А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 33
Текст из файла (страница 33)
с задачами 1.79, 1.80.) 1.84. Если А находятся между В» и Яь»„то расстояние от О до сторон <2 АВС находится а интервале (й/2, (/<+ 1)/2), т. е, <з АВС содержит внутри себя окружности В< с 1 < Г < (й/2), находится внутри окружности Ю<, й+ 1 < ! < и, и граница А< АВС пересекает окружности 8, с (й/2) < ! < й.
1.85. Найти я-мерный объем У«(г) и-меряого шара радиуса г, воспольаовазшись рекуррентяой формулой Рв() ~~ у (~2 „2 „2) „ и +а х»2 22<) «ро 2(1 г — х)<Г«=2я~иу (ы)<)ы е а н Равенствами У (г) 2г, У ( ),2 !91 Глава 2 2.3. Вероятность выбора любой заданной карточки равна 0,01 2.6. Использовать определение условной вероятности и резуль- тат задачи 1.23. 2.7. Пусть событие А< состоит в том, что <-й (< = 1, 2) студент возьмет «хорошийл билет.
Положить П = (А,Ли А(Аз, Л(А„А<А<),; Р(А() 1/5, Р(А«(А() = 4/24, Р(А«~Л<) = 20/24. Ото<ода однозначно. определяются вероятности элементарных событий. 2.8. а) Пусть событие С< = (появление белого шара в <-м испы- тании) (испытания с нечетными номерами относятся к игроку, на- чавшему игру); событие А = (выигрыш игрока, начав<пего игру).
' Воспользоватьса Равенствами А = С, Ц С,С,Сь А = С,С, Ц С,С,С,С„ б, в) Решение аналогично а). 2.9. Пусть В<1) (Р<10) — событие, состоящее в том, что <-й шар черный (белый). Воспользовавшись формулой (2.3), поиааатлч <1) <з) <Я) что все события Ве Ве ...Век с е +е +...+ея=М(е< =0,1; 1=1, ..., д() равновероятны. Поэтому Р(Ал) = Р(А ), Р (Вл () = Р (В> ), Р (с„<) = Р (с ) Воспользоватьоя равенствами: В = В(1)Р(з), С = В(1)В<з).
1,З 1 1 ' <,З Е З 2ЛО. Цепочками из букв к, ч, б будем обовначать появление красного, черного, белого шаров в испытанинх, соответствую месту буквы в цепочке. Например, событие кчч (в 1-м исяыта нпи появился красный шар, во 2-м — черный, в 3-м — черный) Использовать равенства А< б Ц ччб Ц ччччб, Аз = чб Ц чччб Ц чччччб, В = к Ц чк Ц ччк Ц чччк Ц ччччк Ц чччччк. 2Л2. Рошается аналогично 2ЛО. 2ЛЗ, Решается аналогично 2ЛО.
2Л4. Найти вероятность того, что до появления автобуса мар рута номер 1 появится 1 1, 2, ..., автобусов разных маршрута 2Л8. Использовать равенство АВ Ц АВ = А, 2.20. Пусть ($« ..., $е <) — координаты точки, равномерно ра пределеиной в (к — 1)-мерном кубе ((х(, ..., хе (); 0 ийх< ( < = 1.. а и — 1). Рассмотреть события 4„- (П(Л вЂ” ез <) П 2.21. Ппи к = 3 приписать вероятности 8 событиям А,А« А,А,Ль ..., А,А,Аз так, чтобы условия задачи выполнялисьл ио бытпя А< и Аз не были бы независимыми. 2.22. Рассл>огреть совокупность событий < П А( <', ел = 0 и <-1 1 (< 1 Ьф гдо А(о) А А(1> А 2.23. Сопоставить каждому событн>о Л< с (1, 2, ..., л) = П вектор а< ш В", у котоРого /-я П 1, ..., а) координата равна 0 <если / «а А,> нлн )р< (если / <и А<).
