А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 28
Текст из файла (страница 28)
5.46. Решить задачу 5.47 в случае, когда последовательность т~ ( тг ~ ... моментов прибытия автобусов па остаиовку образует пуассоповский поток с интенсивностью 1. Сравнить полученные результаты с результатами решения задачи 5.47. Показатьи что последовательность т)! является цепью Маркова. Найти ее матрицу вероятностей перехода. 5.52. Случайные величины $2, 1 1, 2, ..., независимы и Р($! = 1)= р, Р(з! = — 1)=1 — р=д. Положим т(3=0; т(!+1 т),+$!+!. Является ли последовательность т), цепью МарковаР Найти Р(т)!=и!), лт О, 1, 2, ...
5.53. Пусть $!, г 1, 2, ...,— независимые случайные Р(з! = 1) = 1 — Р($, = — 1) = р являются лн цепями Маркова последовательности случайных величин: а) т)! $16!+!( б) т)! = $ДЗ... $!; в) ц!=(р($„$1»1), где (р( — 1, — 1)=1, (р( — 1, 1)=2, (р(1, — 1) 3, (р(1; 1) = 47 Для цепей Маркова найти вероятности перехода за один шаг. 5.54. В (т' ячейках последовательно независимо друг от друга равновероятно размещают частицы. Пусть ро(и) — число ячеек, оставшихся пустыми после размещения и частиц.
Показать, что последовательность (Зо(и), и = 1, 2, ..., является цепью Маркова. Найти вероятности перехода. 5.55. В (т* ячейках незавясимо друг от друга размещаются комплекты, состоящие яз т частиц.' Частицы одного комплекта размещаются в ячейках по одной, и все возможные выборы л3 мест из 1(( имеют одинаковые вероятности.
Обозначим через ро(и) число ячеек, оставшихсн пустыми после размещения и комплектов. Показать, что последовательность )Зо(и), и = 1, 2, . „ является цепью Маркова. Найти вероятности перехода. 5.56. Урна вначале содержит (т' белых шаров.
За 1 вэаг из урны по схеме случайного равновероятного выбора вынимают 1 шар и заменяют его новым, который— независимо от предыстории процесса — является черным с вероятностью р и белым с вероятностью (т 1 — р. Обозначим через $и' число белых шаров в урне после и-го шага. а) Найти р) РЦ.+1=/!$.=!), 1, у(н(0, 1, ..., (2), Является ля последовательность з цепью МарковаР б) Найти НшР(6„= й) =я», й~(Ои 1,...,Л(). и о 5.57. В бесконечной последовательности. Занумерованных шаров каждый шар независимо от остальных явля- 164 черным с вероятностью р и белым с вероятностью 1 — р. Будем считать, что в момент времени и = (О 1, ...) урна содержит шары с номерами и+ 1, и+ 2, ..., и+(т', и обозначим через $„число белых шаров в урне в момент и.
Ответить на те же вопросы, что в задаче 5.56. 5.58. Матрица Р =) р!1.((,,; ! с неотрицательными элементами называется дважды стохасгической, если р,( + +ра+...+рот=рп+р»(+" +р!!=1 дпя ЛЮбОГО 1, 2, ..., (т'. Показать, что если цепь Маркова $! с состояниями 1, ..., ))( имеет дважды стохастическую матрни цу вероятностей перехода Р =(р(З((!з=„то равномерное распределение на множестве (1, ..., )2) является стационарным для цени $!. 5.59.
Пусть ьо, ь(„...— цепь Маркова с мпоя(еством состояний (1, 2, 3), матрицей вероятностей перехода (!р31!( и стационарным распределением и» Показать, что если р)! = Р22 = рзз = О и я! я2 = лз = 1/3, то р12 р23 рз! И !213 =Р21 РЗЗ 5.60. Пусть т)1, ць ...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, и )(х, у) — функция, принимающая значения в множестве (1, ..., 13<'). ЯВЛяЕтСя ЛИ ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтЬ СЛуЧайНЫХ величин $3(Р63=~) = Ро ), ~!+! — -161, ц.!), г = О, 1, 2, ..., цепью Марковау 5.61.
