А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Воспользоваться результатом задачи 3.217 и тем, что Р ($! > х , ..., $! > х, ) = = Р ( $! > *1 П = 1, ..., 5), $„ > 0 ( М 1„ ..., 1„) 3 219. Заметить, что е = Ов + ... + 0„, где (Ов = 1) = ($в > й и 3.218. (0» О) = «$в ( (х). Далее использовать задачи 3.132 и ЗЛЗЗ, 32 о 3.220. Заметить, что (ц„> х) = () ($„> х). Использовать фо х=! мулу (1.12) из введения к гл. 1 и реаультат задач 3.217, 3.218 3.221. Использовать задачи 3.220, ЗЛ35 и равенство о 1 ~~ ( 1)а хСо ~1 — (1 — х)" „, ('1 — х"„, /с х ) 1 — х о о 3.222. Пусть а, 3, 7 — длины дуг ВС, СА, АВ. Испольаова Равенства р=2~юхв ~ +з(п !в ( з;„7 1 2 г = — = соз — -(- соз 2 + соз Р 7 2 результаты задачи 3.215 и свойство аддитивности математичос ожидания.
3.223. а) Использовать равенство х в пах(ав,а ) Мо =- ~ (д — а ) (у — ах) Ау — 2 ) (у — ах) (У вЂ” а ) йув.' ю!в(а,а ) б) Подставить реаультат п. а) в формулу Мо = М(М(а(А. 3.224. а) Найти вероятность поражения цели при условии, $ фвщсвроваво; б) воспользоваться результатом задачи 3.40. 3.227. Получить рекурреитиую формулу для М$в, испо в,итегрирозааие ио частям.
3 228 Представить каждухо часть неравенства в виде интегра- ла по интеР риалу (х, ) от ее производной и сравнить подыктв. альные звхражения. 3230. Зависать Р(ц ( х) в виде интеграла и вычислить его, пе ехочя к поляривзвв ! Оордивдтаы 3,231. Испольаовать реаультаты задач 3.35 и 3.229, а). 3. ' 233, Пользуясь тем, что интеграл от плотности нормального аспределеиия р я равен 1, найти Мвч и Ме'в, где случайная величвв !на в имгот иорйальвое распределеяие с параметрами (а, а ).
2,234в. Воспользоваться задачами 3.233 и 3.229, б), З,Ж5, 6) Заметить, что (и $ в гв !п $, используя результаты задачи 3.233. 3,236. См. указания к задачам 3.227 и 3.233. 3.237, Воспользоваться тем, что случайные величины $ и — $ одинаково распределены. 3,238. Рззловкить сов $ в ряд Тейлора по $ и с помощью результе воз задачи 3.227 найти математическое ожидание каждого слагаемого. При вычислении М созв $ предварительно перейти к функции от пвойпого угла. 3.239. Воспольаоваться результатами вадач 3.237 и 3.238 и равеистеом М ап' $1 — М соз' $. 3.240.
Вычислить (М соз $ + вМ з!и $ ) (Ме г, вани!)х)в сзв зту величину в виде двойного интеграла и затем переходя к полярным координатам, При определении квадратного корня найт в ти экак 1ш мела, делая в интеграле замену переменных и = х и рассматривая интегралы по и от 2яй до 2я(5+1), й =О, 1, ... 3,24В Найти плотность совместного распределения т(ь цв. 3242. а) Использовать равенство Р( — $ Х х, ($! > 1) = Р($ ( х, )$( > 1). б) Найти Р($ + т! = О). 3.243, Случейвая величина $ — ц имеет нормальное распределение.
3.244. Случайные величины 2$в — $в, 2$в — $х+ $в имеют нормальное распределение. )соз ф — з!и вр) 3.245, Линейное преобразоваяие с матрицей ) з!и вр соз зв~ ортогоиалько. 3.246. Воспользоваться задачей 3.245 с вз = я(4. 3.249. Используя задачи 3.247. 8.248, представить ($ь $в) в виде подходягпего линейного преобразования случайного вектора ($ь $в), ввмеющего сфернчески симметричное нормальное распределение с 0$, 0$1. х + ! у ) 3,250, Записать отображение х =- х+ 'и -в в зца — хуз в (х +У) полярпьж хоордипатах и воспользоваться сферической симметричностью совместного распределенвя $в и $ь 3.252.
