А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Для статистической проверки атой гипотезьс используется критерий )сг. Разобьем числовую ось ~а г+ 1 непересекающихся полуиптервалов Ьс, Ьг, »+1 ..., Л„+1, () Лс= ( — оо, оо). Положим р»= РЦ сий»), й = 1 1 1, ..., г+ 1, Обозначим через т» число хь попавших в Л». Статистикой критерии )(г является величина ~ .~- 1 (т — »р )г '1)»,» ,,=Х Оказывается, что если элементы выборки (6.1) независимы и имеют функцию распределения р'(х) (т. е. если гипотеза верна), то (см. [10), з 57) для любого х прн и- Р(Ч-.,».)-Р[2:» ).
(6.3) По критерию )Сг гипотеза отвергается, если Ч „)С. Велячина С выбирается так, чтобы вероятность Р(Ч, ) С) = = а была мала. ПРи таком выбоРе С в слУчае Ч»л ) С говорят, что гипотеза отвергается с уровнем значимости а, Используя предельное распределение (6.3), монсно положить С )(а „где Р [7('„) ~,', „[ = а, и тогда в силУ (6.3) Р(Ч„,>С) а, и- Если распределение р(х) зависит от неизвестных параметров 0=(Оь ..., О„), то вероятности рс(0) Р($жА) вычисляют, заменяя параметры 0 их оценками (напри»юр, оценками максимального нравдоподобия). В этом случае в предельном распределении (6,3) число степеней 12 1- ».
м. зуо»ов и дг, 177 свободы г должно быть уменьшено начислооцениваемых параметров (см. [<), с 460 — 463). 6Л. Пусть х<, хй, ° ° °, х„— случайная выборка с Мх, = а, (ххй = а', М(х„— а)1<, й 1, ..., я. Найти математическое он<идание величины и . )т х 1 чг< (- 1" зй = — д, (хй — х)* ~х — г, хй . й — < х й 1 й 1 Является лн гй состоятельной оценкой о17 6.2. Найти математическое ожидание и дисперсию хт+ +Хт эмпирического момента в< „неаависимой выборки, соответствующей случайной величине б с М$1 = ай, 1 ~ )< ( 2г. 6.3. По неоднородной выборке х<, ..., х, где хк й =1, ..., я, независимы, Мх„а, Охй пй'(ой известны), найти несмещенную линейную относительно х, (Й =1, ..., п) оценку ах параметра а, которая имеет наименьшую возможную дисперсию. 6.4*.
Пусть хп, . „х;„,. (1 = 1„„... Г~ — неаависимые нормально распределенные величины с параметра. ми (а, о';); х< — < = —,~~ ХМ< 'й< Является ли оценка < х ~ с<х<„ < 1 несмещенной оценкой параметра ау 6.5. Пусть х<, ..., х„ — независимые одинаково распределенные случайные величины с Ох< ) О, мх<( со. Положим ъ и < х — г, хй Р— г, (хй — х)з. й — < 1 1 й 1 Найти И<яр ' < 6.6. Пусть (х<, у<7, ... (х„, р„) — независимая выборка, соответствующая случайяому вектору (5, <)), т. е. <7<< р(х<<х, р«р)**Р(й мх, цч<р7.
Показать, что величинаа х 1 ч<т - —., Х("-.)(рй-р). 11 где 1 чь х — „~ хй л и хятзх уй< й 1 й 1 является несмещенной и состоятельной оценкой сот($, «), 6.7. Пусть « — число успехов в п испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха р в каждом испытании. Найти оценку наиболыпего правдоподобия рх параметра р. Доказать ее несмещенность и состоятельность. 6.8. Пусть 7<„— число успехов в и испытанияк схемы Бернулли с вероятностью успеха р в как<дом испытании. Построить для р асимптотически доверительный иптервал с доверительной вероятностью 1 — 2«.
6.9. Используя таблицу случайных чисел, получить реализацию выборки х<, ..., х, где х, равномерно распределены на отрезке (О, 1) (впачения х„ взять с тремя знаками; п 50). Найти: а) вариационный ряд х«,-й< х,й, ~ ... <х<„„ б) эмпирическую фупкци<о распределения (построить ее гра4<кк и график теоретической функции распределения); 1 в) х — (хй+ ... + х„) (сравнить с Мх„); х < чг< г) Р = г„(хй — х)' (сравннть с Охй). й 1 6.10. Используя таблицу нормально распределенных случайных чисел, получить реализацию выборки х<, ..
„х„, где х„имеет нормальное распределение с парамет рами а Мх, 0,5, пй — Охй — 1; я 50. Найти: а) вариационный «яд, б) эмпирическую функцию распределения, в) У, г) г (см. задачу 6.9). 6Л1. По выборке, полученной в задаче 6,10, построить доверительный интервал для а (считая а и о неизвестными) с доверительной вероятнотью 0,95. 6Л2.