Пусть т)о, т)1, т)2, ... — последовательность независимых случайных величин, имеющих равномерное распределение на отрезке [О, 1). Показать, что для любого начального РаспРеДеленин Р = (Р! т ..., Ри ) и ДлЯ лю(о) г (о) (о) бой матрицы переходных вероятностей Р ((р!1((!д ! монС- но указать такие функции )(х, у) и у(у) (х(н(1, ..., )т'), у (н (О, 1]), что последовательность Зо = д(т(о), $1+! =)($о т(,+!), 1=0, 1, ..., будет цепью Маркова с начальным распределением р'о' и матрицей вероятностей перехода Р.
5.62, Игральная кость последовательно перекладывается с одной грани равновероятно на любу!о из четырех соседних независимо от предыдущего. К какому пределу стремится при 3- вероятность того, что прн Г-м перекладывании кость окажется на грани «6», если сначала она находилась в этом жо положенииу $66 5.63. Цепь Маркова $, имеет два состояния: 1 и 2— Р11 1-Р11 я матрицу вероятностей перехода ) о 1 ). Пусть т ш!пН~1: $» 2). а) Найти условное распределение т при условии 5о 1.
б) Как изменится ответ, если матрица вероятностей перехода будет равна 0< р„<17 5.64. Матрица вероятностей перехода 1ро)) цепи Маркова 5» с и+1 состояниями имеет вид: р»» 1 — а, = 1, 2, ..., и+1; ро= а/и, 1ФЙ В процессе, начавшемся из состояния Й, Й те и+ 1, обозначим через т„момент первого попадания в состояние и+ 1. Подобрать последовательность А (А„- ее при и- о ) так, чтобы существовал предел 1пв Р(т„/А ) х)1 »»е и найти его. 5.65. Матрица вероятностей перехода пепи Маркова с множеством состояний (1, 2, 3) имеет вид »е) 1 — Р— е Р е где 0<р<1 — в<1.
Предполагая, что $а~ 1, рассмотрим случайную величину т,(е) — ш)п(и~~1: Е~„'~ = 1)— время возвращения в состояние 1. а) Доказать, что при любом 1= 1, 2, ... Р(,()- )-Р(,(О)-1). е-»о б) Показать, что Мт»(О)< ое, но ИшМт,(е) = со. е-»о в) Найти производяшу)о функцию»ре(е) Ме'»»". 5.66. Цепь Маркова $. имеет начальное состояние $о = 0 н переходные вероятности РЦ„„=Й+1Ц„-И-р, Р(5„„-ЙЦ.-И-1 — р, где Й, п О, 1, ... н 0 < р< 1. Найти распределение 5„, математическое ожидание и дисперсию 5.. )сс 5.67. По цепи Маркова $„, описанной в задаче 5.66, построим последовательность случайных величин то О, т, шш(и: 5„=Й), Й 1,2,...
а) Доказать,.что (тд)1 о — тоже цепь Маркова. Найти ее переходные вероятности. б) Найти Мто, Ото, »ро(г) = Ме'1, 5.68. Цепь Маркова 5 имеет начальное состояние йо 0 и переходные вероятности РЦ„+1 = Й+ 1Ц„И = р, РЦ„«» ОЦ„= И = 1 — р, где Й, и ш(0, 1, ...) н 0< р < 1. Положим то=О, т, шш(п~1: «.=Й), Й=1, 2, .... а) Найти проивводящуго функцию»))1 (е) = Ме" и Мт„. б) Найти предельное распределение случайной велите чины Чо — при Й-, пользуясь результатом и. а) Мт, н методом характеристических функций. 5.69. Переходные вероятности цепи Маркова 5„прв любом п = О, 1,, определяются равенствами РЦ е»=1~5 =0)=р, РЦ )=ОЦ„О)=1 — р, РЦ„~~ Й+ 1)5„= и = р, Р(е +1 Й вЂ” 1Ц =И=1 — р, Й=(, 2, ...
Пусть т»,— время перехода цепи $„из состояния 1 в состояние П Р(т»» = Н = Р(шип (и ~ 1: $„= /) = Н ~о = 1), »=1,2, ... а) Найти производящую функцию»ро, »(е) = Ме ' ' н Мто, ». б) Найти рекуррентные формулы, связывающие производящие функции»))1,»е1(е) Ме'о ое) (Й = О, 1, ...). в) Используя результаты пп.