а) — в) Воспольвоваться независимостью $ и в)! г) воспользоззт»ся репхепием а) и симметричностью двумернои плотности распрелелевия ($, ц) относительно качала координат; д), е» вычислить с помощью интегрирования двумерной плотности. 213 212 3.254. Воспользовазлтись тем, что плотность сфервчгглл свм- мгтрвчг»ого нормальвого распределения инвариантна отяослгельно поворота вокруг начала координат, повернуть прямоугольник так, чтобы его стороны стали параллельны осям, а вероятность попа- ,дания в него не изменилась. 3.2о5. Воспользоваться симметричностью двумерной плотности относительно любой прямой, проходящей через начало координат, и ее инвариантностыо относительно вращений вокруг иачала ко- ординат. 3.257.
6), в) Найти плотность ($, Ч) в полярных координатах. 3.258. а) Вырааить искомую вероятность через плотность в полярных координатах (см. задачу 3.256), б), в) См. указания к задаче 3.254. 3.259. Вектор ($, — $ь Ч, — Ч») имеет нормальное сферическп симметричное распределение. Воспользоваться аадачей 3.230. 3260. Вектор А»М~ ( — 3»+ (32+ 3»)/2, — Ч~+ (Ч»+ Ч»)/2). См. укааание к задаче 3.259.
а.261. Повевать, что точка М, и вектор А»А, неаависимы, Вы- вести отсюда неаависимость векторов А~М» и А,А» (и, аначит, их длин). 3.262. Треугольник является тупоугольным тогда и только тогда, когда одка из его сторон больше удвоенной медианы, про- веденной к втой стороне. Эти событил, относящиеся к трем равным сторопам,несовместны и имеют одну и ту же вероятность.
Найти вту вероятность,испольауя ревультаты задач 3.260 и 3.261. 3.263, Треугольник А»А»А» не имеет тупых углов тогда и только тогда, когда он не содержит внутри себя центр описанной около него окружности, Использовать аадачу 3.212. 3.264. Заметить, что распределения случайных величин $ и -3 завладают. 3.265. Ввести вспомогательный случайный вектор' $' (41, Ц )=(31/о», $ /о ),имеющий сферически симметричное дву первое нормальное распределение. 3.266.
Нз результата задачи 3,264 вывести, что достаточно най- Г Раь Подобрать числа и», Ь», Ь, тзн, чтобы случайный вектор (ьь ь») (иД», Ь,В~+ Ь»3») имел сферически симметричное нормальное распределение с плотностью ч — з ' +" из и чтобы хя Й >О'Ф л 0) В>0 (и~ь/а), )(ля вычисления р»а воспользоваться последнии равенством и сферической симметричностью распределеяия ь. 3.267.
Найти таяне числа и и е, что случайные величины $» и Ч = и$, + г32 иезавпсямы п одинаково распределены. Записать некому»о вероятность в терминах вектора (3», Ч) и воспользова»ься сферической симметричностью его распределения. 3.268. Найти распределение $~ — л$2. 3.270. а) Вектор ($2 — $ь $2 — 3») является разностью двух векторов ($2 $») н ($ь 3~),имеющих нормальные распределения. 6) Распределение Я,»» — $<»ь $<»> — $»м) совпадает с условным Г определением (32 — 31» $2 — и») прв условии, что 3» ~ $2 ( $2. сроятиость события Зо, м, 6о, ~ $ш не зависит от перестановки, (оь ок о,) злементов (1, 2, 3). в) Воспольаоваться задачей 3.267.
3.271. См. указапие к задаче 3.270. 3?72. Ср, с задачей 2.19. Ча»8 Нанти функцию распределения шах )$ ). ем мЦ) (м)ь( и резуль- З.г. .2 9. Воспользоваться соотвошением )м татом задачи ЗА52. ие с плотностью 3.281. Рассмотреть распределение с и хз хзх р(х, х' ) = С »ехр ) — (ха+ха-(-х х ), ' 1' 2 С = )Р )Р ехр ) — (ха + ха+ хзх 2) ) Ах Ах . Глава 4 О пи (2(<х /»(2) 4.1, Заметить, что если /*( ) п1 2 х) Н -» х тоР()3) ~ ~х) М/»1») 6( ) ~ 1 2 4 4 Показать, что для любых е ) О и л ) Ч,+" +Ч1 Г21 и~-.з~, (л/2) п к гл 4 Условна вьшолне и вгпользовать приведенные во введении к плз закона больших чисел.
4.5. Применить результат задачи 4.6. Покааать, что Сл" 0 = (1 + о (1)) , л -» оа, я+1 3 +... + 3.)/л а использовать точную е авенством Чеб»нпева в результата м 4.7. Воспользоваться неравенством е случаияых величин 3~ $~ , и в каких значениях 22 уд сглв опи независимы и при Ь = 1, Х, ... Р(3» = О) 1 — 2 ", РД» = 2"Сйа) = РД» = — 2»СЬа) 2 " '. и 21» + . " + 21 48 Оценить сверху дисперсии ~, + применить неравенство о Чебышева. 2 е ожидание, ди сперсию ь /С„ 4.9. Вычислить математическо л и воспольаоваться неравенством Чебыпгева. 410 Заметить что = — '3 + +' )'-("2+ ' Ь')) 2 (1 и что позтомч ,[тт, ...«е„«,1 и*,-в...-1тт 3~ ( и(и — 1) 3) Опеиить первое слагаемое в правок части (1) с помощью нераве ства Чебышева, а второе и третье — с помощью неравенства задачи 4Л дли функции х(х) = ~х[.
