимые наблюдения 0„..., 0„' имеют не> известные математические ожидания МО; =0; и изве- стные дисперсии 00~ =о>~ >=1, ..., . Д вЂ” ь > =, ..., и. Для оценки ли- нейной комбинации 1 с>0>+... + с„9„с заданными сь ..., с„ используются статистики 1» = с>9> + ... + слбй (1~(Л/к.п). а) Доказать, что 1„— несмещенная, а 1» при Л> ( и— смещенная оценка 1.
б) Найти М (1 — 1) >. ) " М( з — 1) . При каких условиях среднеквадменьше ратнческое отклонение смещенной оценки 1 м среднеквадратического отклонения несмещенной ки 1? щенной оцен- 6.35. И спользуя критерий )(, проверить гипотезу о том, '2 что выборка, полученная в вадаче 6.9, соответствует рав- номерному распределению на отрезке (О, Ц.
Уровень зна- чимости а = 0,05. 6.36. И 6.. Используя критерии )(, проверить гипотезу о том, 3 что выборка, полученная в задаче 6 10, соответствует нормальному распределениго; параметры а и с считать неизвестными. Уровень значимости полоягить равным 0,05. 6.37. Найти статистику >)„критерия Неймана — Пир- сона для различения по выборке х>, ..., х„гипотез Н>'. хз распределены нормально с параметрами (а„с'), 6 Нт'. х, распределены нормально с параметрами (а '). .38.
Нанти статистику >)„критерия Неймана — Пир- сона для различения по выборке х>, ..., х„гипотез Р(ха 1)=Р> з ( 1~2~",/У, Н,: Р(хз 1) р(~>, 1 1, 2,..., Л'. 6.39в. . Статистика $, при гипотезе Н, (1= 1, 2) имеет нормальное распределение с М$„= паь 0$„= по;; а> ( аь 184 Гипотеза Нз принимается, если ф„~ С, в противном слу- чае принимается Н>. Найти: а) постоянную С С„так, чтобы ошибка 1-го рода была равна а; б) формулу, свя- зывающую ошибки 1-го и 2-го рода а и 5; в) )пп р„ при и - о, и сопз() О.
6.49е. Пусть х>, ..., х„— выборка. Гипотеза Н~ со- стоит в том, что х~ равномерно распределены на интер- вале (О, 1) и независимы, а гипотеза Нз — в том, что х> независимы и имеют непрерывно дифференцнруему>о плотность распределения у(х); д(х)ча 1 при 0 ~ х ~ 1, у(х) 0 при х Ф (О, Ц. Разобьем [О, 1) на Л> полуннтер- валов ~0, †), ~ — †), ..., ь( 1) и обозначим через )>о число полуинтервалов, в которые пе попало ни одно нз значений хо Прн гипотезах Н> и Нз найти а, = 1(ш(М)>о/Л(), 1 = 1, 2, когда и/Л> - 7 >и (О, о ), и, Л>- 6.41.
Пусть 0 ~ г> ( тз(...— положения точек пуас- соновского потока с неизвестной интенсивностью Х. Най- ти: а) оценку максимального правдоподобия Х„парамет- Ф ° ра Х, построенную по ть ..., т„; б) МХ», 0Х„. 6.42. Пусть тм(1) — число переходов в цепи Маркова, определенной в задаче 5.82, из состояния 1 в состояние 2 за время 1, т„(0 . т„(с) а) Найти Ип>М вЂ” ", Пш1) > г, с б) Является ли величина т>з(1)Й состоятельной оценаб кой параметра 7 = †при 1-~ осу а+9 Часть 11.
УКАЗАНИЯ Глава $ $.3. Предположите» что все расположения книг равновероятны. Найти число расположений книг с фиксированным расположением трехтомника. 1.4. За множаство П принять мно»кество всех последовательностей длины 3, составленных пз символов à — «герб», Р— «решетка», $.8. Для простоты считать, что в каждой буквенной серии имеются все 10' покеров от 0000 до 9999. (На самом деле номер 0000 " пе выдается. Про»зе того, в некоторых сериях ке все номера выданы, а часть номеров отсутствует в связи со снятием автомобили с учета,) $ЛО. 11оззожим А» = (выбраниое число а делится на аз). Воспользоватьсл тем, что Р~ П А«~=Р~ В А,)=1 — Р( В А»~, Далее применить формулу (1.12). 1Л$. Поскольку а»~1(шоб 10) тогда и только тогда, ногда а на 1(шод '10) или а ~ 9(шоб 10), надо подсчитать среди чисел 1, 2, о М число тех, которые в десятичной записи оканчиваются на 1 пли 9, Положив М = 10й+ 1, рассмотреть следующие случаи:, 1 О, $ <1<9,1=9.
1Л2. Если среди чисел 1, ..., М есть ровно т чисел, дающих прн делении на г остаток у, то (т — Цг+ д <)у < тг+ д, т. е. тг<М+г — д< (т+Цг. $.$4». Введем обозначения для следующих событий: А» (3 делится на й), В» = (Ч делится на й), С» = (числа й и Ч взаимно простм). Тогда Ся — — () (АРПВр), где объединение берется по всем, залая простым чкслам р, ке превосходящим М. Вероятность Р(С,) на-" ходится по формуле (1,12). Воспользоваться решением зада зй 1.10 и равенством А„ПА„П ... ПАР = А„„„, верным дл»1' любых проотых р < р « ... р„. Показать, что Пю уи =Хт о=» 186 $Лб. Искомая вероятность р» = А»/Лч, где А» — число точек плоскости с целымн координатами (х, у), удовлетворяющими ус.
я э лавкам а~1, 9~1, х'+у'~до. Покааатгч чтоАМ 4 зУ прп )У -о оо. $.10. Число э+Ч будет (л — й+Ц-вначным тогда и только тогда, когда 10"-» <» 4+ Ч < 10"-»+1, О < й м) гч (Ц 4»,а поэтому р„»+з = — '„, где Ао,» — число точек плоскостн с целыми координатами (х, у), 0 < х, у < 10" — 1, для которых выполнены неравенства (Ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