Переходя к векторам Ьь ..., Ьл он (и В", ортогональным к ае = (ур<, ..., )р„): Ь< = а< — Р(А,)аз (( 1, ..., Ь), показатлл что событив Л(, ..., Ал попаРно незавксочы тогда и только тогда, когда векторы Ь<, ..., Ьл попарно ортогопальпы. 224, пусть А< = (изделве прошло <-ю проверку», 1 = 1, 2. по условию задачи события А( и Аз независимы и обоих случаях. 2,25, б) Воспользоваться неравенством Р(А,А«) 4- Р. (А()+ Р(А<), где Л, и Л, — события, состоящие в том, что 1-й и 2-й приборы б) <ут работать 226, Участник лотереи получает минимальный выигрыш, если ов угадал ровно 3 помора, и какой-либо выигрыш, если число угадеввих пм номеров яе меньше 3.
Положим Лл = (Ь-й участник получает минимальный выигрыш), Вл = (>(-й участник получает какой-лябо выигрыш), Ь = 1, 2. Найти Р(Ал), Р(Вл), Ь = 1, 2, 2.27. Положим Л(л> = (Ь-й элемент не вышел из строя), А "> = = (/(-й влемент выл<ел ив строя), Ь = 1, 2, ..., 5. По условию задача событня любого набора, составленного ив событий А(">, Ь = = 1,..., 5, с попарно различными индексами, являются взаимно везевисииымн. Обозначим В событие, состоящее в точ, что по участку, содержащему элементы А<, Аз, А<, может проходить ток. Воспользоваться равенствами В = (А<» Ц Аы>)А<4) А(»АОЗ Ц А(»А(»А(4> С = А(л>А(з) Ц А(з>А(з>В, Заметим, что для вычисления вероятности Р(В) неиосредствеппо использовать равенство, В = А('>А('> Ц А('>А('> нельзя, так к к .4 (<> 1(4) (з> (о А А и А А > ие явля>отея несовместными событиями.
нельзя, так как 2.28. П < (О . Положим Ае (при 1-и выстреле допущен промах), А<'> (п (при 1-м выстреле происходит попадание). по условию аа- (1) <з) <к) по независимы. !<айти вероятность того, что было меньше дв х попаданий. ву 2.34. П сть С = ( у — (наделив, поступившее па проверку, удовлетворяет стандарту). В задаче.2,24 вычвслены вероятности Р(А<А<!С)< ( < ), где А, = (изделне прошло первую проворку), Аз (нзделйе прошло вторую проверку). 2.35. в) Использовать равенства л< (М „) Сй МСт '~\ Се< С( -з( и — 1' ха и-1 и-и а(-1' а< а но имеет <- 2.37.
Введем события С = = (перелить кровь л<ожно), А< = (доу р ), ( (больной имеет <-ю группу крот -ю групп к ови), В ( ), (4' <) в предположении, что группы кро- Р независимы и распределены согласно при ора и ольного якой в вадече статистике. 2.38. Положим С = (виб ности событий СВ, СВ, СВ СВ. ( рац>ш), В = (пеРегРев). Найти веРонт13 л, и. зтш ое и дв, 193 2.39. Используем те псе обозначения, что в указапяях к задаче 2.38. Положям Р(ВС) ж Найти вероятности событий ВС, ВС, 1 как функции от х, Р(В), Р(С). Показать, что 0 ( л < шш (Р(В) Р(С) .40. Положим А = (случайно выбранная урсса содержат 2 бо лых в 3 черных шара), В = (случайно выбранная урна содерясн 1 белый и 1 черный шар), С = (из выбранной урны извлечен бе лый псар). Используя условие задачи, определить вероятиост Р(А), Р(В), Р(С)А), Р(С!В).
2Л2. Введем следующие ооозваченвя событий: А = (передан последовательность АЛАЛ), В = (передана последовательнест ВВВВ), С = (передана последовательность СССС), В = (ириянт Л ОСА). Так как при приеме АВСА вместо АААА буква А была и ' 1 — х 1 — сх иажена два раза, то нужно положить Р (В ) А) = сс 2 2 с« Аналогично определиются вероятности Р(Р) В), Р(В(С), Воспольа . ватьсн формулой Байеса. 2.45. Пусть АСΠ— событие, состоящее в тои, что С-и игро ь (1= 1, 2) извлек 4 белых шаров, Из условия аадачи естественн определяются вероятности Р (А»С»)) ()« =0, 1, 2), Р (Азсз) ~ А(сс) (й = О, 1; 1 = О, 1, 2).