4Л 1. Найти М/($т) и О/($,) и зосиользоваться закон больших чисел. б) Испольаовать центральную нредельпую теорему. 4.12. а) Витти (х) обозначает дробную долю х, то (4 + хЧ) (1Ч) при любых целых 4, 1 неаависимы и имеют равномерное ра иределение на [О, 1). б) Воспользоваться веразенстзом Чебышева. в) Заметить, что 4 + ... ь 4„ — ) т' (х) Ах ) е, и о если ($ + Ч) ' (3 + »Ч) пРинадлежат отрезку [а, Ь). 4ЛЗ. Утверждение задачи мои«по вывести из заиона больш чисел.
4Л4. Применить закон больших чисел. 4Л5. Воспользоваться результатом задачи ЗЛ57 и нерва ством иа задачи 4.1. 4Л6. а) Показать, что Мт < со, б) Ввести случайные величины ч = Хт + ° .. + Х», и = 1. 2 «, где 2, = 1, если происходит событие Ат, и ут = 0 в противном сл' чае. Пот«звать, что Р(т ) ч») = 1, и = 1, 2, ...; вычислить матем тическое ожидание и дисперсию т» и с помощью неравенства Ч бышева убедиться в том, что для любого ттт < оа )ип Р (чи ) Дт) = 1. и ы 4Л7.
Рассмотреть случайную величину чи, совпадающую ч при ч < ту и равную О нри ч ) М Очевидно, Мчи «~ Л', Пока вать, что предположение «существует таное дт < оо, чт Р(ч ) дт) < а — з < аз приводит к противоречию, если вычйсля « математическое ожидание чи но формуле мчи — — с~ Р (А„Н (ч < ттт)) ) ~~ (Р (А„) — Р (ч ) л')), и=т »=т 4Л8. Связать события А, со значениями одной и той же чайной величикы, имеющей равномерное распределение на отр ке [О, 1), 214 4,19, Показать, что если ч, — число одновременно происходяих событий ([$» — ~( ) е), и 1, 2, ..., то (— 1 ) ('Н С ь()= Н (Нш [组— 4[) — „~)= Н ( „„= ), т».«««1 а=т»-« и ир» применить лемму Вореля — Каятелли (задачу 4Л6). 4.26. Показать, что выполняются условия задачи чЛ9.
4.21. а) Показать, что Р (А»«[ Р [Вз [» ехр( и применить лемму Ворели — Кантелли (задачу 4Л6). б) Нгполт аовать соотношение Н,тт [1„1)з1~(ч.= „,„.=, » « ~ Х 4.22. Найти Ст (( в+ ° ° + $„»)/и ), применить неравенство Чебышева и результат задачи 4Л9. 4.23. Найти 0 (з з в+5 ве +... + $а), использовать оценку м Р (шах ((т, ~ю ..., ~~ ) ) з) ~» ~~~~ Р ((т ) з), «=в неравенство Чебышева и результат задачи 4Л9. 4.24.
Вывести усиленный закон больших чисел из реаультатов задач 4.22 и 4.23, 4.25. а) Применить метод математической индукции (по и), б) Найти Р (4 + ... + 5„ =. 4 + 1) ($, + ° ° + 4„ = ) 4.26. Воспользоваться результатами задачи 1.53 и равенствами Р(т~(дт) ) и) Р(А»,и), Р(тв(дт) ) и) = Р(с»,и). Прп нахождении предельных распределений полезно соотиошеяиа 1и (1 — х) = — х+0(хт), х-»0.
4 27. Представить вероятность Р(Ч, < х) (О « * 1) в вида тв+хт!» Р (Ч я, х) = ЧР ~ Р4(и) «1щ в!» к кажчому слагаемому применить теорет«у о сродном. 4.28. Показать, что для любого е ) 0 можио найти такой набор (бт, ..., 6„,) непересекающихся отрезков, что Р~(,= Й 6«))1 — е 215 и плотность р((х) яа (( 6( пепрерывпа и ограничена. Да (=-.1 воспользоваться решением задачи 4.27. 429. Воспользоватьси равенством(8 пт~ = — (8[и)» — "~) и реву татами аадач 4.28 и 3.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