Используя метод наибольшего правдоподобия, Л нанти по выборке х<, ..., х„, где Р(хй л<)= —,е 1 <к = О, 1, ..., оценку Лх параметра 7<. Будет ли зта оценка несмещенной и состоятельной) Найти МЛх, 0Лх, <2* <79 6. 3. Пусть х<, хз, ..., х. — выборка, соответствующая показательному распределению с параметром )(. Найти оценку максимального правдоподобия )(» для >(. Вычис- лить М вЂ” 0 —.
1 1 х»' л» ' 6.14». Для оценки параметров а, Ь, с имеются три независимые выборки а<, ..., а„; Ь<, ..., Ь„; с<, ..., с . Известно, что с а+ Ь и величины а<, Ь„с, распределены нормально с Ма,=а, МЬ,=Ь, Мс, с. Дисперсии Оа< = = о,', ОЬ< оь, Ос( - о, известны. Найти: а) оценки наибольшего правдоподобия а*, Ь*, с» пара- метров а, Ь, с, используя для каждого параметра только соответствующую ему выборку, а также найти Ма*, МЬ», Мс*, Оа», ОЬ*, Ос*„ б) оценки наибольшего правдоподобия а»», Ь»», с*», используя сразу три выборки и связь с а+ Ь, и также найти Ма"», МЬ"», Мс»*, Оа»*, ОЬ»», Ос»".
6Л5. Пусть у(ю (у(">, у(з>), й = 1, ..., п, — незави- симые нормально распределенные случайные векторы, МУ« ' = аь ОУ«<о = и«, = 1, 2, сот (У<<~>, У<"') = Ро,о,. Па<з> раметры оы оз, р известны. Найти: а) оценку максимального правдоподобия (аы а",) па- раметров (а<, аз) по выборке у'", ..., у'"', б) оценку максимального правдоподобия а< парамет- ра а< по выборке у<'>,..., у<">; в) Ма(, Оа<, Ма,", Оа 6Л6».
Пусть у<»> = (у<а>, у<»>), й = 1,..., и,— незави- симые нормально распределенные случайные векторы, Му<<~< ам Муз~< = а, Оу<"> 1 (1 = 1, 2), сот (у~<~<, утм~) = рз (й 1, „, л). Параметры рз известны. Найти; а) оценки максимального правдоподобия а,", а, пара- метров а<, аз по выборке у'", ..., у'"'; »» б) оценку максимального правдоподобия а( парамет- ра а по выборке у<(>,..., у<">1 г) доказать, что Оа, (Оа~ . 6,17». Решить задачу 6Л6 в случае, когда известно, что параметр а, Му, О. (>о 6.18. Пусть $>, ...,,$ независимые случайные вели- чины, равномерно распределенные в области 6 ~ <т".
Для оценизапия интеграла а ~... ~ /(х)((х< ... ((х»(х о 180 (х„ ..., х»)) по методу Монте-Карло используется вели- 1 чина Ч = — „,,~~ < (»<>. <=1 а) Найти Мт>, О>> . б) Построить несмещенную оценку Ь»з дисперсии 0(Я,) по реализациям )($(), ..., >(З ). в) Предполагая, что ) ... ~ >'(у)а>х(...
ах„~со, с построить при л> - асимптотически доверительный интервал для а с доверительной вероятностью 1 — 2а. 6.19. Для величины А =(х+ ра+ 7Ьполученыоценки » А< = а+ ><с(+ узз, Аз =((+ ><я + узм где <х, р, 7 — известные постоянные, з<, зз, зз — неаависимые оценки иеизвестных параметров: Мзз — Ь, Мз< Мзт = а; Оз( = оь < 1, 2, 3. Подобрать постоянные с<, сз так, чтобы оценка А» =с,А,'+ с,А, была несмещенной и имела среди несмещенных оценок наименьшу>о дисперсию. 6.26*. Пусть з<, зг, зз — несмещенпые оценки параметра а; Ох<=1 (< 1, 2, 3), сот(з<, зз)=р, со(<(х<, зз)=О (< 1, 2).
Найти несмещенную линейную оценку з с<в<+ сесе+сзхз параметра а с наименьшей возможной дисперсией и дисперсию атой оценки. Рассмотреть случии: а) !р!(1,б) р=-1,в) р=1, 6.21. Функция у = Ах измерена в точках х<, ..., х . Пусть ревультаты измерений являются реализацией невависимых-случайных величин у<, уз, ..., у, у которых Му<=у< Ахь Оу< =от( (1=1, 2, ..., ) Н " а) оценку А„параметра А, использун метод наименьших квадратов, т. е. минимизируя по А выражение » 1 (А) ~з~ (у — Ах<)»; <=< б) МА„' ОА„'.
Доказать, что оценка А'„состоятельна, если Х', = ~ х« -- оо при п -<- оо. < 1 6.22 . П =-Ах и . Проведено п измерений значений функции — и ее аргумента х. Пусть результаты измерений яву = ляются еализ р ацией л независимых двумерных случайных векторов (х<, у,) (<= 1, ..., п), у которых координаты 181 независимы, Мх,=х<, Му, = у, Ах„02<=от, Оу,=па. Найти: а) оценку А~ параметра А„, минимизируя по А и х>, ..., х„выражение у (А, х„..., х„) = ~ (у< — Ах<)1+ ~~'„(х< — х<)1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