Найти Р ( Ага»С ~ ЛС»»1), Ь = О, 1, 2. 2.46. Найти вероятность противоположного события. 2.50. Искомую вероятность можно найти, используя то, что дл любого алсмента з сп Ю Р(л ф АсА») = 1 —.Р(х сн АсЛ») = 1 — Р(з ш Ас)Р(х шА«) в что отбор разных злементоа в множества Ас происходит не зависимо. 2.51. Множества Ль ..., А„попарно не пересекаются, если каж дый элемент л сы Я либо не включается ни в одно из г множест ' либо включается ровно в одно множество. 2.52. Решать так же, как и задачу 2.51.
2.53. а) Каждый элемент * ш В неаависнмо от остальных вк г чается в П А« с вероятностью р'. 6) Воспользоваться соотнош с 1 г г вием 0 А = П А я свести задачу к п. а). с=с с-1 2Л4. Моделью исследуемого явления можно считать схем Бернулли. Обозначим через А, событие, состоящее в том, что момент т по дороге мимо пешехода проеажает машина, 1 1, 3,... Событии Ль А», ... независимы, Р(Ас) = р, Р(Ас) 1 — Р = ' Выразить интересующие иас события череа Ас, Аь ... Наприме (пешеход ожидает 4 с) = А А А»А А А А 1 использовать вз нмную неаависимость событий, 2.55. Результативные партии рассматривать как испытания Бе нулли с одинаковыми вероятностями исходов, 2.56.
Последовательно обрабатываемые детали по принадлежи сти к 1-й или 2-й группе образуют симметричную схему Бернул Событие, вероятность которого мы ищем, можно записать в в А ,,С () В ,,С, где А ,, = (иа г + т первых деталей в 1-ю е кость попало г деталей, а во 2-ю попало ш деталей), В ,, = ( Г .( т первых деталей во 2-ю емкость попало г деталей, а в 1-со попало ю деталей), С = ((г+ т+ 1)-сс деталь попала з 1-ю емкостью Предлагаемая задача пвляется,переформулироакой иззестпой аапзчи Баиаха (см, (11)). 2,58. Воспользоваться теоремой Муавра — Лапласа. 259. Воспользоваться предельной теоремой Пуассона. 260. Использовать теорему Пуассона.
2.61. При решении и. б) вывести равенство Р((5, — ю((з) = С™ (1+ 2 (1+„1(1+ (1+ »+1~ ф а затем применить уточненную формулу Стирлиига для вычисления 2 тес«". 2,63. Использовать теорему Муавра — Лапласа. В ответе оста. вить знаки, пе меяяапцпеся при изменении границ 940, 1060 на 1, (См, введение к гл. 2, а также задачи 2.61, 2,62.) 2.64. Пусть ч — порядковый номер 1025-го числа, делящегося па 3, ʄ— число чисел, Делящихся ва 3, среди первых п чисел таблицы. Использовать равенство Р(и > 2500) = Р(к»ы» ( 1025). В ответе сохранить рааумное число знаков.
(См. укааание к аадаче 2.63.) 2.65. а) Пусть в гардеробах по х мест; обозначим через К число пар, выбравших гардероб одного входа; тогда 500 — к — число пар, выбравших другой гардероб. Испольауя теорему Муавра— Лапласа, подобрать л'так, чтобы Р(21« ч., ж 1000 — 20 С и) яз 0,99. 2.66. Воспользоваться схемой Бернулли с и = 2500, р = 6/30 0,2, д = 0,8. 2.72. Рассмотреть все цепочки исходов длины 1, содержащие й успехов, из которых один стоит на конце цепочки.
2.73. Воспользоватьсн схемой Бернулли, в которой испытанием является бросание двух костей; за дза исхода касс«доги яспытанин принять выпадение илн нсзыпадение хотя бы одной «6». Рассматриваемая схема является частным случаем (2.15) — (2.17). 274. Занумеруем подряд бросания монеты. Бросания с нечетными иомерали проиаводятся первым игроном; остальные — вторым. Пусть С, — событие, состоящее в том, что в 1-м бросании выпал «герб». а) Событие, состоящее в том, что игра закончится до 4-го бро- саниЯ, пРедставлаетса в виде С, () СсС, () С,ѻѻ) б), в) рассмзтриваются аналогично.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