а) и б), составить и решить рекуррентные уравнения для Мт,е»1, Й 0,1, ... Найти асимнтотическне формулы для Мто „прн Й- о . 5.70. Пусть $1, $1, ...— независимые одинаково распределенные случайные величины, Р($» = 1) РЦ» = =-1) =1/2; го=О, г„=г„»+ 5„Й = 1, 2, ... Положим т»= шт(п -1: ~г„~ =Л)). Найти Мт), Мтг, Мто.
5.71. Пусть последовательность го, г», ... определена как в задаче 5.70. Показать, что Мт» = №. 1С7 !л»' (~>.>-> представляются в вяд и яп ~> сп />а, >гп> Ч> (Ю гп а-> 5.80. Показать, что если матрица А = ! ап !!>я=я имеет собственные числа /я>, ..., /я„причем кратность /я> и равна зь з>+... + а, п, то элемеяты матрицы А' — !!а» 1с>, представляются в виде г яа-> а'>>' ~ /яа ~ с(,пэт', п>-1,2, ...
а»а 5.81. Используя задачи 5.79 и 5.80, показать, что получение формулы для верояткости перехода за и шагов из состояияя > в состояние / в цепи Маркова с Д> состояниями может быть сведено к нахождению собствеяяых чисел матрицы Р— !! />о!!я,;-> вероятностей перехода за один шаг, вычислению Р, Р', ..., Р""' и решению системы линейных уравнений, 5.82. Матрица вероятностей перехода Р !!ро!! цепи Маркова 5, с состояниями 1 и 2 определяется формулами рп 1 — а,рм а, рю бг раз 1 — 6 Найти вероятности ро(1) перехода за время 1 и стациокаряые вероятности пь 5.83. Для цепи Маркова $>, рассмотренной в задаче 5.82, обозначим череа ч>(Ц число попадаяий в состояние 1 за время 1.
Показать, что для л>обого / 1, 2 при 1-» пп М(" (1)!$.-/) -+1(1+ о(1)), (7!» (1) !6н = /) о(1'). 5,84. Пусть выполяеяы условия задачи 5.83. Показать, что для любого е ) 0 к л>обого / 1, 2 Пю (> 11 — ',~ — — ' ~ ) з ! $, /) = О. 5.85. Пусть выполнены условии задачи5.83.Положим тн = О и введем случайяые величины тя ш(п (1 ~ та->» 5> 1)г й 1, 2, ..., т. е. т, — момепт /с-го попадавия в состояяие 1, Тогда 170 (: т : 1) — число попадании в состояли якие ч,(1) *шах й: т, эа пер вые 1 шагов. что случайпые величины 6» та+> — я тя а) Доказать, что случ " =т и что й 1,2,,пе , 2, ..., езависимы пе аависят от ба= т> г р(6„- т) = Р(бо - т! $н = 1), й т = 1 2 ..., М бн!ао 2), 0(бн!Во = 2).
= 1 2 ...) что распределение случайкои при 1 - пп сходится к стандарт- величины т(> ком кормальпому распределению. и 1 ... />> 5.86. Пусть цепь Марков» $, с состояниями имеет матрицу ве ероятностей перехода Р = !!Рп'(яан>, у довлетворя>ощую условию шах ~~ ~ Рп >пап>т>-> Показать что если я=(я>, ..., я„) — стационарное расг пределекие цепи Ь, то !Я> — У~» Е. 5,87. Пусть 5> и э> — цепи Маркова с матрицами вероятностей перехода Р= !!рп !!>и я и ' = р; ветствепко, а я (я„..., я» стацион аряые распределения этих цепей. ледует ли из блиаости элементов матриц Р и Р' (яапример, из мал ости величины 2~~ ~ рп — Р>>!) близость векторов я и я'7 я,>=1 5.88п.
Частица совершает случайное блуждание по множеству точек плоскости с целочисленными координатами. За единицу времени частица перемещается па единичкое расстояние параллельно одной из осей координат. После прохождения каждого единичного отрезка частица выбирает паправлепие дальнейшего двкк>ения: либо продолжать движение в том же направлении, либо повернуть палево, либо направо (каждый из этих вариантов выбирается с вероятностью 1/3 независимо от предыдущих дэя>КЕПИй ЧаетИцЫ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
